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193. Un ensemble qui n’admet pas de plus grand élément

Considérez la partie $A$ suivante de l’ensemble des rationnels $\Q$, définie par :

$A=\left\{\frac{m}{n}, m\in\N, n\in\N^{*}\text{ et } \left(\frac{m}{n}\right)^2<2\right\}.$

Vous allez montrer que $A$ n’admet pas de plus grand élément.

En effet, soient deux entiers $m\in\N$, $n\in\N^{*}$ tels que $ \left(\frac{m}{n}\right)^2<2.$

Considérez le rationnel $q$ défini par $q = \frac{3m+4n}{2m+3n}$, bien défini puisque $2m+3n \geq 3n\geq 3.$

Montrez que $q$ est strictement supérieur à $\frac{m}{n}$

Vous avez les inégalités suivantes :

$\begin{align*}
m^2&<2n^2 \\
2m^2 &< 4n^2\\
2m^2+3mn &< 4n^2+3mn\\
m(2m+3n) &< n(4n+3m)\\
\frac{m}{n} &< \frac{4n+3m}{2m+3n}\\
\frac{m}{n} &< q.
\end{align*}$

Montrez que $q$ appartient à l’ensemble $A$

Vous avez déjà $4n+3m\in\N$ et $2m+3n\in\N^{*}.$

Calculez la différence suivante :

$\begin{align*}
\left(\frac{4n+3m}{2m+3n}\right)^2 -2 &= \frac{(4n+3m)^2}{(2m+3n)^2}-2 \\
&= \frac{(4n+3m)^2-2(2m+3n^2)}{(2m+3n)^2} \\
&= \frac{ 16n^2+9m^2+24mn -2(4m^2+9n^2+12mn)}{(2m+3n)^2} \\
&= \frac{ 16n^2+9m^2+24mn -8m^2-18n^2-24mn}{(2m+3n)^2} \\
&= \frac{m^2 -2n^2}{(2m+3n)^2}.
\end{align*}$

Elle est strictement négative vu que $m^2 < 2n^2.$

D’où $q\in A.$

Concluez

Vous avez montré que pour tout nombre appartenant à $A$, il existe un nombre appartenant à $A$ qui lui est strictement supérieur.

Donc l’ensemble $A$ n’admet pas de plus grand élément.

Prolongement

En suivant une démarche similaire, pourriez-vous prouver aussi que l’ensemble défini par :

$B=\left\{\frac{m}{n}, m\in\N, n\in\N^{*}\text{ et } \left(\frac{m}{n}\right)^2<3\right\}$

n’admet pas de plus grand élément ?

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