Votre navigateur n'accepte pas le Javascript.La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

198. Une norme vérifiant la propriété du parallélogramme est issue d’un produit scalaire (théorème de Fréchet-Von Neumann)

17/07/2020 - 0059

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel muni d’une application $\lVert \cdot \rVert : E \to \R_{+}$ vérifiant les propriétés suivantes :

$\begin{align*}\begin{array}{lr}
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert & \text{(inégalité triangulaire)}\\
\forall \lambda\in\R, \forall x\in E, \lVert \lambda x \rVert = \lvert \lambda \rvert \lVert x \rVert & \text{(homogénéité)}\\
\forall x\in E, \lVert x \rVert = 0 \implies x = 0 &\text{(séparabilité)}\\
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert^2 + \lVert x- y \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2.&\text{(propriété du parallélogramme)}
\end{array}\end{align*}$

Les trois premières propriétés permettent d’écrire que $E$ est un espace vectoriel normé.

La dernière propriété, dite du parallélogramme, va vous permettre de démontrer le résultat difficile suivant : la norme $\lVert \cdot \rVert : E \to \R_{+}$ provient d’un produit scalaire.

Autrement dit, il existe une application : $\langle \cdot, \cdot \rangle : E^2\to \R$ vérifiant toutes les propriétés suivantes :

$\begin{align*}\begin{array}{lr}
\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y\rangle= \langle y,x\rangle & \text{(symétrie)}\\
\forall (\lambda, \mu)\in\R^2, \forall (x,y,z)\in E^3, \langle\lambda x + \mu y, z\rangle = \lambda \langle x,z\rangle+\mu \langle y,z\rangle & \text{(linéarité à gauche)}\\
\forall (\lambda, \mu)\in\R^2, \forall (x,y,z)\in E^3, \langle x, \lambda y + \mu z \rangle = \lambda \langle x,y \rangle+\mu \langle x,z \rangle & \text{(linéarité à droite)}\\
\forall x\in E, \langle x,x \rangle=0 \Longleftrightarrow x=0 & \text{(caractère défini)}\\
\forall x\in E, \langle x,x \rangle \geq 0 & \text{(positivité)}\\
\forall x\in E, \lVert x \rVert^2 = \langle x,x \rangle. & \text{(lien avec la norme)}\\
\end{array}\end{align*}$

Analyse du problème : déterminez une expression valable pour le produit scalaire

Supposez un instant que la norme provient d’un produit scalaire noté $\langle \cdot, \cdot \rangle : E^2\to \R.$

Soit $(x,y)\in E^2.$ Utilisez la linéarité à gauche et à droite, ainsi que la symétrie :

$\begin{align*}
\lVert x+y \rVert^2 &= \langle x+y,x+y \rangle \\
&= \langle x,x \rangle + \langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y,y \rangle \\
&= \lVert x\rVert^2 + \lVert y \rVert^2 + 2\langle x,y \rangle.
\end{align*}$

Effectuez maintenant le calcul similaire suivant :

$\begin{align*}
\lVert x-y \rVert^2 &= \langle x-y,x-y \rangle \\
&= \langle x,x \rangle – \langle x,y \rangle – \langle y,x \rangle + \langle y,y \rangle \\
&= \lVert x\rVert^2 + \lVert y \rVert^2 – 2\langle x,y \rangle.
\end{align*}$

Par soustraction, il vient $ \lVert x+y \rVert^2 – \lVert x- y \rVert^2 = 4 \langle x,y \rangle.$

Ainsi il est établi que, si la norme provient d’un produit scalaire, ce dernier est nécessairement unique, et il est défini par :

$\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x- y \rVert^2}{4}.}$

Note : cette identité, fondamentale, est appelée « identité de polarisation ».

Définissez une application à partir de l’identité de polarisation

Fort du résultat établi plus haut, vous définissez l’application suivante $\langle \cdot, \cdot \rangle : E^2\to \R$ en posant :

$\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x- y \rVert^2}{4}.$

Il reste à comprendre pourquoi cette application est bien un produit scalaire.

