Il a été vu dans un autre article qu’un espace vectoriel normé $E$ possède des propriétés intéressantes dès que la norme vérifie la propriété du parallélogramme.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 198.
Dans le cas où $E$ est un $\R$-espace vectoriel, la norme provient d’un produit scalaire réel.
Rappelez-vous ce que cela signifie. L’espace $E$ est muni d’une application $\lVert \cdot \rVert : E \to \R_{+}$ vérifiant les propriétés suivantes :
\begin{align*}\begin{array}{lr}
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert & \text{(inégalité triangulaire)}\\
\forall \lambda\in\R, \forall x\in E, \lVert \lambda x \rVert = \lvert \lambda \rvert \lVert x \rVert & \text{(homogénéité)}\\
\forall x\in E, \lVert x \rVert = 0 \implies x = 0 &\text{(séparabilité)}\\
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert^2 + \lVert x- y \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2.&\text{(propriété du parallélogramme)}
\end{array}\end{align*}
Ce contenu va se concentrer sur une démonstration élégante de l’additivité du produit scalaire associé.
Sans supposer qu’un tel produit scalaire existe, vous partez de l’identité de polarisation et vous posez :
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x- y \rVert^2}{4}.}
Démontrez l’additivité $\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle+\langle y,z \rangle$
Soit $(x,y,z)\in E^3.$
Afin d’éviter les dénominateurs en $4\comma$ vous partez de la définition :
4 \langle x+y,z \rangle = \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2.
Il s’agit de découpler le vecteur $x$ du vecteur $y.$
Dans l’identité du parallélogramme, le découplage se produit lorsque $x+y$ est associé à $x-y.$
Vous ajoutez de force la quantité $\lVert x-y+z \rVert^2$ qui va produire un premier découplage.
Le raisonnement obtenu à ce stade est le suivant :
\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+y+z \rVert^2 + \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2.
\end{align*}
Un autre découplage apparaît naturellement dans les termes restants.
\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-(y-z) \rVert^2 – \lVert x+ (y-z) \rVert^2 \\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y-z \rVert^2.
\end{align*}
Pour faire apparaître le produit scalaire $\langle x,z \rangle$ il serait bon de faire apparaître $\lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2.$ Un terme $\lVert x+z \rVert^2$ est déjà présent, il manque $\lVert x-z \rVert^2$ que vous pouvez faire apparaître en rajoutant de force $\lVert z \rVert^2.$
\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert z \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 + \lVert y-z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2.
\end{align*}
Finalement vous obtenez :
\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= 4 \langle x,z \rangle + 4 \langle y,z \rangle\\
\langle x+y,z \rangle &= \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle.
\end{align*}
L’additivité suivante est acquise :
\boxed{\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle+\langle y,z \rangle.}
Prolongement
Dans le cas d’un $\C$-espace vectoriel normé que se passe-t-il ? La norme provient-elle d’un produit scalaire hermitien ? Pour en savoir davantage, rendez-vous dans un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 201.
