Votre navigateur n'accepte pas le Javascript. La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

190. Les équations de Cauchy-Riemann avec les parties réelles et imaginaires

Dans cet article, $z_0$ désigne un nombre complexe fixé.

Il s’écrit sous la forme unique $z_0=x_0+iy_0$ où $x_0$ et $y_0$ sont deux nombres réels.

Supposez qu’il existe un nombre réel $r$ strictement positif tel que $f$ soit une fonction définie sur $B = \{z\in\C, \lvert z-z_0\rvert<r\}$ (boule ouverte de centre $z_0$ et de rayon $r$) à valeurs dans $\C.$

Supposez de plus que la fonction $f$ est dérivable au sens complexe en $z_0$, autrement dit il existe un nombre complexe noté $f'(z_0)$ tel que :

$\begin{align*}\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall h\in \C, 0<\lvert h \rvert < \mathrm{Min}(\delta,r) \implies \left\lvert\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} – f'(z_0) \right\rvert \leq \varepsilon.\end{align*}$

Ceci est noté $\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\C}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0).$

Avant de commencer les démonstrations proprement dites sur les équations de Cauchy-Riemann il sera très utile de faire le lien entre les parties réelles et imaginaires.

Un petit lemme sur les parties réelles et imaginaires

Soit $z$ un nombre complexe. Il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que $z = x+iy.$

On note $x = \mathrm{Re}(z)$ et $y = \mathrm{Im}(z)$.

Notez que $iz = -y + ix = – \mathrm{Im}(z) + i \mathrm{Re}(z).$

Vous obtenez alors le résultat suivant, valable pour tout nombre complexe $z$ :

$\boxed{\mathrm{Re}(iz) = -\mathrm{Im}(z)}$ et $\boxed{\mathrm{Im}(iz) = \mathrm{Re}(z).}$

Définissez les fonctions de deux variables qui correspondent à la partie réelle et à la partie imaginaire

Notez :

$\begin{align*}C = \left\{(x_0+h, y_0+k), (h,k)\in\left]\frac{-r\sqrt{2}}{2}, \frac{r\sqrt{2}}{2}\right[^2\right\}\end{align*}$

qui est un carré centré en $(x_0,y_0)$ avec $C\subset \R^2.$

Il convient de remarquer que $\forall (x,y)\in C, x+iy\in U.$

Cela conduit aux définitions suivantes.

Pour tout $(x,y)\in C$ vous posez $\boxed{u(x,y) = \mathrm{Re}(f(x+iy))}$ et $\boxed{v(x,y) = \mathrm{Im}(f(x+iy)).}$

Démontrez la première relation de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)$

Il s’agit de démontrer que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $(x_0,y_0)$, notée $\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)$ puis de démontrer que la fonction $v$ admet aussi une dérivée partielle par rapport à la seconde variable, notée $\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)$ puis d’arriver à l’égalité $\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0).$

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Il existe alors un nombre réel $\delta$ strictement positif tel que:

$\begin{align*}\forall h\in \C, 0<\lvert h \rvert < \mathrm{Min}(\delta,r) \implies \left\lvert\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} – f'(z_0) \right\rvert \leq \varepsilon.\end{align*}$

Soit maintenant $h$ un réel tel que $0 < \lvert h \rvert < \mathrm{Min}\left(\delta,\frac{r\sqrt{2}}{2}\right).$

$\begin{align*}
\left\lvert \frac{u(x_0+h,y_0)-u(x_0,y_0)}{h}-\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert &\leq \left\lvert \frac{\mathrm{Re}(f(x_0+h+iy_0))-\mathrm{Re}(f(x_0+iy_0))}{h}-\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Re}\left(\frac{f(x_0+h+iy_0)-f(x_0+iy_0)}{h}\right) -\mathrm{Re}(f'(z_0)) \right\rvert\\
&\leq \left\lvert \mathrm{Re}\left(\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\right) -\mathrm{Re}(f'(z_0)) \right\rvert\\
&\leq \left\lvert \mathrm{Re}\left(\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} – f'(z_0)\right) \right\rvert\\
&\leq \left\lvert \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} – f'(z_0) \right\rvert\\
&\leq \varepsilon.
\end{align*}$

