207. Les séries de termes généraux sin(n)/n et cos(n)/n sont convergentes

Il s’agit de montrer dans ce contenu que les séries $\sum_{n\geq 1} \frac{\sin n}{n}$ et $\sum_{n\geq 1} \frac{\cos n}{n}$ sont convergentes.

Pour y parvenir, vous considérez le nombre complexe $z = \cos 1 + i\sin 1= \e^i.$

Par la formule de Moivre, $\forall n\geq 1,\cos n + i \sin n = \e^{in} = (\e^i)^n =z^n.$

Vous cherchez à montrer que la série complexe $\sum_{n\geq 1} \frac{z^n}{n}$ est convergente.

Utilisez une idée attribuée à Abel

Pour tout $n\in\N\comma$ vous posez $S_n = \sum_{k=0}^n z^k.$ Ce procédé, qui revient à « primitiver », fera apparaître la quantité $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\comma$ qui produira une série absolument convergente.

Cette technique est analogue à une intégration par parties, qui permet de montrer la convergence des deux intégrales $\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin x }{x}\,\text{d}x$ et $\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos x }{x}\,\text{d}x.$

Soit $N$ un entier supérieur ou égal à $2\comma$ vous avez :

\begin{align*} \sum_{n=1}^{N} \frac{z^n}{n} &=\sum_{n=1}^{N} \frac{S_n-S_{n-1}}{n} \\ &=\sum_{n=1}^{N} \frac{S_n}{n} – \sum_{n=1}^{N} \frac{S_{n-1}}{n} \\ &=\sum_{n=1}^{N} \frac{S_n}{n} – \sum_{n=0}^{N-1} \frac{S_{n}}{n+1} \\ &=\frac{S_N}{N} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{S_n}{n} – \sum_{n=1}^{N-1} \frac{S_{n}}{n+1} -S_0\\ &=\frac{S_N}{N} -1 + \sum_{n=1}^{N-1} S_n \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=\frac{S_N}{N} -1 + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{S_n}{n(n+1)}. \end{align*}

Majorez le module de $S_n$

Soit $n$ un entier naturel. Notez que $z\neq 1$ puisque $\sin 1\neq 0.$

Par sommation de termes consécutifs d’une suite géométrique, il vient :

\begin{align*} S_n &= \sum_{k=0}^n z^k\\ &= \frac{1-z^{n+1}}{1-z}. \end{align*}

En prenant le module, il vient :

\begin{align*} \vert S_n \vert &\leq \left\lvert \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \right\rvert \\ &\leq \frac{\left\lvert 1-z^{n+1} \right\rvert}{\left\lvert1-z\right\rvert} \\ &\leq \frac{1+\left\lvert z^{n+1} \right\rvert}{\left\lvert1-z\right\rvert} \\ &\leq \frac{2}{\left\lvert1-z\right\rvert} \end{align*}

Il résulte de cette section que la suite $(S_n)_{n\geq 0}$ est bornée.

Établissez la convergence de la série $\sum_{n\geq 1} \frac{S_n}{n(n+1)}$

Rappelez-vous que : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1.$

En effet, soit $N$ un entier naturel non nul.

Pour tout entier $n$ compris entre $1$ et $N\comma$ en décomposant en éléments simples la fraction $\frac{1}{n(n+1)}\comma$ il vient $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$

Par sommation télescopique :

\begin{align*} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &= \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}-\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n+1}\\ &= \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}-\sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n}\\ &= 1 + \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n}-\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n} -\frac{1}{N+1}\\ &= 1 -\frac{1}{N+1}. \end{align*}

Comme $\lim_{N\to +\infty} \frac{1}{N+1} = 0$ il vient $\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)} = 1$ ce qui prouve $\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1.}$

Soit maintenant $N$ un entier naturel.

\begin{align*} \sum_{n = 1}^N \left\lvert \frac{S_n}{n(n+1)} \right\rvert &\leq \sum_{n = 1}^N \frac{\left\lvert S_n \right\rvert}{n(n+1)} \\ &\leq \frac{2}{\left\lvert1-z\right\rvert} \sum_{n = 1}^N \frac{1}{n(n+1)} \\ &\leq \frac{2}{\left\lvert1-z\right\rvert} \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} \\ &\leq \frac{2}{\left\lvert1-z\right\rvert}. \end{align*}

La série $\sum_{n\geq 1} \frac{S_n}{n(n+1)}$ est absolument convergente, donc convergente, vers sa somme notée $\sum_{n= 1}^{+\infty} \frac{S_n}{n(n+1)}.$

Concluez

Il a été vu que, pour tout entier $N\geq 2\comma$ vous avez :

\begin{align*} \sum_{n=1}^{N} \frac{z^n}{n} &= \frac{S_N}{N} -1 + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{S_n}{n(n+1)}. \end{align*}

Comme la suite $(S_N)_{N\geq 2}$ est bornée, $\lim_{N\to +\infty} \frac{S_N}{N} = 0.$

Vous déduisez que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{z^n}{n}$ converge et que la somme vérifie $\sum_{n= 1}^{+\infty} \frac{z^n}{n} = \sum_{n= 1}^{+\infty} \frac{S_n}{n(n+1)} -1.$

En prenant les parties réelle et imaginaire, vous déduisez que les deux séries $\sum_{n\geq 1} \frac{\sin n}{n}$ et $\sum_{n\geq 1} \frac{\cos n}{n}$ sont convergentes, respectivement vers la partie imaginaire et la partie réelle de $\sum_{n= 1}^{+\infty} \frac{z^n}{n}.$