Montrez les premières propriétés

La norme est invariante par passage à l’opposé

Soit $u\in E$, vous avez :

$\begin{align*}
\lVert -u \rVert &= \lVert (-1)\cdot u \rVert \\
\lvert -1 \rvert \lVert u \rVert\\
&= 1 \lVert u \rVert\\
&= \lVert u \rVert.
\end{align*}$

Vous déduisez :

$\boxed{\forall u\in E, \lVert -u \rVert = \lVert u \rVert.}$

La norme vérifie l’inégalité triangulaire renversée

Soit $(x,y)\in E^2.$

D’après l’inégalité triangulaire :

$\begin{align*}
\lVert y + (x-y) \rVert &\leq \lVert y \rVert + \lVert x-y \rVert \\
\lVert x \rVert &\leq \lVert y \rVert + \lVert x-y \rVert \\
\lVert x \rVert – \lVert y \rVert &\leq \lVert x-y \rVert\\
\end{align*}$

En échangeant les rôles de $x$ et de $y$ et en utilisant l’invariance de la norme par passage à l’opposé :

$\begin{align*}
\lVert x + (y-x) \rVert &\leq \lVert x \rVert + \lVert y-x \rVert \\
\lVert y \rVert &\leq \lVert x \rVert + \lVert y-x \rVert \\
\lVert y \rVert – \lVert x \rVert &\leq \lVert y-x \rVert\\
\lVert x \rVert – \lVert y \rVert &\leq \lVert x-y \rVert\\
\end{align*}$

Comme $\left\lvert \lVert x \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert = \mathrm{Max}\left(\lVert y \rVert – \lVert x \rVert, \lVert x \rVert – \lVert y \rVert\right)$ vous déduisez :

$\left\lvert \lVert x \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert \leq \lVert x-y \rVert.$

En définitive :

$\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \left\lvert \lVert x \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert \leq \lVert x-y \rVert.}$

Une somme toujours nulle

Soit $(x,y)\in E^2.$ Utilisant le fait que la norme est invariante par passage à l’opposé :

$\begin{align*}
\langle x,y \rangle + \langle -x,y \rangle &= \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{4}+ \frac{\lVert -x+y \rVert^2- \lVert -x-y \rVert^2}{4}\\
&= \frac{\lVert x+y \rVert^2- \lVert x-y \rVert^2+\lVert -x+y \rVert^2 -\lVert -x-y \rVert^2 }{4}\\
&= \frac{\lVert x+y \rVert^2- \lVert x-y \rVert^2+\lVert x-y \rVert^2 -\lVert x+y \rVert^2 }{4}\\
&=0.
\end{align*}$

Du coup :

$\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle + \langle -x,y \rangle = 0. }$

Justifiez la symétrie

Soit $(x,y)\in E^2.$ Utilisez encore le fait que $\forall u\in E, \lVert -u \rVert = \lVert u \rVert.$

$\begin{align*}
\langle x,y \rangle &= \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{4} \\
&= \frac{\lVert y+x \rVert^2 – \lVert y-x \rVert^2}{4}\\
&=\langle y,x \rangle.
\end{align*}$

Vous déduisez :

$\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle =\langle y,x \rangle.}$

Montrez le lien avec la norme et le caractère positif

Soit $x\in E.$

Alors il vient, en utilisant les propriétés d’homogénéité :

$\begin{align*}
\langle x,x \rangle &= \frac{\lVert x+x \rVert^2 – \lVert x-x \rVert^2}{4} \\
&= \frac{\lVert 2x \rVert^2 – \lVert 0 \rVert^2}{4}\\
&= \frac{(2\lVert x \rVert)^2 – \lVert 0\cdot 0 \rVert^2}{4}\\
&= \frac{4\lVert x \rVert^2 – (0\times \lVert 0 \rVert)^2}{4}\\
&= \frac{4 \lVert x \rVert^2 }{4}\\
&= \lVert x \rVert^2.\\
\end{align*}$

La norme de $x$ étant un réel positif, son carré l’est aussi, par suite :

$\boxed{\forall x\in E, \langle x,x \rangle \geq 0.}$

Montrez le caractère défini

Soit $x\in E$ tel que $\langle x,x \rangle = 0.$

Utilisant la propriété de séparation :

$\begin{align*}
\langle x,x \rangle &= 0 \\
\lVert x \rVert^2 &= 0\\
\lVert x \rVert &= 0\\
x &=0.
\end{align*}$

Par suite :

$\boxed{\forall x\in E, \langle x,x \rangle = 0 \implies x=0.}$

Réciproquement, si $x=0$, alors :

$\begin{align*}
\langle x,x \rangle &= \frac{\lVert 0+0 \rVert^2 – \lVert 0-0 \rVert^2}{4}\\
&= \frac{\lVert 0 \rVert^2 – \lVert 0 \rVert^2}{4}\\
&= 0.
\end{align*}$

Ainsi :

$\boxed{\forall x\in E, x=0 \implies \langle x,x \rangle = 0.}$

Démontrez le caractère additif

Le but de cette section est de démontrer que :

$\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle+ \langle y,z \rangle.$

Soit $(x,y,z)\in E^3$ un triplet de trois vecteurs de $E.$

Note : pour une démonstration plus robuste et plus élégante, vous êtes invité à aller dans l'article 200.

Par définition, vous avez $\langle x+y,z \rangle = \frac{\lVert x+y+z \rVert^2- \lVert x+y -z\rVert^2}{4}.$

D’autre part, via l’identité du parallélogramme, vous avez :

$\lVert x+(y+z) \rVert^2 + \lVert x- (y+z) \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y+z \rVert^2$

donc :

$\lVert x+y+z \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y+z \rVert^2 – \lVert x- y-z \rVert^2.$

D’autre part, toujours avec l’identité du parallélogramme, vous avez aussi :

$\lVert x+(y-z) \rVert^2 + \lVert x- (y-z) \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y-z \rVert^2$

donc :

$\lVert x+y-z \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y-z \rVert^2 – \lVert x- y+z \rVert^2.$

Mis bout à bout, vous déduisez :

$\begin{align*}
\langle x+y,z \rangle &= \frac{\lVert x+y+z \rVert^2- \lVert x+y -z\rVert^2}{4}\\
&= \frac{2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y+z \rVert^2 – \lVert x- y-z \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y-z \rVert^2 + \lVert x- y+z \rVert^2}{4}\\
&= \frac{ 2 \lVert y+z \rVert^2 – 2 \lVert y-z \rVert^2 + \lVert x- y+z \rVert^2 – \lVert x- y-z \rVert^2 }{4}\\
&= 2 \times \frac{ \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2 }{4} + \frac{\lVert x- y-z \rVert^2 – \lVert x- y-z\rVert^2 }{4}\\
&= 2 \langle y,z \rangle + \langle x-y,z \rangle.
\end{align*}$

Vous avez ainsi prouvé que :

$\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = 2 \langle y,z \rangle + \langle x-y,z \rangle.$

Vous n’êtes pas très loin du but recherché…

Fixez maintenant $(x,y,z)\in E^3$ et utilisez le résultat ci-dessus en échangeant les rôles de $x$ et de $y$, vous obtenez alors :

$\langle y+x,z \rangle = 2 \langle x,z \rangle + \langle y-x,z \rangle.$

Or, vous avez toujours :

$\langle x+y,z \rangle = 2 \langle y,z \rangle + \langle x-y,z \rangle.$

Comme $x+y=y+x$, par somme, il vient :

$2\langle x+y,z \rangle = 2 \langle x,z \rangle +2 \langle y,z \rangle + \langle y-x,z \rangle + \langle x-y,z \rangle.$

Pour les deux derniers termes obtenus, vous utilisez la propriété de la somme nulle, démontrée plus haut, qui stipule :