Il est ainsi démontré que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \mathrm{Re}(f'(z_0)).}$

Il s’agit maintenant de passer à la fonction $v.$

Remarquez que $\lvert ih \rvert = \lvert h \rvert$ donc:

$\begin{align*}\left\lvert\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} – f'(z_0) \right\rvert \leq \varepsilon.\end{align*}$

Il vient les majorations suivantes:

$\begin{align*}
\left\lvert \frac{v(x_0,y_0+h)-v(x_0,y_0)}{h}-\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert &\leq \left\lvert \frac{\mathrm{Im}(f(x_0+iy_0+ih))-\mathrm{Im}(f(x_0+iy_0))}{h}-\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \frac{\mathrm{Im}(f(x_0+iy_0+ih)-f(x_0+iy_0))}{h}-\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Im}\left(\frac{f(x_0+iy_0+ih)-f(x_0+iy_0)}{h}\right) -\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Im}\left(\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{h}\right) -\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Im}\left(i\times \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}\right) -\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Re}\left( \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}\right) -\mathrm{Re}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Re}\left( \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}-f'(z_0)\right) \right\rvert \\
&\leq \left\lvert \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}-f'(z_0) \right\rvert \\
&\leq \varepsilon.
\end{align*}$

Il est ainsi démontré que la fonction $v$ admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) = \mathrm{Re}(f'(z_0)).}$

Vous en déduisez que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0).}$

Démontrez la deuxième relation de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$

Il s’agit de démontrer que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en $(x_0,y_0)$, notée $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)$ puis de démontrer que la fonction $v$ admet aussi une dérivée partielle par rapport à la première variable, notée $\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$ puis d’arriver à l’égalité $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0).$

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Il existe alors un nombre réel $\delta$ strictement positif tel que:

$\begin{align*}\forall h\in \C, 0<\lvert h \rvert < \mathrm{Min}(\delta,r) \implies \left\lvert\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} – f'(z_0) \right\rvert \leq \varepsilon.\end{align*}$

Soit maintenant $h$ un réel tel que $0 < \lvert h \rvert < \mathrm{Min}\left(\delta,\frac{r\sqrt{2}}{2}\right).$ Notez encore que $\lvert ih \rvert = \lvert h \rvert$ donc:

$\begin{align*}\left\lvert\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} – f'(z_0) \right\rvert \leq \varepsilon.\end{align*}$

Il vient successivement:

$\begin{align*}
\left\lvert \frac{u(x_0,y_0+h)-u(x_0,y_0)}{h}-\left[-\mathrm{Im}(f'(z_0))\right]\right\rvert &\leq \left\lvert \frac{\mathrm{Re}(f(x_0+iy_0+ih))-\mathrm{Re}(f(x_0+iy_0))}{h}+\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \frac{\mathrm{Re}(f(z_0+ih))-\mathrm{Re}(f(z_0))}{h}+\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Re} \left(\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{h}\right) +\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Re} \left(i\times \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}\right) +\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert -\mathrm{Im} \left( \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}\right) +\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Im} \left( f'(z_0) – \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} \right) \right\rvert \\
&\leq \left\lvert f'(z_0) – \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} \right\rvert \\
&\leq \left\lvert \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} – f'(z_0) \right\rvert \\
&\leq \varepsilon.
\end{align*}$

Il est ainsi démontré que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\mathrm{Im}(f'(z_0)).}$

$\begin{align*}
\left\lvert \frac{v(x_0+h,y_0)-v(x_0,y_0)}{h}-\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert &\leq \left\lvert \frac{\mathrm{Im}(f(x_0+h+iy_0))-\mathrm{Im}(f(x_0+iy_0))}{h}-\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \frac{\mathrm{Im}(f(z_0+h))-\mathrm{Im}(f(z_0))}{h}-\mathrm{Im}(f'(z_0))\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \mathrm{Im}\left( \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} – f'(z_0) \right)\right\rvert \\
&\leq \left\lvert\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} – f'(z_0) \right\rvert \\
&\leq \varepsilon.
\end{align*}$

Il est ainsi démontré que la fonction $v$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = \mathrm{Im}(f'(z_0)).}$

Vous en déduisez que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0).}$

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !