Dans ce contenu, vous établissez que $\int_{1}^{+\infty} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x} = +\infty.$
Notez au préalable que la fonction $x\mapsto \frac{\vert \sin x \vert}{x}$ est positive sur $[1,+\infty[\comma$ donc l’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x}$ est bien définie et prend sa valeur dans l’ensemble $\R_{+}\cup \{+\infty\}.$
Découpez la somme et ramenez-vous à l’intervalle $[0,\pi]$
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$
Par positivité de la fonction intégrée et grâce au fait que $\forall x\in\R, \sin x = -\sin (x+\pi)\comma$ vous avez les minorations suivantes :
\begin{align*}
\int_{1}^{+\infty} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x} &\geq \int_{\pi}^{n\pi} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x} \\
&\geq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x}\\
&\geq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \frac{\vert \sin (x+k\pi) \vert \,\text{d}x}{x+k\pi}\\
&\geq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x+k\pi}\\
&\geq \sum_{k=1}^{n-1} \int_{0}^{\pi} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{\pi+k\pi}\\
&\geq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\pi+k\pi} \int_{0}^{\pi} \vert \sin x \vert \,\text{d}x\\
&\geq \left(\int_{0}^{\pi} \vert \sin x \vert \,\text{d}x\right) \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\pi+k\pi} \\
&\geq \frac{1}{\pi} \left(\int_{0}^{\pi} \vert \sin x \vert \,\text{d}x\right) \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1+k} \\
&\geq \frac{1}{\pi} \left(\int_{0}^{\pi} \vert \sin x \vert \,\text{d}x\right) \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}\\
&\geq \frac{1}{\pi} \left(\int_{0}^{\pi} \sin x \,\text{d}x\right) \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}\\
&\geq \frac{1}{\pi} \left[-\cos x\right]_0^{\pi} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}\\
&\geq \frac{1}{\pi} \left(-\cos \pi + \cos 0\right) \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}\\
&\geq \frac{2}{\pi} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}.
\end{align*}
Minorez la somme harmonique $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}$
Il est bien connu que $\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k} = +\infty.$ Par souci de complétude, une démonstration utilisant une comparaison série-intégrale est utilisée.
Rappelez-vous que $n\comma$ dans ce paragraphe, désigne toujours un entier naturel supérieur ou égal à $2.$
Soit $k$ un entier compris entre $2$ et $n.$
Par décroissance de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ sur $[2,+\infty[\comma$ vous obtenez :
\begin{align*}
\int_{k}^{k+1}\frac{\text{d}x}{x} &\leq \int_{k}^{k+1}\frac{\text{d}x}{k} \\
\int_{k}^{k+1}\frac{\text{d}x}{x} &\leq \frac{1}{k} \\
\ln (k+1) – \ln k &\leq \frac{1}{k}.
\end{align*}
Par sommation, il vient :
\begin{align*}
\sum_{k=2}^n (\ln (k+1) – \ln k) &\leq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\\
\sum_{k=2}^n \ln (k+1) – \sum_{k=2}^n \ln k &\leq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\\
\sum_{k=3}^{n+1} \ln k – \sum_{k=2}^n \ln k &\leq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\\
\ln(n+1)+\sum_{k=3}^{n} \ln k – \sum_{k=3}^n \ln k -\ln 2&\leq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\\
\ln(n+1) -\ln 2&\leq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k}.
\end{align*}
Concluez
D’après les deux sections précédentes, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2\comma$ vous avez :
\begin{align*}
\int_{1}^{+\infty} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x} &\geq \int_{\pi}^{n\pi} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x} \\
&\geq \frac{2}{\pi} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}\\
&\geq \frac{2}{\pi} \left(\ln(n+1) -\ln 2\right).
\end{align*}
Comme $\lim_{n\to +\infty} \ln(n+1) -\ln 2 = +\infty\comma$ il vient $\boxed{\int_{1}^{+\infty} \frac{\vert \sin x \vert \,\text{d}x}{x} = +\infty.}$
Prolongement
Pourriez-vous montrer que l’intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{ \sin x \,\text{d}x}{x}$ est convergente ?
Autrement dit, pourriez-vous montrer que la limite $\lim_{t\to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{ \sin x \,\text{d}x}{x}$ existe et est un nombre réel ?
