Soit $E$ un espace vectoriel réel normé, dont vous supposez que la norme vérifie la propriété du parallélogramme.
Il a été vu dans un autre article que la norme provient d’un produit scalaire.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 200.
Dans ce contenu, vous allez partir de l’identité de polarisation et démontrer que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée, ce qui induira la continuité du produit scalaire.
Partez de l’identité de polarisation et déduisez-en deux autres identités
Quels que soient les vecteurs $x$ et $y$ de l’espace $E\comma$ vous posez :
\begin{align*}
\langle x, y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{4}.
\end{align*}
Soient maintenant deux vecteurs $x$ et $y$ de $E\comma$ fixés.
Comme la norme vérifie la propriété du parallélogramme, vous avez successivement :
\begin{align*}
\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= -\lVert x-y \rVert^2 \\
2\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= \lVert x+y \rVert^2 -\lVert x-y \rVert^2 \\
2\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= 4 \langle x, y \rangle \\
\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2 &= 2\langle x, y \rangle.
\end{align*}
Par suite, il vient :
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2}{2}.}
\end{align*}
\begin{align*}
\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2\lVert x-y \rVert^2 \\
4 \langle x, y \rangle &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2\lVert x-y \rVert^2 \\
2 \langle x, y \rangle &= \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2.
\end{align*}
Par suite, il vient :
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle = \frac{ \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{2}.}
\end{align*}
Démontrez alors que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée
Soit $(x,y)\in E^2.$
La norme vérifie l’inégalité triangulaire $\lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert.$
En élevant au carré, il vient :
\lVert x+y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert +\lVert y \rVert^2.
Par conséquent :
\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2\leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
Après division par $2$ :
\frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2}{2}\leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
Vous avez ainsi démontré que :
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{align*}
Il s’agit maintenant de majorer l’opposé.
Soit $(x,y)\in E^2.$
La norme vérifie l’inégalité triangulaire $\lVert x-y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert -y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert.$
En élevant au carré, il vient :
\lVert x-y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert +\lVert y \rVert^2.
Par soustraction :
\lVert x-y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2\leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
Ce qui s’écrit aussi :
-2 \langle x,y \rangle \leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
Après division par $2$ :
– \langle x,y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
Ainsi :
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, – \langle x, y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{align*}
Concluez
Les deux inégalités précédentes permettent d’aboutir à l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \lvert \langle x, y \rangle \rvert \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{align*}
Application à l’homogénéité sur les réels
Il a été vu dans un autre article que l’application $\langle \cdot, \cdot \rangle$ vérifie l’homogénéité sur les rationnels. Plus précisément :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 198.
\begin{align*}
\forall (x,y)\in E^2, \forall q\in \Q, \langle qx, y \rangle = q \langle x, y \rangle.
\end{align*}
D’autre part, le caractère additif a été vu dans un autre article :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 200.
\begin{align*}
\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y, z \rangle = \langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle.
\end{align*}
Vous allez maintenant montrer que l’homogénéité s’étend aux nombres réels.
Soit donc $r$ un nombre réel.
Il existe une suite de rationnels $(q_n)_{n\geq 0}$ qui converge vers $r.$
Soit $(x,y)\in E^2.$
Fixez d’abord $n\in\N.$
\begin{align*}
\lvert \langle rx, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert &\leq \lvert \langle rx, y \rangle – q_n \langle x, y \rangle \rvert + \lvert q_n\langle x, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx, y \rangle + (- q_n) \langle x, y \rangle \rvert + \lvert q_n\langle x, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx, y \rangle + \langle – q_n x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lvert \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx+(-qn)x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lvert \langle (r-q_n)x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lVert (r-q_n)x \rVert \lVert y \rVert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq 2 \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
\end{align*}
En faisant tendre $n$ vers $+\infty\comma$ il vient $\lvert \langle rx, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \leq 0.$
Est ainsi prouvé que :
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \forall r\in \R, \langle rx, y \rangle = r \langle x, y \rangle.}
\end{align*}
