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187. Le lemme de Bernoulli

17/07/2020 - 0060

Soit $x$ un réel strictement supérieur à $-1$, de sorte que $1+x$ soit un réel strictement positif.

Vous allez démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $(1+x)^n \geq 1+nx.$

D’où provient l’idée de ce lemme ?

Lorsque $x$ est positif, vous avez les minorations suivantes, après développement :

$\begin{align*}
(1+x)^2 &\geq 1+2x+x^2 \geq 1+2x\\
(1+x)^3 &\geq 1+3x+3x^2+x^3 \geq 1+3x\\
(1+x)^4 &\geq 1+4x+6x^2+4x^3+x^4 \geq 1+4x\\
(1+x)^5 &\geq 1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5 \geq 1+5x.
\end{align*}$

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ positif, le développement de $(1+x)^n$ fournit immédiatement le lemme de Bernoulli.

Il est remarquable que celui-ci subsiste aussi lorsque $x$ appartient à l’intervalle $]-1,0[.$

En effet, soit $x$ un réel fixé appartenant à $]-1,0[$.

Partez de $3+x \geq 0$, alors après multiplication par $x^2$ qui est positif, $3x^2+x^3 \geq 0$ et par suite $1+3x+3x^2+x^3\geq 1+3x$ d’où $(1+x)^3\geq 1+3x.$

Pour le degré $4$, partez du fait que $x^2+4x+6 = (x+2)^2+2$ du coup $x^2+4x+6\geq 0$ et après multiplication par $x^2$, il vient $x^4+4x^3+6x^2\geq 0$ et par suite $x^4+4x^3+6x^2+4x+1 \geq 4x+1$ donc $(1+x)^4\geq 1+4x.$

Pour le degré $5$, il va falloir trouver un argument pour justifier que le réel $10+10x+5x^2+x^3$ va être positif… c’est encore possible en étudiant la fonction $f$ définie par $f(t) = 10+10t+5t^2+t^3$ sur l’intervalle $[-1,0].$

Vous avez $f'(t) = 10+5t+3t^2$ qui est un polynôme de degré $2$ possédant un discriminant strictement négatif et de coefficient dominant positif, par suite la fonction $f’$ est positive, donc $f$ est croissante sur $[-1,0]$ donc $f(x)\geq f(-1).$ Or, $f(-1)=4$ donc $f(x)\geq 0.$

Après multiplication de l’inégalité $10+10x+5x^2+x^3 \geq 0$ par $x^2$ et ajout de $1+5x$ vous obtenez enfin $(1+x)^5\geq 1+5x.$

Il semble donc cohérent de conjecturer que l’inégalité $(1+x)^n\geq 1+nx$ est valable pour tout entier naturel $n.$

Mais comment unifier une démonstration unique pour toutes les valeurs de l’entier $n$ ?

La récurrence va être l’outil adéquat.

Utilisez une récurrence

Pour tout entier naturel $n$, notez $P(n)$ la propriété suivante : « pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1$, $(1+x)^n\geq 1+nx.$ »

Initialisation. Posez $n=0$ et fixez un réel $x$ strictement supérieur à $-1.$ Alors $x+1$ est un réel strictement positif, donc $(1+x)^0 = 1.$ Comme $1+0x = 1$ vous obtenez bien $(1+x)^0\geq 1+0x.$ Donc la propriété $P(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel fixé tel que la propriété $P(n)$ soit vérifiée.

Soit $x$ un nombre réel strictement supérieur à $-1.$

Partez du fait que $(1+x)^{n+1} = (1+x)^n(1+x).$

Par hypothèse de récurrence, $(1+x)^n\geq 1+nx.$ Or, $1+x$ est positif, donc après multiplication :

$\begin{align*}
(1+x)(1+x)^n &\geq (1+nx)(1+x) \\
&\geq 1+(n+1)x+nx^2\\
&\geq 1+(n+1)x.
\end{align*}$

La dernière inégalité provient du fait que $n$ est positif et que $x^2$ en tant que carré d’un nombre réel, est positif aussi.

Ainsi $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$ ce qui montre que la propriété $P(n+1)$ est vérifiée.

Concluez

Il a été établi la propriété suivante, baptisée « lemme de Bernoulli » : pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1$, $(1+x)^n\geq 1+nx.$

Note. La positivité de $1+x$ a été utilisée dans la récurrence au moment de la multiplication de l’inégalité $(1+x)^n\geq 1+nx$ par $1+x.$ Le fait que $x = -1$ soit rejeté dans le lemme sert d’un point de vue technique à l’initialisation pour éviter le cas litigieux « $0^0$ » et aussi parce que dans ce cas-là, $(1+x)^n$ serait nul, ce qui ne présente pas beaucoup d’intérêt.

Prolongement

Dans quel cas peut être utilisé le lemme de Bernoulli ? Allez jeter un oeil dans l'article 186.

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