Soit $N$ un entier naturel non nul.

Pour tout réel $x$, $\vert \sin x \vert \leq 1$, il vient la minoration suivante :

$\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert }{n} &\geq \sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert^2 }{n} \\
&\geq \sum_{n=1}^{N} \frac{ \sin^2 n }{n} \\
&\geq \sum_{n=1}^{N} \frac{ 1-\cos 2n }{2n} \\
&\geq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} – \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \frac{\cos 2n }{n}.
\end{align*}$

En considérant le nombre complexe $z = \cos 2 + i \sin 2$ et la démarche vue [yanniswp_article_link nb= »207″ desc= »dans l’article 207″] vous aboutissez au fait que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{\cos 2n }{n}$ est convergente.

Donc il existe un nombre réel $M$ tel que, pour tout $N\in\N^{*}$, $\sum_{n=1}^{N} \frac{\cos 2n }{n} \leq M.$

Vous déduisez la minoration suivante :

$\begin{align*}
\forall N\in\N^{*}, \sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert }{n} \geq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} -\frac{M}{2}.
\end{align*}$

Comme $\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} = +\infty$, il vient par comparaison $\lim_{N\to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{\vert \sin n \vert }{n} = +\infty.$

La série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin n}{n}$ n’est pas absolument convergente.