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200. La propriété du parallélogramme induit l’additivité du produit scalaire réel

Il a été vu dans l'article 198 qu’un espace vectoriel normé $E$ possède des propriétés intéressantes dès que la norme vérifie la propriété du parallélogramme.

Dans le cas où $E$ est un $\R$-espace vectoriel, la norme provient d’un produit scalaire réel.

Rappelez-vous ce que cela signifie. L’espace $E$ est muni d’une application $\lVert \cdot \rVert : E \to \R_{+}$ vérifiant les propriétés suivantes :

$\begin{align*}\begin{array}{lr}
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert & \text{(inégalité triangulaire)}\\
\forall \lambda\in\R, \forall x\in E, \lVert \lambda x \rVert = \lvert \lambda \rvert \lVert x \rVert & \text{(homogénéité)}\\
\forall x\in E, \lVert x \rVert = 0 \implies x = 0 &\text{(séparabilité)}\\
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert^2 + \lVert x- y \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2.&\text{(propriété du parallélogramme)}
\end{array}\end{align*}$

Cet article va se concentrer sur une démonstration élégante de l’additivité du produit scalaire associé.

Sans supposer qu’un tel produit scalaire existe, vous partez de l’identité de polarisation et vous posez :

$\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x- y \rVert^2}{4}.}$

Démontrez l’additivité $\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle+\langle y,z \rangle$

Soit $(x,y,z)\in E^3.$

Afin d’éviter les dénominateurs en $4$, vous partez de la définition :

$4 \langle x+y,z \rangle = \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2.$

Il s’agit de découpler le vecteur $x$ du vecteur $y$.

Dans l’identité du parallélogramme, le découplage se produit lorsque $x+y$ et associé à $x-y.$

Vous ajoutez de force la quantité $ \lVert x-y+z \rVert^2 $ qui va produire un premier découplage.

Le raisonnement obtenu à ce stade est le suivant :

$\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+y+z \rVert^2 + \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+ y-z \rVert^2.
\end{align*}$

Un autre découplage apparaît naturellement dans les termes restants.

$\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-(y-z) \rVert^2 – \lVert x+ (y-z) \rVert^2 \\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y-z \rVert^2.
\end{align*}$

Pour faire apparaître le produit scalaire $\langle x,z \rangle$ il serait bon de faire apparaître $\lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2.$ Un terme $\lVert x+z \rVert^2$ est déjà présent, il manque $\lVert x-z \rVert^2$ que vous pouvez faire apparaître en rajoutant de force $\lVert z \rVert^2.$

$\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 – 2 \lVert z \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 + \lVert y-z \rVert^2- 2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2.
\end{align*}$

Finalement vous obtenez :

$\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= 4 \langle x,z \rangle + 4 \langle y,z \rangle\\
\langle x+y,z \rangle &= \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle.
\end{align*}$

L’additivité suivante est acquise :

$\boxed{\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle+\langle y,z \rangle.}$

Prolongement

Dans le cas d’un $\C$-espace vectoriel normé que se passe-t-il ? La norme provient-elle d’un produit scalaire hermitien ? Pour en savoir davantage, rendez-vous dans dans l'article 201.

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