Soit $q$ un nombre réel positif tel que $q<1.$

Pour tout entier naturel $n\geq 3$, vous considérez $u_n = 1+2q+3q^2+4q^3+\cdots+(n+1)q^n.$

Autrement dit, pour tout $n\geq 0$ vous avez $u_n = \sum_{k=0}^n (k+1)q^k.$

Le but de cet article est de montrer que la limite $\lim_{n\to +\infty} u_n$ existe et de calculer sa valeur.

Ramenez-vous à une suite géométrique

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1.$

$\begin{align*}
q\times u_n &= \sum_{k=0}^n (k+1)q^{k+1} \\
&= \sum_{k=1}^{n+1} kq^{k}\\
&= \sum_{k=1}^{n} kq^{k} + (n+1)q^n.
\end{align*}$

Or $u_n = 1 + \sum_{k=1}^n (k+1)q^k.$

Il vient :

$\begin{align*}
u_n-q\times u_n &= \sum_{k=1}^n (k+1)q^k -\sum_{k=1}^{n} kq^{k} + 1 – (n+1)q^n\\
&=\sum_{k=1}^n q^k + 1 – (n+1)q^n\\
&=\sum_{k=0}^n q^k – (n+1)q^n\\
&=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} – (n+1)q^n
\end{align*}$

Vous déduisez $u_n=\frac{\frac{1-q^{n+1}}{1-q} – (n+1)q^n}{1-q}.$

Déduisez la valeur de la somme

Soit $x$ un nombre réel positif et $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$

Le développement de $(1+x)^n$ par la formule du binôme fournit l’inégalité $(1+x)^n \geq \frac{n(n-1)}{2}x^2.$

Par suite, comme $1/q$ est strictement supérieur à $1$, vous avez $1/q = 1+x$ avec $x>0$ et $\frac{(1/q)^n}{n} \geq \frac{n-1}{2}x^2$ donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{(1/q)^n}{n} = +\infty$ soit $\lim_{n\to +\infty} nq^n = 0.$

Comme $0\leq q^n \leq nq^n$ vous retrouvez par le théorème des gendarmes que $\lim_{n\to +\infty} q^n = 0.$

Vous déduisez $\lim_{n\to +\infty} (n+1)q^n =0$ et $\lim_{n\to +\infty} q^{n+1} =0.$

Il vient immédiatement $\lim_{n\to +\infty} u_n = \frac{1}{(1-q)^2.}$

Il est ainsi prouvé que pour tout $q\in[0,1[, \boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)q^k = \frac{1}{(1-q)^2}.}$

Prolongement

Justifiez que le résultat s’étend à un intervalle plus large.

Montrez que pour tout $q\in]-1,1[, \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)q^k = \frac{1}{(1-q)^2}.$