$\forall (u,v)\in E^2, \langle u,v \rangle + \langle -u,v \rangle =0.$

En choisissant $u = y-x$ il vient $-u = x-y$ et $v=z$, vous obtenez :

$ \langle y-x,z \rangle + \langle x-y,z \rangle = 0.$

Donc :

$2\langle x+y,z \rangle = 2 \langle x,z \rangle +2 \langle y,z \rangle.$

Après division par $2$, il vient le résultat annoncé, à savoir :

$\boxed{\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle+ \langle y,z \rangle.}$

Démontrez l’homogénéité à gauche

Le but de cette section est de démontrer que :

$\forall \lambda\in \R, \forall (x,y)\in E^2, \langle \lambda x,y \rangle = \lambda \langle x,y \rangle.$

Démontrer cette propriété directement est chose difficile. Aussi, vous allez y aller étape par étape.

Démontrez que que $\forall n \in \N, \forall (x,y)\in E^2, \langle n x,y \rangle =n\langle x,y \rangle$

Pour tout entier naturel $n$, notez $P(n)$ la propriété : « $\forall (x,y)\in E^2, \langle n x,y \rangle =n\langle x,y \rangle.$ »

Initialisation. Soit $(x,y)\in E^2.$

$\begin{align*}
\langle 0 x,y \rangle &= \langle 0 ,y \rangle \\
&= \frac{\lVert 0+y \rVert^2 – \lVert 0-y \rVert^2}{4}\\
&= \frac{\lVert y \rVert^2 – \lVert -y \rVert^2}{4}\\
&= \frac{\lVert y \rVert^2 – \lVert y \rVert^2}{4}\\
&=0.
\end{align*}$

D’autre part, $0 \langle x,y \rangle = 0$ il vient donc $\langle 0 x,y \rangle = 0 \langle x,y \rangle$ et $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $P(n)$ soit vérifiée.

Soit $(x,y)\in E^2.$

$\begin{align*}
\langle (n+1) x,y \rangle &= \langle n x +x ,y \rangle \\
&= \langle n x,y \rangle + \langle x,y \rangle \quad \text{(par additivité)}\\
&= n\langle x,y \rangle + \langle x,y \rangle \quad \text{(puisque $P(n)$ est vérifiée)}\\
&= (n+1) \langle x,y \rangle.
\end{align*}$

Donc $P(n+1)$ est vérifiée.

Par récurrence sur $n$, il est maintenant établi que :

$\forall n\in \N, \forall (x,y)\in E^2, \langle n x,y \rangle =n\langle x,y \rangle.$

Démontrez que que $\forall p \in \Z, \forall (x,y)\in E^2, \langle p x,y \rangle =p\langle x,y \rangle$

Soit $p$ un entier naturel négatif et soit $(x,y)\in E^2.$

Utilisant la propriété de la somme nulle il vient :

$\begin{align*}
\langle p x,y \rangle &= – \langle (-p) x,y \rangle\\
&= – (-p) \langle x,y \rangle \quad \text{(vu que $-p\in\N$)}\\
&= p \langle x,y \rangle.
\end{align*}$

Vous déduisez :

$\forall p \in \Z_{-}, \forall (x,y)\in E^2, \langle p x,y \rangle =p\langle x,y \rangle.$

Or d’après le paragraphe précédent :

$\forall p \in \Z_{+}, \forall (x,y)\in E^2, \langle p x,y \rangle =p\langle x,y \rangle.$

Vous en déduisez :

$\forall p \in \Z, \forall (x,y)\in E^2, \langle p x,y \rangle =p\langle x,y \rangle.$

Démontrez que que $\forall q \in \Q, \forall (x,y)\in E^2, \langle q x,y \rangle =q\langle x,y \rangle$

Soit $q\in \Q$ et soit $(x,y)\in E^2.$

Il existe $m\in \Z$ et $n\in\N^{*}$ tels que $q = \frac{m}{n}.$

$\begin{align*}
n \langle q x,y \rangle &= \langle n(q x),y \rangle \quad \text{(puisque $n\in\N$)} \\
&=\langle (nq) x,y \rangle\\
&= \langle m x,y \rangle \\
&= m \langle x,y \rangle \quad \text{(puisque $m\in\Z$)} \\
&= n q \langle x,y \rangle \quad \text{(puisque $m\in\Z$)}.
\end{align*}$

