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201. La propriété du parallélogramme induit l’additivité du produit scalaire hermitien

Il a été vu dans l'article 200 qu’un $\R$-espace vectoriel normé $E$ possède des propriétés intéressantes dès que la norme vérifie la propriété du parallélogramme.

Vous allez voir que cette propriété est également valable dans le cas où $E$ est un $\C$-espace vectoriel normé.

$\begin{align*}\begin{array}{lr}
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert & \text{(inégalité triangulaire)}\\
\forall \lambda\in\C, \forall x\in E, \lVert \lambda x \rVert = \lvert \lambda \rvert \lVert x \rVert & \text{(homogénéité)}\\
\forall x\in E, \lVert x \rVert = 0 \implies x = 0 &\text{(séparabilité)}\\
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert^2 + \lVert x- y \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2.&\text{(propriété du parallélogramme)}
\end{array}\end{align*}$

Définissez l’expression du futur produit scalaire hermitien

Comme cela a été établi dans l'article 199, définissez une application qui va de $E^2$ dans $\C$ à partir de l’identité de polarisation :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 + i \lVert x+iy \rVert^2 -i \lVert x-iy \rVert^2}{4}.}
\end{align*}$

Montrez l’additivité

Soit $(x,y,z)\in E^3.$

$\begin{align*}
\lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2 &= \lVert x+y+z \rVert^2 + \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2 – 2 \lVert z \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 + \lVert y-z \rVert^2- 2 \lVert z \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 + \lVert y-z \rVert^2 – \lVert x+z \rVert^2- \lVert x-z \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2.\\
\end{align*}$

Donc :

$\forall (x,y,z)\in E^3, \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2 = \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2.$

Soit $(x,y,z)\in E^3.$

Appliquez le résultat précédent avec les vecteurs $x$, $y$ et $iz$= :

$\begin{align*}
\lVert x+y+iz \rVert^2 – \lVert x+y-iz \rVert^2 &= \lVert x+iz \rVert^2 – \lVert x-iz \rVert^2 + \lVert y+iz \rVert^2 – \lVert y-iz \rVert^2 \\
i \lVert x+y+iz \rVert^2 – i \lVert x+y-iz \rVert^2 &= i \lVert x+iz \rVert^2 – i \lVert x-iz \rVert^2 + i \lVert y+iz \rVert^2 – i\lVert y-iz \rVert^2.
\end{align*}$

Vous déduisez :

$\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2 + i \lVert x+y+iz \rVert^2 -i \lVert x+y-iz \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2 + i \lVert x+iz \rVert^2 – i \lVert x-iz \rVert^2 + i \lVert y+iz \rVert^2 – i\lVert y-iz \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + i \lVert x+iz \rVert^2 – i \lVert x-iz \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2 + i \lVert y+iz \rVert^2 – i\lVert y-iz \rVert^2\\
&= 4 \langle x,z \rangle + 4 \langle y,z \rangle.
\end{align*}$

Il est donc établi que :

$\begin{align*}
\langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle.
\end{align*}$

Concluez

D’après ce qui précède :

$\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle.}
\end{align*}$

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