Dans ce contenu, $z_0$ désigne un nombre complexe fixé.

Il s’écrit sous la forme unique $z_0=x_0+iy_0$ où $x_0$ et $y_0$ sont deux nombres réels.

Supposez qu’il existe un nombre réel $r$ strictement positif tel que $f$ soit une fonction définie sur $B = \{z\in\C, \lvert z-z_0\rvert\lt r\}$ (boule ouverte de centre $z_0$ et de rayon $r$) à valeurs dans $\C.$

Supposez de plus que la fonction $f$ est dérivable au sens complexe en $z_0\comma$ autrement dit il existe un nombre complexe noté $f'(z_0)$ tel que :

Ceci est noté $\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\C}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0).$

Avant de commencer les démonstrations proprement dites sur les équations de Cauchy-Riemann, il sera très utile de faire le lien entre les parties réelles et imaginaires.

Un petit lemme sur les parties réelles et imaginaires

Soit $z$ un nombre complexe. Il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que $z = x+iy.$

Vous notez $x = \mathrm{Re}(z)$ et $y = \mathrm{Im}(z).$

Notez que $iz = -y + ix = – \mathrm{Im}(z) + i \mathrm{Re}(z).$

Vous obtenez alors le résultat suivant, valable pour tout nombre complexe $z$ :

$\boxed{\mathrm{Re}(iz) = -\mathrm{Im}(z)}$ et $\boxed{\mathrm{Im}(iz) = \mathrm{Re}(z).}$

Définissez les fonctions de deux variables qui correspondent à la partie réelle et à la partie imaginaire

Notez :

qui est un carré centré en $(x_0,y_0)$ avec $C\subset \R^2.$

Il convient de remarquer que $\forall (x,y)\in C, x+iy\in B.$

Cela conduit aux définitions suivantes.

Pour tout $(x,y)\in C$ vous posez $\boxed{u(x,y) = \mathrm{Re}(f(x+iy))}$ et $\boxed{v(x,y) = \mathrm{Im}(f(x+iy)).}$

Démontrez la première relation de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)$

Il s’agit de démontrer que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $(x_0,y_0)\comma$ notée $\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)$ puis de démontrer que la fonction $v$ admet aussi une dérivée partielle par rapport à la seconde variable, notée $\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)$ puis d’arriver à l’égalité $\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0).$

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Il existe alors un nombre réel $\delta$ strictement positif tel que :

Soit maintenant $h$ un réel tel que $0 \lt \lvert h \rvert \lt \min\left(\delta,\frac{r\sqrt{2}}{2}\right).$

Il est ainsi démontré que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \mathrm{Re}(f'(z_0)).}$

Il s’agit maintenant de passer à la fonction $v.$

Remarquez que $\lvert ih \rvert = \lvert h \rvert$ donc :

Il vient les majorations suivantes :

Il est ainsi démontré que la fonction $v$ admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) = \mathrm{Re}(f'(z_0)).}$

Vous en déduisez que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0).}$

Démontrez la deuxième relation de Cauchy-Riemann $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$

Il s’agit de démontrer que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en $(x_0,y_0)\comma$ notée $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)$ puis de démontrer que la fonction $v$ admet aussi une dérivée partielle par rapport à la première variable, notée $\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$ puis d’arriver à l’égalité $\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0).$

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Il existe alors un nombre réel $\delta$ strictement positif tel que :

Soit maintenant $h$ un réel tel que $0 \lt \lvert h \rvert \lt \min\left(\delta,\frac{r\sqrt{2}}{2}\right).$ Notez encore que $\lvert ih \rvert = \lvert h \rvert$ donc :

Il vient successivement :

Il est ainsi démontré que la fonction $u$ admet une dérivée partielle par rapport à la deuxième variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\mathrm{Im}(f'(z_0)).}$

Il est ainsi démontré que la fonction $v$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $(x_0,y_0)$ et que $\boxed{\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = \mathrm{Im}(f'(z_0)).}$

Vous en déduisez que $\boxed{\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0).}$