186. Une suite croissante et majorée qui converge vers le nombre e

Pour tout entier naturel $n$ non nul, posez $u_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$ Le but de ce contenu est de démontrer la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}.$

Justifier que la suite $(u_n)$ est majorée est un exercice qui nécessite certains outils.

Souhaitant rester dans le cadre du lycée dans ce contenu, vous utiliserez une suite auxiliaire $(v_n)_{n\geq 1}$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $v_n = \left(1-\frac{1}{n}\right)^n.$

Le lemme de Bernoulli

Vous aurez besoin dans ce contenu du résultat suivant.

Pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1$ et pour tout entier naturel $n\comma$ $(1+x)^n \geq 1+nx.$

Vous souhaitez une démonstration de ce résultat ? Allez jeter un coup d’œil dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 187.

La suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est croissante

Soit $n$ un entier naturel non nul.

\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} – \left(1+\frac{1}{n}\right)^n &= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left( \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} -1\right) \\ &= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}} -1\right)\\ &= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1} -1\right)\\ &= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^{n+1} -1\right)\\ &= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} -1\right). \end{align*}

D’après l’inégalité de Bernoulli :

\begin{align*}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} \geq 1-\frac{1}{n+1} \geq \frac{n}{n+1}.\end{align*}

Comme $1+\frac{1}{n} \gt 0\comma$ il vient par produit :

\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1} &\geq \left(1+\frac{1}{n}\right) \times \frac{n}{n+1}\\ &\geq \frac{n+1}{n} \times \frac{n}{n+1}\\ &\geq 1. \end{align*}

Du coup, $\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \geq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ et la croissance de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est démontrée.

La suite $(v_n)_{n\geq 2}$ est croissante

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$

\begin{align*} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} – \left(1-\frac{1}{n}\right)^n &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \left( \frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n} -1\right) \\ &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n+1}} -1\right)\\ &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1-\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n}}\right)^{n+1} -1\right)\\ &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^{n+1} -1\right)\\ &= \left(1-\frac{1}{n}\right)^n \left( \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^{n+1} -1\right). \end{align*}

D’après l’inégalité de Bernoulli :

\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^{n+1} &\geq 1+\frac{n+1}{n^2-1} \\ &\geq 1+\frac{n+1}{(n+1)(n-1)}\\ &\geq 1+\frac{1}{n-1}\\ &\geq \frac{n}{n-1}. \end{align*}

Comme $1-\frac{1}{n} \gt 0\comma$ il vient par produit :

\begin{align*} \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^{n+1} &\geq \left(1-\frac{1}{n}\right)\times \frac{n}{n-1}\\ &\geq \frac{n-1}{n}\times \frac{n}{n-1}\\ &\geq 1. \end{align*}

Vous déduisez donc que $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \geq \left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ et la suite $(v_n)_{n\geq 2}$ est croissante.

En particulier, il en résulte que, pour tout entier $n\geq 2\comma$ $v_2\leq v_n$ donc $\boxed{\forall n\geq 2, \frac{1}{4}\leq v_n.}$

La suite $(u_n)_{n\geq 2}$ est majorée

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$

De l’identité remarquable $\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right) = 1-\frac{1}{n^2}$ vous déduisez :

u_n v_n = \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n.

Comme $0 \leq 1-\frac{1}{n^2} \leq 1\comma$ il vient $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n \leq 1.$

Par suite, $u_n v_n \leq 1.$

De l’inégalité $0\lt\frac{1}{4}\leq v_n$ il vient $\frac{1}{v_n}\leq 4.$

Or l’inégalité $u_nv_n \leq 1\comma$ avec $0\lt v_n\comma$ fournit $u_n\leq \frac{1}{v_n} \leq 4.$

Concluez

La suite $(u_n)_{n\geq 2}$ est majorée par $4\comma$ or $u_1 = 2$ donc $(u_n)_{n\geq 1}$ est majorée par $4.$

Cette observation, cumulée à la croissance de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ implique que la limite $\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ existe et c’est un nombre réel.

Ce nombre est noté $\e.$

Il est ainsi établi ici que le nombre $\e$ est inférieur ou égal à $4.$