Soit $x$ un réel strictement supérieur à $-1\comma$ de sorte que $1+x$ soit un réel strictement positif.

Vous allez démontrer que, pour tout entier naturel $n\comma$ $(1+x)^n \geq 1+nx.$

D’où provient l’idée de ce lemme ?

Lorsque $x$ est positif, vous avez les minorations suivantes, après développement :

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ positif, le développement de $(1+x)^n$ fournit immédiatement le lemme de Bernoulli.

Il est remarquable que celui-ci subsiste aussi lorsque $x$ appartient à l’intervalle $]-1,0[.$

En effet, soit $x$ un réel fixé appartenant à $]-1,0[.$

Partez de $3+x \geq 0\comma$ alors après multiplication par $x^2$ qui est positif, $3x^2+x^3 \geq 0$ et par suite $1+3x+3x^2+x^3\geq 1+3x$ d’où $(1+x)^3\geq 1+3x.$

Pour le degré $4\comma$ partez du fait que $x^2+4x+6 = (x+2)^2+2$ du coup $x^2+4x+6\geq 0$ et après multiplication par $x^2\comma$ il vient $x^4+4x^3+6x^2\geq 0$ et par suite $x^4+4x^3+6x^2+4x+1 \geq 4x+1$ donc $(1+x)^4\geq 1+4x.$

Pour le degré $5\comma$ il va falloir trouver un argument pour justifier que le réel $10+10x+5x^2+x^3$ va être positif. C’est encore possible en étudiant la fonction $f$ définie par $f(t) = 10+10t+5t^2+t^3$ sur l’intervalle $[-1,0].$

Vous avez $f'(t) = 10+10t+3t^2$ qui est un polynôme de degré $2$ possédant un discriminant strictement négatif et de coefficient dominant positif, par suite la fonction $f’$ est positive, donc $f$ est croissante sur $[-1,0]$ donc $f(x)\geq f(-1).$ Or, $f(-1)=4$ donc $f(x)\geq 0.$

Après multiplication de l’inégalité $10+10x+5x^2+x^3 \geq 0$ par $x^2$ et ajout de $1+5x$ vous obtenez enfin $(1+x)^5\geq 1+5x.$

Il semble donc cohérent de conjecturer que l’inégalité $(1+x)^n\geq 1+nx$ est valable pour tout entier naturel $n.$

Mais comment obtenir une démonstration unique, valable pour tous les entiers naturels ?

La récurrence va être l’outil adéquat.

Utilisez une récurrence

Pour tout entier naturel $n\comma$ notez $P(n)$ la propriété suivante : « pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1\comma$ $(1+x)^n\geq 1+nx$ ».

Initialisation. Posez $n=0$ et fixez un réel $x$ strictement supérieur à $-1.$ Alors $x+1$ est un réel strictement positif, donc $(1+x)^0 = 1.$ Comme $1+0x = 1$ vous obtenez bien $(1+x)^0\geq 1+0x.$ Donc la propriété $P(0)$ est vérifiée.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel fixé tel que la propriété $P(n)$ soit vérifiée.

Soit $x$ un nombre réel strictement supérieur à $-1.$

Partez du fait que $(1+x)^{n+1} = (1+x)^n(1+x).$

Par hypothèse de récurrence, $(1+x)^n\geq 1+nx.$ Or, $1+x$ est positif, donc après multiplication :

La dernière inégalité provient du fait que $n$ est positif et que $x^2$ en tant que carré d’un nombre réel, est positif aussi.

Ainsi $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$ ce qui montre que la propriété $P(n+1)$ est vérifiée.

Concluez

Il a été établi la propriété suivante, baptisée « lemme de Bernoulli » : pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$ strictement supérieur à $-1\comma$ $(1+x)^n\geq 1+nx.$

Note. La positivité de $1+x$ a été utilisée dans la récurrence au moment de la multiplication de l’inégalité $(1+x)^n\geq 1+nx$ par $1+x.$ Le fait que $x = -1$ soit rejeté dans le lemme sert d’un point de vue technique à l’initialisation pour éviter le cas litigieux « $0^0$ » et aussi parce que dans ce cas-là, $(1+x)^n$ serait nul, ce qui ne présente pas beaucoup d’intérêt.

Prolongement

Dans quel cas peut être utilisé le lemme de Bernoulli ? Allez jeter un œil dans d’autres articles.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 186.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 250.