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202. Inégalité de Cauchy-Schwarz forte et applications dans un espace vectoriel sur les réels

Soit $E$ un espace vectoriel réel normé, dont vous supposez que la norme vérifie la propriété du parallélogramme.

Il a été vu dans dans l'article 200 que la norme provient d’un produit scalaire.

Dans cet article, vous allez partir de l’identité de polarisation et démontrer que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée, ce qui induira la continuité du produit scalaire.

Partez de l’identité de polarisation et déduisez-en deux autres identités

Quels que soient les vecteurs $x$ et $y$ de l’espace $E$, vous posez :

$\begin{align*}
\langle x, y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{4}.
\end{align*}$

Soient maintenant deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$, fixés.

Comme la norme vérifie la propriété du parallélogramme, vous avez successivement :

$\begin{align*}
\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= -\lVert x-y \rVert^2 \\
2\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= \lVert x+y \rVert^2 -\lVert x-y \rVert^2 \\
2\lVert x+y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y \rVert^2 &= 4 \langle x, y \rangle \\
\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2 &= 2\langle x, y \rangle.
\end{align*}$

Par suite, il vient :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2}{2}.}
\end{align*}$

$\begin{align*}
\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 \\
\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2\lVert x-y \rVert^2 \\
4 \langle x, y \rangle &= 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2\lVert x-y \rVert^2 \\
2 \langle x, y \rangle &= \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2.
\end{align*}$

Par suite, il vient :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle = \frac{ \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2}{2}.}
\end{align*}$

Démontrez alors que l’inégalité de Cauchy-Schwarz est vérifiée

Soit $(x,y)\in E^2.$

La norme vérifie l’inégalité triangulaire $\lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert.$

En élevant au carré, il vient :

$\lVert x+y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert +\lVert y \rVert^2.$

Par conséquent :

$\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2\leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$

Après division par $2$ :

$\frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2}{2}\leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$

Vous avez ainsi démontré que :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x, y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{align*}$

Il s’agit maintenant de majorer l’opposé.

Soit $(x,y)\in E^2.$

La norme vérifie l’inégalité triangulaire $\lVert x-y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert -y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert.$

En élevant au carré, il vient :

$\lVert x-y \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert +\lVert y \rVert^2.$

Par soustraction :

$\lVert x-y \rVert^2 – \lVert x \rVert^2 – \lVert y \rVert^2\leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$

Ce s’écrit aussi :

$-2 \langle x,y \rangle \leq 2 \lVert x \rVert \lVert y \rVert$

Après division par $2$ :

$- \langle x,y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.$

Ainsi :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, – \langle x, y \rangle \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{align*}$

Concluez

Les deux inégalités précédentes permettent d’aboutir à l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \lvert \langle x, y \rangle \rvert \leq \lVert x \rVert \lVert y \rVert.}
\end{align*}$

Application à l’homogénéité sur les réels

Il a été vu dans dans l'article 198 que l’application $\langle \cdot, \cdot \rangle$ vérifie l’homogénéité sur les rationnels. Plus précisément :

$\begin{align*}
\forall (x,y)\in E^2, \forall q\in \Q, \langle qx, y \rangle = q \langle x, y \rangle.
\end{align*}$

D’autre part, le caractère additif a été vu dans l’article dans l'article 200 :

$\begin{align*}
\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y, z \rangle = \langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle.
\end{align*}$

Vous allez maintenant montrer que l’homogénéité s’étend aux nombres réels.

Soit donc $r$ un nombre réel.

Il existe une suite de rationnels $(q_n)_{n\geq 0}$ qui converge vers $r.$

Soit $(x,y)\in E^2.$

Fixez d’abord $n\in\N.$

$\begin{align*}
\lvert \langle rx, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert &\leq \lvert \langle rx, y \rangle – q_n \langle x, y \rangle \rvert + \lvert q_n\langle x, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx, y \rangle + (- q_n) \langle x, y \rangle \rvert + \lvert q_n\langle x, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx, y \rangle + \langle – q_n x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lvert \langle x, y \rangle \rvert \\
&\leq \lvert \langle rx+(-qn)x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lvert \langle (r-q_n)x, y \rangle \rvert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lVert (r-q_n)x \rVert \lVert y \rVert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert + \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert \\
&\leq 2 \lvert q_n -r \rvert \lVert x \rVert \lVert y \rVert.
\end{align*}$

En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, il vient $\lvert \langle rx, y \rangle – r \langle x, y \rangle \rvert \leq 0.$

Est ainsi prouvé que :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \forall r\in \R, \langle rx, y \rangle = r \langle x, y \rangle.}
\end{align*}$

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