Or $n \neq 0$ donc $\langle q x,y \rangle = q \langle x,y \rangle.$

Vous avez démontré :

$\forall q \in \Q, \forall (x,y)\in E^2, \langle q x,y \rangle =q\langle x,y \rangle.$

Démontrez que que $\forall r \in \R, \forall (x,y)\in E^2, \langle r x,y \rangle =r\langle x,y \rangle$

Note. Cette propriété est démontrée autrement de manière plus courte dans l'article 202 en démontrant au préalable l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Soit $r\in \R$ et $(x,y)\in E^2.$

Pour tout nombre réel $a$, notez $\lfloor a \rfloor$ la partie entière de $a$, c’est-à-dire le grand petit entier inférieur ou égal à $a.$ Par définition de ce nombre, vous avez : $\forall a\in \R, \lfloor a \rfloor \leq a < \lfloor a \rfloor + 1.$

Soit $n$ un entier naturel.

$\lfloor 10^n r \rfloor \leq 10^n r < \lfloor 10^n r \rfloor + 1$ donc en divisant :

$\frac{\lfloor 10^n r \rfloor}{10^n} \leq r < \frac{\lfloor 10^n r \rfloor}{10^n} + \frac{1}{10^n}.$

Il est donc légitime de poser, pour tout entier naturel $n$, $q_n = \frac{\lfloor 10^n r \rfloor}{10^n}.$

Vous avez : $\forall n\in\N, q_n \leq r < q_n + \left(\frac{1}{10}\right)^n.$

Par souci de simplification des notations, pour tout entier naturel $n$, vous notez $t_n = r-q_n.$

Il vient immédiatement $\forall n\in\N, 0\leq t_n \leq \left(\frac{1}{10}\right)^n \leq 1.$

Soit $n\in \N.$ Maintenant vous procédez aux majorations :

$\begin{align*}
\left\lvert \langle r x,y \rangle – r \langle x,y \rangle\right\rvert &\leq \left\lvert \langle r x,y \rangle – \langle q_n x,y \rangle\right\rvert + \left\lvert \langle q_n x,y \rangle – r \langle x,y \rangle\right\rvert \\
&\leq \left\lvert \langle r x,y \rangle + \langle – q_n x,y \rangle\right\rvert + \left\lvert \langle q_n x,y \rangle – r \langle x,y \rangle\right\rvert \quad\text{(par la propriété de la somme nulle)}\\
&\leq \left\lvert \langle r x,y \rangle + \langle – q_n x,y \rangle\right\rvert + \left\lvert q_n \langle x,y \rangle – r \langle x,y \rangle\right\rvert \quad\text{(vu que $q_n\in\Q$)}\\
&\leq \left\lvert \langle t_n x,y \rangle \right\rvert + \left\lvert q_n \langle x,y \rangle – r \langle x,y \rangle\right\rvert \quad\text{(par additivité)}\\
&\leq \left\lvert \langle t_n x,y \rangle \right\rvert + \left\lvert q_n -r \right\rvert \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \left\lvert \langle t_n x,y \rangle \right\rvert + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \left\lvert \frac{\lVert t_n x+y \rVert^2 – \lVert t_n x – y \rVert^2}{4} \right\rvert + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert^2 – \lVert t_n x – y \rVert^2 \right\rvert}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert^2 – \lVert y \rVert^2+ \lVert y \rVert^2- \lVert t_n x – y \rVert^2 \right\rvert}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert^2 – \lVert y \rVert^2\right\rvert + \left\lvert \lVert y \rVert^2- \lVert t_n x – y \rVert^2 \right\rvert}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert ( \lVert t_n x+y \rVert + \lVert y \rVert )+ \left\lvert \lVert y \rVert- \lVert y-t_n x \rVert \right\rvert ( \lVert y \rVert+ \lVert t_n x – y \rVert)}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert ( \lVert t_n x+y \rVert + \lVert y \rVert )+ \left\lvert \lVert y \rVert- \lVert t_n x – y \rVert \right\rvert ( \lVert y \rVert+ \lVert t_n x – y \rVert)}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert\\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert ( \lVert t_n x\rVert +\lVert y \rVert + \lVert y \rVert )+ \left\lvert \lVert y \rVert- \lVert t_n x – y \rVert \right\rvert ( \lVert y \rVert+ \lVert t_n x\rVert + \lVert – y \rVert)}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert \quad \text{(par inégalité triangulaire)}\\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert ( t_n \lVert x\rVert +\lVert y \rVert + \lVert y \rVert )+ \left\lvert \lVert y \rVert- \lVert t_n x – y \rVert \right\rvert ( \lVert y \rVert+ t_n \lVert x\rVert + \lVert y \rVert)}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert \\
&\leq \frac{ \left\lvert \lVert t_n x+y \rVert – \lVert y \rVert \right\rvert ( \lVert x\rVert +2\lVert y \rVert )+ \left\lvert \lVert y \rVert- \lVert t_n x – y \rVert \right\rvert ( \lVert x\rVert + 2 \lVert y \rVert)}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert \quad \text{(on majore $t_n$ par $1$)}\\
&\leq \frac{ t_n \lVert x \rVert ( \lVert x\rVert +2\lVert y \rVert )+ t_n \lVert x \rVert ( \lVert x\rVert + 2 \lVert y \rVert)}{4} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert \quad \text{(on majore $t_n$ par $1$)} \quad \text{(par inégalité triangulaire renversée)}\\
&\leq \frac{ t_n \lVert x \rVert ( \lVert x\rVert +2\lVert y \rVert )}{2} + t_n \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert \\
&\leq t_n \left(\frac{ \lVert x \rVert ( \lVert x\rVert +2\lVert y \rVert )}{2} + \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert \right)\\
&\leq \left(\frac{1}{10}\right)^n \left(\frac{ \lVert x \rVert ( \lVert x\rVert +2\lVert y \rVert )}{2} + \left\lvert \langle x,y \rangle \right\rvert \right).
\end{align*}$

Comme $0< \frac{1}{10}< 1$, il vient $\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^n =0.$

En passant à la limite dans l’inégalité ci-dessus, il vient $\left\lvert \langle r x,y \rangle – r \langle x,y \rangle\right\rvert \leq 0$, par conséquent $ \langle r x,y \rangle = r \langle x,y \rangle.$

Cela achève la démonstration suivante :

$\boxed{\forall r \in \R, \forall (x,y)\in E^2, \langle r x,y \rangle =r\langle x,y \rangle.}$

Démontrez la linéarité

Soit $(\lambda, \mu)\in\R^2$ et $(x,y,z\in E^3).$

$\begin{align*}
\langle \lambda x + \mu y, z \rangle &= \langle \lambda x , z \rangle+ \langle \mu y, z \rangle \quad \text{(par additivité)} \\
&= \lambda \langle x , z \rangle+ \mu \langle y, z \rangle \quad \text{(par homogénéité)} .
\end{align*}$

D’autre part :

$\begin{align*}
\langle x, \lambda y + \mu z \rangle &=\langle \lambda y + \mu z, x \rangle \quad \text{(par symétrie)} \\
&=\lambda \langle y , x \rangle + \mu \langle z, x \rangle\\
&=\lambda \langle x , y \rangle + \mu \langle x, z \rangle. \quad \text{(par symétrie)}
\end{align*}$

La linéarité à droite et à gauche est acquise.

Ainsi, l’application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E^2\to \R$ est un produit scalaire réel dont dérive la norme $\lVert \cdot \rVert : E \to \R_{+}$ qui vérifie l’identité du parallélogramme.

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !