Soit à résoudre le système suivant :
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
a_1 &-2a_2& &+2a_4&-3a_5&=2\\
2a_1 & -4a_2 & +2a_3 & &+8a_5 &=6\\
a_1&-2a_2&+3a_3&-3a_4&+16a_5&=8.
\end{array}\right.
\end{align*}$
L’objectif du présent document est de montrer sur cet exemple un processus systématique permettant d’obtenir la résolution d’un système en utilisant des matrices de rotation de Givens.
Les avantages de cette résolution, c’est que les matrices de rotation sont orthogonales, facilement inversibles et fournissent une excellente stabilité numérique.
L’inconvénient, comme vous le verrez, est la présence accrue de racines carrées, qui est le prix à payer de cette stabilité.
Introduisez la matrice augmentée du système
Posez :
$\begin{align*}
A=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc|l}
1 & -2 & 0 & 2 & -3 & 2\\
2 & -4 & 2 & 0 & 8 & 6\\
1 & -2 & 3 & -3 & 16 & 8
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Obtenez un système équivalent avec une première matrice de rotation
Soient $c$ et $s$ deux nombres réels. Considérez la matrice suivante :
$\begin{align*}
R=\begin{pmatrix}
c & -s & 0\\
s & c & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Lorsque $c$ et $s$ sont deux réels vérifiant $c^2+s^2=1$, la matrice $R$ est orthogonale et c’est une matrice de rotation.
Vous calculez donc :
$\begin{align*}
RA=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc|l}
c-2s & -2c+4s & -2s & 2c & -3c-8s & 2c-6s\\
s+2c & -2s-4c & 2c & 2s & -3s+8c & 2s+6c\\
1 & -2 & 3 & -3 & 16 & 8
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{align*}$
L’objectif étant d’avoir la seconde ligne qui commence par $0$, vous voulez avoir $s+2c = 0$ soit $s = -2c$, d’où $s^2=4c^2$ et donc $s^2+c^2=5c^2=1.$
Choisissez $c = \frac{\sqrt{5}}{5}$ et $s=\frac{-2\sqrt{5}}{5}.$ Les deux conditions $c^2+s^2=1$ et $s+2c=0$ sont remplies :
$\begin{align*}
R=\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2\sqrt{5}}{5} & 0\\
\frac{-2\sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5} & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}$
$\begin{align*}
RA&=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc|l}
\sqrt{5} & -2\sqrt{5} & \frac{4\sqrt{5}}{5} & \frac{2\sqrt{5}}{5} & \frac{13\sqrt{5}}{5} & \frac{14\sqrt{5}}{5}\\
0 & 0 & \frac{2\sqrt{5}}{5} & \frac{-4\sqrt{5}}{5} & \frac{14\sqrt{5}}{5} & \frac{2\sqrt{5}}{5}\\
1 & -2 & 3 & -3 & 16 & 8
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Continuez avec une autre matrice de rotation
Afin de simplifier les notations, notez encore $c$ et $s$ deux réels tels que $c^2+s^2=1.$
Considérez alors la matrice suivante :
$\begin{align*}
S=\begin{pmatrix}
c & 0 & -s\\
0 & 1 & 0\\
s & 0 & c
\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Ce qui fournit :
$\begin{align*}
SRA=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc|l}
\sqrt{5}c -s & -2\sqrt{5}c +2s& \frac{4\sqrt{5}}{5}c -3s & \frac{2\sqrt{5}}{5}c +3s& \frac{13\sqrt{5}}{5}c -16s& \frac{14\sqrt{5}}{5}c-8s\\
0 & 0 & \frac{2\sqrt{5}}{5} & \frac{-4\sqrt{5}}{5} & \frac{14\sqrt{5}}{5} & \frac{2\sqrt{5}}{5}\\
\sqrt{5}s +c & -2\sqrt{5}s -2c& \frac{4\sqrt{5}}{5}s +3c& \frac{2\sqrt{5}}{5}s -3c& \frac{13\sqrt{5}}{5}s+16c & \frac{14\sqrt{5}}{5}s+8c
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Vous souhaitez avoir $\sqrt{5}s +c = 0$ ce qui conduit à $c = -\sqrt{5}s$ soit $c^2 = 5s^2.$ Or $c^2+s^2 = 1$ donc $1 = 6s^2$ d’où $s = \frac{\sqrt{6}}{6}$ et $c = \frac{-\sqrt{30}}{6}.$
Comme $c\sqrt{5}=\frac{-5\sqrt{6}}{6}$ :
$\begin{align*}
S=\begin{pmatrix}
\frac{-\sqrt{30}}{6} & 0 & -\frac{\sqrt{6}}{6}\\
0 & 1 & 0\\
\frac{\sqrt{6}}{6} & 0 & \frac{-\sqrt{30}}{6}
\end{pmatrix}
\end{align*}$
$\begin{align*}
SRA=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc|l}
-\sqrt{6} & 2\sqrt{6} & \frac{-7\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{-29\sqrt{6}}{6} & \frac{-11\sqrt{6}}{3}\\
0 & 0 & \frac{2\sqrt{5}}{5} & \frac{-4\sqrt{5}}{5} & \frac{14\sqrt{5}}{5} & \frac{2\sqrt{5}}{5} \\
0 & 0 & \frac{-11\sqrt{30}}{30} & \frac{17\sqrt{30}}{30} & \frac{-67\sqrt{30}}{30} & \frac{-13\sqrt{30}}{15}
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Finissez avec une matrice de rotation
Les nombres $s$ et $c$ étant deux réels tels que $c^2+s^2=1$, vous posez :
$\begin{align*}
T=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & c & -s\\
0 & s & c
\end{pmatrix}.
\end{align*}$
$\begin{align*}
TSRA=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc|l}
-\sqrt{6} & 2\sqrt{6} & \frac{-7\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{-29\sqrt{6}}{6} & \frac{-11\sqrt{6}}{3}\\
0 & 0 & \frac{2\sqrt{5}}{5}c + \frac{11\sqrt{30}}{30}s& \frac{-4\sqrt{5}}{5}c – \frac{17\sqrt{30}}{30}s & \frac{14\sqrt{5}}{5}c + \frac{67\sqrt{30}}{30}s& \frac{2\sqrt{5}}{5}c+ \frac{13\sqrt{30}}{15}\\
0 & 0 &\frac{2\sqrt{5}}{5}s – \frac{11\sqrt{30}}{30}c & \frac{-4\sqrt{5}}{5}s+\frac{17\sqrt{30}}{30}c &\frac{14\sqrt{5}}{5}s-\frac{67\sqrt{30}}{30}c & \frac{2\sqrt{5}}{5}s-\frac{13\sqrt{30}}{15}c
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Vous souhaitez avoir $\frac{2\sqrt{5}}{5}s- \frac{11\sqrt{30}}{30}c = 0$ d’où :
$\begin{align*}
12 \sqrt{5}s-11\sqrt{30}c &= 0 \\
12 s-11\sqrt{6}c &= 0\\
12 s&=11\sqrt{6}c\\
144s^2 &= 6\times 121 c^2\\
24s^2 &= 121 c^2\\
24(1-c^2)&=121c^2\\
24 &= 145c^2
\end{align*}$
Vous choisissez par exemple :
$\begin{align*}
c&=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{145}}\\
&=\frac{2\sqrt{870}}{145}.
\end{align*}$
Alors il vient :
$\begin{align*}
s&=\frac{11\sqrt{6}}{12}c\\
&=\frac{11\sqrt{6}}{12}\times \frac{2\sqrt{870}}{145}\\
&=\frac{11\sqrt{6}}{6}\times \frac{\sqrt{870}}{145}\\
&=\frac{11\sqrt{6}}{6}\times \frac{\sqrt{6}\times \sqrt{145}}{145}\\
&=\frac{11\sqrt{145}}{145}.
\end{align*}$
La matrice $T$ choisie est :
$\begin{align*}
T=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \frac{2\sqrt{870}}{145} & -\frac{11\sqrt{145}}{145}\\
0 & \frac{11\sqrt{145}}{145} & \frac{2\sqrt{870}}{145}
\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Alors :
$\begin{align*}
TSRA=\begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc|l}
-\sqrt{6} & 2\sqrt{6} & -\frac{7\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & -\frac{29\sqrt{6}}{6} & -\frac{11\sqrt{6}}{3}\\
0 & 0 & \frac{\sqrt{174}}{6} & -\frac{47\sqrt{174}}{174} & \frac{181\sqrt{174}}{174} & \frac{31\sqrt{174}}{87}\\
0 & 0 & 0 & -\frac{2\sqrt{29}}{29} & \frac{4\sqrt{29}}{29} & -\frac{6\sqrt{29}}{29}.
\end{array}\end{pmatrix}.
\end{align*}$
Concluez
Le système obtenu est échelonné.
Vous procédez à la méthode de remontée :
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
-a_1 &+2a_2&-\frac{7}{6}a_3 &+\frac{1}{6}a_4&-\frac{29}{6}a_5&=-\frac{11}{3}\\
& & \frac{1}{6}a_3 &-\frac{47}{174}a_4 &+\frac{181}{174}a_5 &=\frac{31}{87}\\
& & &-\frac{2}{29}a_4&+\frac{4}{29}a_5&=-\frac{6}{29}
\end{array}\right.
\end{align*}$
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
-6a_1 &+12a_2&-7a_3 &+a_4&-29a_5&=-22\\
& & 29a_3 &-47a_4 &+181a_5 &=62\\
& & &-a_4&+2a_5&=-3
\end{array}\right.
\end{align*}$
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
-6a_1 &+12a_2&-7a_3 &+a_4&-29a_5&=-22\\
& & 29a_3 &-47a_4 &+181a_5 &=62\\
& & &&a_4&=3+2a_5
\end{array}\right.
\end{align*}$
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
-6a_1 &+12a_2&-7a_3 &+a_4&-29a_5&=-22\\
& & & &29a_3 &=62+47a_4-181a_5\\
& & &&a_4&=3+2a_5
\end{array}\right.
\end{align*}$
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
-6a_1 &+12a_2&-7a_3 &+a_4&-29a_5&=-22\\
& & & &29a_3 &=62+141 +94a_5-181a_5\\
& & &&a_4&=3+2a_5
\end{array}\right.
\end{align*}$
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
-6a_1 &+12a_2&-7a_3 &+a_4&-29a_5&=-22\\
& & & &29a_3 &=203 -87a_5\\
& & &&a_4&=3+2a_5
\end{array}\right.
\end{align*}$
$\begin{align*}\left\{\begin{array}{llllll}
-6a_1 &+12a_2&-7a_3 &+a_4&-29a_5&=-22\\
& & & &a_3 &=7 -3a_5\\
& & &&a_4&=3+2a_5
\end{array}\right.
\end{align*}$
\left\{\begin{align*}
-6a_1 &=-22-12a_2+7(7-3a_5)-(3+2a_5)+29a_5\\
a_3 &=7 -3a_5\\
a_4&=3+2a_5
\end{align*}\right.\left\{\begin{align*}
-6a_1&=-12a_2+24+6a_5\\
a_3 &=7 -3a_5\\
a_4&=3+2a_5
\end{align*}\right.\left\{\begin{align*}
a_1&=2a_2-4-a_5\\
a_3 &=7 -3a_5\\
a_4&=3+2a_5.
\end{align*}\right.