Soit $E$ un espace vectoriel réel normé, dont vous supposez que la norme vérifie la propriété du parallélogramme.
Il a été vu dans dans l'article 200 que la norme provient d’un produit scalaire.
Dans cet article, vous allez partir de l’identité de polarisation et démontrer que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée, ce qui induira la continuité du produit scalaire.
Partez de l’identité de polarisation et déduisez-en deux autres identités
Quels que soient les vecteurs $x$ et $y$ de l’espace $E$, vous posez :
\begin{aligned}
\langle x, y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{4}.
\end{aligned}
Soient maintenant deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$, fixés.
Comme la norme vérifie la propriété du parallélogramme, vous avez successivement :
\begin{aligned}
\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= -\lVert x-y \rVert^2 \\
2\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= \lVert x+y \rVert^2 -\lVert x-y \rVert^2 \\
2\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= 4 \langle x, y \rangle \\
\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2 &= 2\langle x, y \rangle.
\end{aligned}
Par suite, il vient :
\begin{aligned}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2}{2}.}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2\lVert x-y \rVert^2 \\
4 \langle x, y \rangle &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2\lVert x-y \rVert^2 \\
2 \langle x, y \rangle &= \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2.
\end{aligned}
Par suite, il vient :
\begin{aligned}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle = \frac{ \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{2}.}
\end{aligned}
Démontrez alors que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée
Soit $(x,y)\in E^2.$
La norme vérifie l’inégalité triangulaire $\lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert.$
En élevant au carré, il vient :
$\lVert x+y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert +\lVert y \rVert^2.$
Par conséquent :
$\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2\leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$
Après division par $2$ :
$\frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2}{2}\leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$
Vous avez ainsi démontré que :
\begin{aligned}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{aligned}
Il s’agit maintenant de majorer l’opposé.
Soit $(x,y)\in E^2.$
La norme vérifie l’inégalité triangulaire $\lVert x-y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert -y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert.$
En élevant au carré, il vient :
$\lVert x-y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert +\lVert y \rVert^2.$
Par soustraction :
$\lVert x-y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2\leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$
Ce s’écrit aussi :
$-2 \langle x,y \rangle \leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert$
Après division par $2$ :
$- \langle x,y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$
Ainsi :
\begin{aligned}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, – \langle x, y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{aligned}
Concluez
Les deux inégalités précédentes permettent d’aboutir à l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
\begin{aligned}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \lvert \langle x, y \rangle \rvert \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{aligned}
Application à l’homogénéité sur les réels
Il a été vu dans dans l'article 198 que l’application $\langle \cdot, \cdot \rangle$ vérifie l’homogénéité sur les rationnels. Plus précisément :
\begin{aligned}
\forall (x,y)\in E^2, \forall q\in \Q, \langle qx, y \rangle = q \langle x, y \rangle.
\end{aligned}
D’autre part, le caractère additif a été vu dans l’article dans l'article 200 :
\begin{aligned}
\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y, z \rangle = \langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle.
\end{aligned}
Vous allez maintenant montrer que l’homogénéité s’étend aux nombres réels.
Soit donc $r$ un nombre réel.
Il existe une suite de rationnels $(q_n)_{n\geq 0}$ qui converge vers $r.$
Soit $(x,y)\in E^2.$
Fixez d’abord $n\in\N.$
\begin{aligned}
\lvert \langle rx, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert &\leq \lvert \langle rx, y \rangle – q_n \langle x, y \rangle \rvert + \lvert q_n\langle x, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx, y \rangle + (- q_n) \langle x, y \rangle \rvert + \lvert q_n\langle x, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx, y \rangle + \langle – q_n x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lvert \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx+(-qn)x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lvert \langle (r-q_n)x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lVert (r-q_n)x \rVert \lVert y \rVert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq 2 \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
\end{aligned}
En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, il vient $\lvert \langle rx, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \leq 0.$
Est ainsi prouvé que :
\begin{aligned}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \forall r\in \R, \langle rx, y \rangle = r \langle x, y \rangle.}
\end{aligned}
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !