Ce théorème est attribué à Eduard Heine et date de 1872. Il s’énonce ainsi.
Quels que soient les réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ et quelle que soit $f : [a,b]\to \R$ une fonction continue, $f$ est uniformément continue sur $[a,b].$
Continuité et continuité uniforme
Le fait que $f$ soit continue sur $[a,b]$ s’exprime ainsi :
\begin{aligned} \forall x\in [a,b], \forall \varepsilon > 0, \exists \delta >0, \forall y\in[a,b], \lvert y-x \rvert\leq \delta \implies \lvert f(y)-f(x)\rvert \leq \varepsilon.\end{aligned}
Il s’agit démontrer sous cette hypothèse la continuité uniforme de $f$ sur $[a,b]$, à savoir :
\begin{aligned} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta >0, \forall x\in [a,b], \forall y\in[a,b], \lvert y-x \rvert\leq \delta \implies \lvert f(y)-f(x)\rvert \leq \varepsilon.\end{aligned}
De nombreuses démonstrations se basent sur des suites, des suites extraites et le raisonnement par l’absurde. D’autres utilisent la notion de compacité du segment $[a,b]$, qui, recouvert par des ouverts bien choisis, et extraction d’un sous-recouvrement fini, permettent d’aboutir à une démonstration.
Dans cet article vous utiliserez une preuve directe reposant sur la propriété de la borne supérieure des réels : toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure, c’est-à-dire un plus petit majorant pour cette partie.
Fixez deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b.$ Soit $f : [a,b]\to \R$ une fonction continue et $\varepsilon$ un réel strictement positif.
Une notation utile
On dit que $f$ possède la propriété $P$ sur un intervalle $I\subset[a,b]$, si et seulement si : $\exists \delta > 0, \forall z,z’\in I, \lvert z-z’\rvert\leq \delta \implies \lvert f(z)-f(z’)\rvert \leq \varepsilon.$
De cette définition, on tire immédiatement le fait que si $J$ est un sous-intervalle d’un intervalle $I\subset[a,b]$ et si $f$ possède la propriété $P$ sur $I$, alors $f$ possède la propriété $P$ sur $J.$
Lemme $1$ : caractère local de la propriété $P$
Soit $c$ un réel appartenant à l’intervalle $[a,b].$
Alors il existe un réel $r$ strictement positif tel que $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[a,b]\cap [c-r, c+r].$
En effet, $f$ est continue en $c.$
Il existe donc un réel $r$ strictement positif tel que $\forall x\in[a,b], \lvert x-c\rvert \leq r \implies \lvert f(x)-f(c)\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}.$
Soient maintenant $z$ et $z’$ deux réels de l’intervalle $[a,b]\cap [c-r, c+r].$
Comme $\lvert z-c\rvert \leq r$ et $\lvert z’-c\rvert \leq r$ il vient $\lvert f(z)-f(c)\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}$ et $\lvert f(z’)-f(c)\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}.$
D’après l’inégalité triangulaire :
\begin{aligned}
\lvert f(z)-f(z’) \rvert &\leq \lvert f(z)-f(c) \rvert + \lvert f(z’)-f(c) \rvert\\
&\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq \varepsilon.
\end{aligned}
Ce qui conclut.
Le lemme suivant sera aussi très utile dans la suite.
Lemme $2$ : recollement d’intervalles
Supposez que $u$, $v$ et $w$ sont trois réels de l’intervalle $[a,b]$ tels que $u<v<w$, de sorte que : $f$ ait la propriété $P$ sur l’ intervalle $[u,v]$ et $f$ ait aussi la propriété $P$ sur l’intervalle $[v,w].$
Vous allez montrer que $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[u,w].$
Vous avez tout d’abord l’existence de deux réels strictement positifs $\delta_1$ et $\delta_2$ tels que :
$\forall z,z’\in [u,v], \lvert z-z’\rvert\leq \delta_1 \implies \lvert f(z)-f(z’)\rvert \leq \varepsilon.$
$\forall z,z’\in [v,w], \lvert z-z’\rvert\leq \delta_2 \implies \lvert f(z)-f(z’)\rvert \leq \varepsilon.$
Le recollement va être dû à la continuité de $f$ en $v$.
En effet, il existe $\delta_3>0$ tel que $\forall x\in [a,b], \lvert x-v\rvert\leq \delta_3 \implies \lvert f(x)-f(v)\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}.$
Posez alors $\delta = \mathrm{Min}(\delta_1, \delta_2,\delta_3).$
Considérez deux réels $z$ et $z’$ appartenant à l’intervalle $[u,w]$ et tels que $\lvert z-z’\rvert\leq \delta.$
1er cas : $z\in[u,v]$ et $z’\in[u,v].$ Comme $\lvert z-z’\rvert\leq \delta \leq \delta_1$ il vient $\lvert f(z)-f(z’)\rvert \leq \varepsilon.$
2ème cas : $z\in[u,v]$ et $z’\notin[u,v].$ Alors $z’\in[v,w].$ Alors :
$\lvert z-v\rvert \leq \lvert z-z’\rvert\leq \delta \leq \delta_3.$
De même :
$\lvert z’-v\rvert \leq \lvert z-z’\rvert\leq \delta \leq \delta_3.$
Donc $\lvert f(z)-f(v)\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}$ et $\lvert f(z’)-f(v)\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}.$
L’inégalité triangulaire fournit :
\begin{aligned}
\lvert f(z)-f(z’) \rvert &\leq \lvert f(z)-f(v) \rvert + \lvert f(z’)-f(v) \rvert\\
&\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq \varepsilon.
\end{aligned}
3ème cas : $z\notin[u,v]$ et $z’\in[u,v].$ Alors $z\in[v,w].$ Il s’agit du cas numéro 2 où $z$ et $z’$ ont été échangés. Vous obtenez alors $\lvert f(z)-f(z’) \rvert \leq \varepsilon.$
4ème cas : $z\notin[u,v]$ et $z’\notin[u,v].$ Alors $z,z’\in[v,w].$ Comme $\lvert z-z’\rvert\leq \delta \leq \delta_2$ il vient $\lvert f(z)-f(z’)\rvert \leq \varepsilon.$
Ainsi $f$ possède bien la propriété $P$ sur l’intervalle $[u,w].$
Passez maintenant à la démonstration du théorème de Heine
Considérez pour cela l’ensemble $A = \{x\in[a,b],$ $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[a,x].\}$
Montrez que $A$ contient un élément strictement supérieur à $a$
En appliquant le lemme $1$, avec $c=a$ vous avez l’existence d’un réel $r>0$ tel que $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[a,b]\cap[a-r, a+r].$
Posez $a_0 = a+ \mathrm{Min}(b-a, r)$. Alors $a<a_0\leq b$ et $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[a, a_0].$
Donc $a_0\in A.$
Montrez que $A$ admet une borne supérieure
La partie $A$ est une partie de $\R$ non vide (puisqu’elle contient $a_0$) et qui est majorée par $b.$
Donc elle admet une borne supérieure $\alpha.$
Comme $a_0\in A$ il vient $a_0\leq \alpha$ puisque la borne supérieure de $A$ est un majorant de $A.$
Le nombre $b$ majore $A$, or le plus petit des majorants de $A$ est $\alpha$, donc $\alpha\leq b.$
Ainsi $a<a_0\leq \alpha \leq b.$
Montrez que la borne supérieure $\alpha$ est égale à $b$
Ce point est délicat.
Raisonnez par l’absurde en supposant $\alpha \neq b.$ Alors $a < \alpha < b.$
Appliquez le lemme $1$ avec $c=\alpha.$ Il existe un réel $r’>0$ tel que $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[a,b]\cap[\alpha-r’, \alpha+r’].$
Posez alors $r = \mathrm{Min}(r’, b-\alpha, \alpha-a)>0.$ Alors $a\leq \alpha-r\leq \alpha+r\leq b.$
Alors $f$ possède la propriété $P$ sur $[\alpha-r, \alpha+r].$
Or $\alpha-r < \alpha$, donc $\alpha-r$ ne peut majorer $A$ donc il existe $d\in A$ tel que $\alpha-r<d.$ Comme $f$ possède la propriété $P$ sur $[a, d]$ vous déduisez que $f$ possède aussi la propriété $P$ sur $[a, \alpha-r].$
Utilisant le lemme $2$ de recollement, vous déduisez que $f$ admet la propriété $P$ sur $[a, \alpha+r]$, donc $\alpha+r\in A.$
Or $\alpha$ majore $A$ donc $\alpha+r \leq \alpha$ donc $r\leq 0$ contradiction.
Concluez
D’après ce qui précède, la borne supérieure de $A$ est égale à $b.$
Or, en appliquant le lemme $1$ à $c=b$ vous déduisez l’existence d’un réel $r’>0$ tel que $f$ possède la propriété $P$ sur $[a,b]\cap [b-r’, b+r’].$
Posez alors $r = \mathrm{Min}(r’,b-a)> 0.$ Vous avez $a\leq b-r < b.$
La fonction $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[b-r, b]\subset [a,b]\cap [b-r’, b+r’].$
Or $b-r < b$ donc $b-r$ ne peut majorer $A$ donc il existe $d\in A$ tel que $b-r< d.$
La fonction $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[a,d]$ donc $f$ possède aussi la propriété $P$ sur l’intervalle $[a,b-r].$
Utilisant le lemme $2$ de recollement vous déduisez que $f$ possède la propriété $P$ sur l’intervalle $[a,b].$
Cela termine la démonstration du théorème de Heine.
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !