206. Exemple de deux suites équivalentes dont les séries associées ne sont pas de même nature

Considérez les suites $(u_n)_{n\geq 2}$ et $(v_n)_{n\geq 2}$ définies de la façon suivante :

\begin{align*} \boxed{\forall n\geq 2, u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\text{ et }v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}.} \end{align*}

Montrez que ces deux suites sont équivalentes

Remarquez déjà que, pour tout entier $n\geq 2\comma$ le réel $v_n$ est non nul. Cela permet de passer au quotient.

Soit $n$ un entier tel que $n\geq 2\comma$ vous avez :

\begin{align*} \frac{u_n}{v_n} &= \frac{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}}\\ &= \frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{\sqrt{n}}\\ &= 1+ \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}. \end{align*}

Or, vous avez la majoration :

\begin{align*} \left\lvert \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right\rvert &\leq \frac{1}{\sqrt{n}}. \end{align*}

Comme $\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\comma$ il vient $\lim_{n\to +\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = 0$ et donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1.$

Ainsi les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bien équivalentes.

Montrez que la série $\sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ est convergente

Note : si vous connaissez le critère spécial des séries alternées, vous pouvez sauter cette section.

Pour tout entier $N$ supérieur ou égal à $2\comma$ posez $S_{N} = \sum_{n=2}^{N} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.$

Il s’agit de comprendre pourquoi $\lim_{N\to +\infty} S_N$ existe et est un nombre réel.

Tout d’abord :

\begin{align*} S_2 &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ S_4 &= \frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}}. \end{align*}

Inutile d’aller plus loin, comme $\frac{1}{\sqrt{4}} \lt \frac{1}{\sqrt{3}}$ il vient $-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}} \lt 0.$

Voyez-vous ce qui se passe ? La suite $(S_{2N})_{N\geq 1}$ semble être décroissante.

En effet, soit $N$ un entier supérieur ou égal à $1.$

\begin{align*} S_{2N+2}-S_{2N} &= \sum_{n=2}^{2N+2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} – \sum_{n=2}^{2N} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\\ &= \frac{(-1)^{2N+1}}{\sqrt{2N+1}}+\frac{(-1)^{2N+2}}{\sqrt{2N+2}}\\ &= \frac{-1}{\sqrt{2N+1}}+\frac{1}{\sqrt{2N+2}}\\ &= \frac{\sqrt{2N+1}-\sqrt{2N+2}}{\sqrt{2N+1}\sqrt{2N+2}}\\ &= \frac{(\sqrt{2N+1}-\sqrt{2N+2})(\sqrt{2N+1}+\sqrt{2N+2})}{\sqrt{2N+1}\sqrt{2N+2}(\sqrt{2N+1}+\sqrt{2N+2})}\\ &= \frac{-1}{\sqrt{2N+1}\sqrt{2N+2}(\sqrt{2N+1}+\sqrt{2N+2})} \end{align*}

Du coup $S_{2N+2}\lt S_{2N}.$

Maintenant, vous allez montrer que la suite $(S_{2N})_{N\geq 1}$ est minorée par $0.$

Déjà, $S_2 \geq 0.$

La sommation par paquets va se révéler très intéressante pour la suite.

Soit $N$ un entier supérieur ou égal à $2.$

\begin{align*} S_{2N} &= \sum_{n=2}^{2N} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \\ &\geq \sum_{n=1}^{N-1}\left(\frac{(-1)^{2n}}{\sqrt{2n}} + \frac{(-1)^{2n+1}}{\sqrt{2n+1}}\right) + \frac{(-1)^{2N}}{\sqrt{2N}}\\ &\geq \sum_{n=1}^{N-1}\left(\frac{(-1)^{2n}}{\sqrt{2n}} + \frac{(-1)^{2n+1}}{\sqrt{2n+1}}\right) + \frac{1}{\sqrt{2N}}\\ &\geq \sum_{n=1}^{N-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2n}} – \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\\ &\geq \sum_{n=1}^{N-1}\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n}}{\sqrt{2n}\sqrt{2n+1}}\\ &\geq \sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{\sqrt{2n}\sqrt{2n+1}(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n})}\\ &\geq 0. \end{align*}

Vous déduisez de ce qui précède que la suite $(S_{2N})_{N\geq 1}$ est minorée par $0.$ Comme elle est décroissante, elle converge vers un nombre réel $\ell$ positif.

Montrez maintenant que la suite $(S_N)_{N\geq 2}$ converge vers $\ell.$

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. Par convergence de la suite $(S_{2N})_{N\geq 1}$ vers $\ell$ vous déduisez :

\exists P\geq 1, \forall N\geq P, \vert S_{2N} – \ell \vert \leq \frac{\varepsilon}{2}.

Soit $N$ un entier supérieur ou égal à $\max\left( \frac{4}{\varepsilon^2}, 2P+1\right).$

Premier cas : $N$ est pair. Il existe un entier $M$ tel que $N=2M.$ Comme $N\geq 2P\comma$ vous avez $M\geq P\comma$ donc $ \vert S_{2M} – \ell \vert \leq \frac{\varepsilon}{2}$ donc $\vert S_{2M} – \ell \vert \leq \varepsilon$ ce qui s’écrit $\vert S_{N} – \ell \vert \leq \varepsilon.$

Second cas : $N$ est impair. Il existe un entier $M$ tel que $N = 2M+1.$

\begin{align*} \left\rvert S_N – \ell \right\rvert &\leq \left\rvert \sum_{n=2}^{N} u_n – \ell \right\rvert \\ &\leq \left\rvert \sum_{n=2}^{2M+1} u_n – \ell \right\rvert \\ &\leq \left\rvert \sum_{n=2}^{2M} u_n – \ell + \frac{(-1)^{2M+1}}{\sqrt{2M+1}} \right\rvert \\ &\leq \left\rvert \sum_{n=2}^{2M} u_n – \ell \right\rvert + \left\rvert \frac{(-1)^{2M+1}}{\sqrt{2M+1}} \right\rvert \\ &\leq \left\rvert \sum_{n=2}^{2M} u_n – \ell \right\rvert + \frac{1}{\sqrt{2M+1}} \\ &\leq \left\rvert S_{2M} – \ell \right\rvert + \frac{1}{\sqrt{N}} \end{align*}

Or $N\geq 2P+1$ donc $2M+1\geq 2P+1$ donc $M\geq P$ donc $\left\rvert S_{2M} – \ell \right\rvert \leq \frac{\varepsilon}{2}.$

Comme $N\geq \frac{4}{\varepsilon^2}\comma$ il vient $\sqrt{N}\geq \frac{2}{\varepsilon}$ puis $\frac{1}{\sqrt{N}}\leq \frac{\varepsilon}{2}.$

Ainsi, $\left\rvert S_N – \ell \right\rvert \leq \varepsilon.$

Il a été démontré que $\lim_{N\to +\infty} S_N = \ell.$

Montrez que la série $\sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ est divergente

Effectuez un développement asymptotique quand $n$ tend vers l’infini :

\begin{align*} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{n}} &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\times \frac{1}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}\\ &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\times \left(1 – \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\\ &= \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} – \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right) \end{align*}

Ce qui montre que :

\begin{align*} \frac{1}{n} = u_n -v_n + O\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right). \end{align*}

Il a été vu précédemment que $\sum_{n\geq 2} u_n$ converge.

Par le critère de Riemann la série $\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n\sqrt{n}}$ converge.

Supposez que la série $\sum_{n\geq 2} v_n$ converge. Alors la série harmonique $\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n}$ converge aussi, ce qui est absurde.

Donc la série $\sum_{n\geq 2} v_n$ diverge, bien que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ soient équivalentes : le critère d’équivalence ne s’applique qu’aux séries à termes de signe constant.