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208. La série de terme général sin(n)/n n’est pas absolument convergente

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $N$ un entier naturel non nul.

Comme $\vert \sin x \vert \leq 1$ pour tout réel $x\comma$ il vient la minoration suivante :

\begin{align*} \sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert }{n} &\geq \sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert^2 }{n} \\ &\geq \sum_{n=1}^{N} \frac{ \sin^2 n }{n} \\ &\geq \sum_{n=1}^{N} \frac{ 1-\cos 2n }{2n} \\ &\geq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} – \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \frac{\cos 2n }{n}. \end{align*}

En considérant le nombre complexe $z = \cos 2 + i \sin 2$ et la démarche vue dans un autre article, vous aboutissez au fait que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{\cos 2n }{n}$ est convergente.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 207.

Donc il existe un nombre réel $M$ tel que, pour tout $N\in\N^{*}\comma$ $\sum_{n=1}^{N} \frac{\cos 2n }{n} \leq M.$

Vous déduisez la minoration suivante :

\begin{align*} \forall N\in\N^{*}, \sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert }{n} \geq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} -\frac{M}{2}. \end{align*}

Comme $\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} = +\infty\comma$ il vient par comparaison $\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert }{n} = +\infty.$

La série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n}$ n’est pas absolument convergente.