Il a été vu dans un autre article qu’un $\R$-espace vectoriel normé $E$ possède des propriétés intéressantes dès que la norme vérifie la propriété du parallélogramme.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 200.
Vous allez voir que cette propriété est également valable dans le cas où $E$ est un $\C$-espace vectoriel normé, dont la norme vérifie les propriétés suivantes :
\begin{align*}\begin{array}{lr}
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert & \text{(inégalité triangulaire)}\\
\forall \lambda\in\C, \forall x\in E, \lVert \lambda x \rVert = \lvert \lambda \rvert \lVert x \rVert & \text{(homogénéité)}\\
\forall x\in E, \lVert x \rVert = 0 \implies x = 0 &\text{(séparabilité)}\\
\forall (x,y)\in E^2, \lVert x+y \rVert^2 + \lVert x- y \rVert^2 = 2 \lVert x \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2.&\text{(propriété du parallélogramme)}
\end{array}\end{align*}
Définissez l’expression du futur produit scalaire hermitien
Comme cela a été établi dans un autre article, définissez une application qui va de $E^2$ dans $\C$ à partir de l’identité de polarisation :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 199.
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y)\in E^2, \langle x,y \rangle = \frac{\lVert x+y \rVert^2 – \lVert x-y \rVert^2 + i \lVert x+iy \rVert^2 -i \lVert x-iy \rVert^2}{4}.}
\end{align*}
Montrez l’additivité
Soit $(x,y,z)\in E^3.$
\begin{align*}
\lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2 &= \lVert x+y+z \rVert^2 + \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – \lVert x-y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + 2 \lVert y \rVert^2 + 2 \lVert z \rVert^2 – 2 \lVert z \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 + \lVert y-z \rVert^2- 2 \lVert z \rVert^2 – 2 \lVert x \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= 2 \lVert x+z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 + \lVert y-z \rVert^2 – \lVert x+z \rVert^2- \lVert x-z \rVert^2 -2 \lVert y-z \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2.
\end{align*}
Donc :
\forall (x,y,z)\in E^3, \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2 = \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2.
Soit $(x,y,z)\in E^3.$
Appliquez le résultat précédent avec les vecteurs $x\comma$ $y$ et $iz$ :
\begin{align*}
\lVert x+y+iz \rVert^2 – \lVert x+y-iz \rVert^2 &= \lVert x+iz \rVert^2 – \lVert x-iz \rVert^2 + \lVert y+iz \rVert^2 – \lVert y-iz \rVert^2 \\
i \lVert x+y+iz \rVert^2 – i \lVert x+y-iz \rVert^2 &= i \lVert x+iz \rVert^2 – i \lVert x-iz \rVert^2 + i \lVert y+iz \rVert^2 – i\lVert y-iz \rVert^2.
\end{align*}
Vous déduisez :
\begin{align*}
4 \langle x+y,z \rangle &= \lVert x+y+z \rVert^2 – \lVert x+y-z \rVert^2 + i \lVert x+y+iz \rVert^2 -i \lVert x+y-iz \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2 + i \lVert x+iz \rVert^2 – i \lVert x-iz \rVert^2 + i \lVert y+iz \rVert^2 – i\lVert y-iz \rVert^2\\
&= \lVert x+z \rVert^2 – \lVert x-z \rVert^2 + i \lVert x+iz \rVert^2 – i \lVert x-iz \rVert^2 + \lVert y+z \rVert^2 – \lVert y-z \rVert^2 + i \lVert y+iz \rVert^2 – i\lVert y-iz \rVert^2\\
&= 4 \langle x,z \rangle + 4 \langle y,z \rangle.
\end{align*}
Il est donc établi que :
\begin{align*}
\langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle.
\end{align*}
Concluez
D’après ce qui précède :
\begin{align*}
\boxed{\forall (x,y,z)\in E^3, \langle x+y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y,z \rangle.}
\end{align*}
