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185. Les conditions de Cauchy-Riemann seules n’impliquent pas la dérivabilité au sens complexe

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Dans le prolongement d’un autre article, vous définissez la fonction $f$ suivante en posant $f(0)=0$ et $\forall z\in\C^{*}, f(z)=\e^{-1/z^4}.$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 108.

Démontrez que la fonction $f$ vérifie les conditions de Cauchy-Riemann

La fonction $\widetilde{f}$ est définie sur $\R^2$ en posant $\widetilde{f}(0,0)=0$ et $\forall (x,y)\in\R^2\setminus \{(0,0)\}, \widetilde{f}(x,y) = \e^{-1/(x+iy)^4}.$

Soit $h$ un réel non nul.

\begin{align*} \frac{\widetilde{f}(h,0)-\widetilde{f}(0,0)}{h} &= \frac{\widetilde{f}(h,0)}{h} \\ &= \frac{\e^{-1/h^4}}{h} \\ &= h^3 \frac{\e^{-1/h^4}}{h^4}. \end{align*}

Pour tout réel $h$ non nul, $ \frac{\e^{-1/h^4}}{h^4} = \frac{1}{h^4}\e^{-1/h^4}.$

Or, quand $h$ tend vers $0\comma$ $\frac{1}{h^4}$ tend vers $+\infty.$

Comme $\lim_{X\to +\infty}X \e^{-X} = 0\comma$ par composition de limites vous obtenez $\lim_{h\to 0} \frac{\e^{-1/h^4}}{h^4} = 0$ et par suite il vient $\lim_{h\to 0} h^3 \frac{\e^{-1/h^4}}{h^4} = 0.$

Cela s’écrit $\lim_{h\to 0} \frac{\widetilde{f}(h,0)-\widetilde{f}(0,0)}{h} =0 $ donc la dérivée partielle $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(0,0)$ existe et est égale à $0.$

Soit $h$ un réel non nul.

\begin{align*} \frac{\widetilde{f}(0,h)-\widetilde{f}(0,0)}{h} &= \frac{\widetilde{f}(0,h)}{h} \\ &= \frac{\e^{-1/(ih)^4}}{h} \\ &= \frac{\e^{-1/(h)^4}}{h} \\ &= h^3 \frac{\e^{-1/h^4}}{h^4}. \end{align*}

Comme précédemment, vous avez $\lim_{h\to 0} \frac{\widetilde{f}(0,h)-\widetilde{f}(0,0)}{h} = 0$ donc la dérivée partielle $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(0,0)$ existe et est égale à $0.$

Le calcul de la somme $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(0,0)+i\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(0,0)$ est immédiat.

Vous obtenez $\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial x}(0,0)+i\frac{\partial \widetilde{f}}{\partial y}(0,0) = 0$ donc $f$ vérifie la condition de Cauchy-Riemann en $0.$

Démontrez que $f$ n’est pas dérivable au sens complexe en $0$

Raisonnez par l’absurde en supposant l’existence d’un nombre complexe $f'(0)$ tel que $\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\C}} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f'(0).$

Pour tout entier naturel $n$ non nul, posez $h_n = \frac{\e^{i\pi/4}}{n}\comma$ de sorte que $\forall n\in\N^{*}, h_n^4 = \frac{-1}{n^4}.$

Comme $\lim_{n\to +\infty} h_n = 0$ et $f(0)=0\comma$ il vient $\lim_{n\to +\infty} \frac{f(h_n)}{h_n} = f'(0)$ donc la suite $\left(\left\lvert\frac{f(h_n)}{h_n}\right\rvert\right)_{n\geq 1}$ est majorée.

Soit maintenant $n$ un entier naturel non nul.

\begin{align*} f(h_n) &= \e^{-1/h_n^4}\\ &=\e^{n^4}. \end{align*}

Du coup, $\frac{f(h_n)}{h_n} = \frac{\e^{n^4}}{\frac{\e^{i\pi/4}}{n}}$ donc :

\begin{align*} \left\lvert \frac{f(h_n)}{h_n} \right\rvert &= \frac{\e^{n^4}}{\frac{1}{n}} \\ &= n\e^{n^4}. \end{align*}

Or, quand $n\to +\infty\comma$ $n^4\to +\infty$ donc $\e^{n^4}\to +\infty$ et par produit $n\e^{n^4} \to +\infty$ ce qui contredit le caractère majoré de la suite $\left(\left\rvert\frac{f(h_n)}{h_n}\right\rvert\right)_{n\geq 1}.$

La fonction $f$ n’est donc pas dérivable au sens complexe en $0\comma$ bien qu’elle vérifie la condition de Cauchy-Riemann en ce point.