École AVOSZ

193. Un ensemble qui n’admet pas de plus grand élément

3 décembre 2021

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Considérez la partie $A$ suivante de l’ensemble des rationnels $\Q\comma$ définie par :

A=\left\{\frac{m}{n}, m\in\N, n\in\N^{*}\text{ et } \left(\frac{m}{n}\right)^2\lt2\right\}.

Vous allez montrer que $A$ n’admet pas de plus grand élément.

En effet, soient deux entiers $m\in\N\comma$ $n\in\N^{*}$ tels que $ \left(\frac{m}{n}\right)^2\lt2.$

Considérez le rationnel $q$ défini par $q = \frac{3m+4n}{2m+3n}\comma$ bien défini puisque $2m+3n \geq 3n\geq 3.$

Vous avez les inégalités suivantes :

\begin{align*} m^2&\lt2n^2 \\ 2m^2 &\lt 4n^2\\ 2m^2+3mn &\lt 4n^2+3mn\\ m(2m+3n) &\lt n(4n+3m)\\ \frac{m}{n} &\lt \frac{4n+3m}{2m+3n}\\ \frac{m}{n} &\lt q. \end{align*}

Vous avez déjà $4n+3m\in\N$ et $2m+3n\in\N^{*}.$

Calculez la différence suivante :

\begin{align*} \left(\frac{4n+3m}{2m+3n}\right)^2 -2 &= \frac{(4n+3m)^2}{(2m+3n)^2}-2 \\ &= \frac{(4n+3m)^2-2(2m+3n)^2}{(2m+3n)^2} \\ &= \frac{ 16n^2+9m^2+24mn -2(4m^2+9n^2+12mn)}{(2m+3n)^2} \\ &= \frac{ 16n^2+9m^2+24mn -8m^2-18n^2-24mn}{(2m+3n)^2} \\ &= \frac{m^2 -2n^2}{(2m+3n)^2}. \end{align*}

Elle est strictement négative vu que $m^2 \lt 2n^2.$

D’où $q\in A.$

Vous avez montré que pour tout nombre appartenant à $A\comma$ il existe un nombre appartenant à $A$ qui lui est strictement supérieur.

Donc l’ensemble $A$ n’admet pas de plus grand élément.

En suivant une démarche similaire, pourriez-vous prouver aussi que l’ensemble défini par :

B=\left\{\frac{m}{n}, m\in\N, n\in\N^{*}\text{ et } \left(\frac{m}{n}\right)^2\lt3\right\}

n’admet pas de plus grand élément ?