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194. Déterminez la forme de Jordan d’une matrice

Soit la matrice suivante :

$\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &4 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Comment obtenir sa forme de Jordan ?

Première étape : utilisez des dilatations pour changer le $4$ en $1$ dans la dernière colonne

Vous effectuez les deux opérations élémentaires sur la matrice $A$ : $L_2 \leftarrow 1/4 L_2$ et $C_2\leftarrow 4C_2$ ce qui fournit :

$\begin{align*}
A_1 = \begin{pmatrix}
0 & 4 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Puis vous effectuez les deux opérations élémentaires sur la matrice $A_1$ : $L_1\leftarrow 1/4 L_1$ et $C_1\leftarrow 4C_1$ ce qui fournit :

$\begin{align*}
A_2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

En notant $D_1$ la première matrice de dilatation, vous avez :

$\begin{align*}
D_1 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Alors $D_1^{-1}AD_1 = A_1.$

En notant $D_2$ la deuxième matrice de dilatation, vous avez :

$\begin{align*}
D_2 = \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Alors $D_2^{-1}A_1D_2 = A_2.$

Soit $D_2^{-1}D_1^{-1}AD_1D_2 = A_2.$

Deuxième étape : utilisez des transvections pour n’avoir qu’un seul $1$ dans la dernière colonne

L’idée consiste à partir du $1$ du dessus, associé à un bloc de Jordan de taille maximale, pour éliminer les autres.

Partez de la matrice $A_2$ ci-dessous :

$\begin{align*}
A_2 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Effectuez alors les opérations élémentaires $L_6\leftarrow L_6-L_2$ et $C_2\leftarrow C_2+C_6$ ce qui fournit :

$\begin{align*}
A_3 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Selon le positionnement des $1$ à éliminer, plusieurs transvections peuvent être utilisées. Dans le cas présent, une seule suffit.

La matrice de transvection associée est :

$\begin{align*}
T = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Vous avez $T^{-1}A_2T = A_3$ et $T^{-1}D_2^{-1}D_1^{-1}AD_1D_2T = A_3.$

Troisième et dernière étape : utilisez une matrice de permutation pour obtenir la matrice de Jordan

Repartez de la matrice suivante :

$\begin{align*}
A_3 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Appliquez la matrice de permutation suivante :

$\begin{align*}
P = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 1 &0 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &1 &0 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &0 &1 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &1 \\
0 & 0 & 1 & 0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Vous obtenez alors $P^{-1}A_3P = J = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.$

Calculez la matrice de passage associée au processus et son inverse

Vous cherchez une matrice inversible $Q$ telle que $Q^{-1}AQ = J.$

D’après ce qui précède, vous pouvez choisir $Q = D_1D_2TP$, ce qui est égal à $ID_1D_2TP$ où $I$ est la matrice identité.

Pour obtenir $Q$ vous partez donc de la matrice identité et effectuez les opérations élémentaires suivantes dans cet ordre : $C_2\leftarrow 4C_2$, $C_1\leftarrow 4C_1$, $C_2\leftarrow C_2+C_6$ et la dernière qui place la colonne 7 à la place de la troisième et décale toutes les autres sur la droite, à savoir $(C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6,C_7)\rightarrow (C_1,C_2,C_7, C_3,C_4,C_5,C_6).$

$\begin{align*}
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} &\xrightarrow[C_2\leftarrow 4C_2]{} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \xrightarrow[C_1\leftarrow 4C_1]{} \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow[C_2\leftarrow C_2+C_6]{} \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \\
&\xrightarrow[(C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6,C_7)\rightarrow (C_1,C_2,C_7, C_3,C_4,C_5,C_6)]{} Q=\begin{pmatrix}
4 & 0&0 & 0 & 0 &0 &0 \\
0 &4&0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0&0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0&0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0&0 &0 &0 &1 &0 \\
0 &1&0 &0 &0 &0 &1 \\
0 &0&1 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

D’après ce qui précède, vous avez $Q^{-1} = (D_1D_2TP)^{-1} = P^{-1}T^{-1}D_2^{-1}D_1^{-1}$, ce qui est égal à $P^{-1}T^{-1}D_2^{-1}D_1^{-1}I.$

Pour obtenir $Q^{-1}$ vous partez donc de la matrice identité et effectuez les opérations élémentaires suivantes dans cet ordre : $L_2\leftarrow 1/4 L_2$, $L_1\leftarrow 1/4 L_1$, $L_6\leftarrow L_6-L_2$ et la dernière qui place la ligne 7 à la place de la troisième et décale toutes les autres sur le fond, à savoir $(L_1,L_2,L_3,L_4,L_5,L_6,L_7)\rightarrow (L_1,L_2,L_7, L_3,L_4,L_5,L_6).$

$\begin{align*}
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} &\xrightarrow[L_2\leftarrow 1/4 L_2]{} \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1/4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \xrightarrow[L_1\leftarrow 1/4 L_1]{} \begin{pmatrix}
1/4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1/4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow[L_6\leftarrow L_6-L_2]{} \begin{pmatrix}
1/4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1/4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &-1/4 &0 &0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1
\end{pmatrix} \\
&\xrightarrow[(L_1,L_2,L_3,L_4,L_5,L_6,L_7)\rightarrow (L_1,L_2,L_7, L_3,L_4,L_5,L_6)]{} Q^{-1}=\begin{pmatrix}
1/4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1/4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &-1/4 &0 &0 &0 &1 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

Concluez

Vous avez obtenu $Q^{-1}AQ = J$ avec :

$\begin{align*}
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &4 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}
\qquad
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0\\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}
\end{align*}$

$\begin{align*}
Q = \begin{pmatrix}
4 & 0&0 & 0 & 0 &0 &0 \\
0 &4&0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0&0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0&0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &0&0 &0 &0 &1 &0 \\
0 &1&0 &0 &0 &0 &1 \\
0 &0&1 &0 &0 &0 &0
\end{pmatrix}
\qquad
Q^{-1} = \begin{pmatrix}
1/4 & 0 & 0 & 0 &0 &0 &0 \\
0 &1/4 &0 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &0 &1 &0 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
0 &-1/4 &0 &0 &0 &1 &0
\end{pmatrix}.
\end{align*}$

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