Dans tout ce contenu, $a$ et $b$ désignent deux nombres réels tels que $a\lt b$ et $f$ est une fonction réelle et bornée, définie sur l’intervalle $[a,b].$

Vous appellerez subdivision du segment $[a,b]$ toute suite finie strictement croissante dont le premier terme est $a$ et le dernier terme est $b.$ Usuellement, une telle subdivision est notée $P\comma$ il existe un nombre entier $n$ tel que $P = (x_i)_{0\leq i \leq n}\comma$ avec $a = x_0$ et $b = x_n.$

Manipulez des bornes supérieures et inférieures

Pour toute subdivision $P = (x_i)_{0\leq i \leq n}$ de l’intervalle $[a,b]$ vous définissez des bornes supérieures et inférieures suivantes :

$\forall i\in\N, 1\leq i \leq n$ vous posez $m_i = \inf \{f(x), x\in[x_{i-1}, x_i]\}.$

$\forall i\in\N, 1\leq i \leq n$ vous posez $M_i = \sup \{f(x), x\in[x_{i-1}, x_i]\}.$

Il convient de vérifier d’abord que ces quantités sont bien définies.

Puisque la fonction $f$ est bornée sur l’intervalle $[a,b]\comma$ il existe deux réels $m$ et $M$ tels que, pour tout $x\in[a,b], m\leq f(x)\leq M.$

Soit $i$ un entier compris entre $1$ et $n.$

L’ensemble $\{f(x), x\in[x_{i-1}, x_i]\}$ contient $f(x_i)\comma$ il est non vide. De plus, il est majoré par $M$ donc $M_i$ est bien défini.

De même, l’ensemble $\{f(x), x\in[x_{i-1}, x_i]\}$ contient $f(x_i)\comma$ il est non vide et il est minoré par $m$ donc $m_i$ est bien défini.

Vous pouvez donc considérer les sommes de Darboux suivantes, elles définissent respectivement l’aire inférieure et supérieure, relativement à la subdivision $P$ :

La fonction $f$ étant majorée par $M$ sur l’intervalle $[a,b]\comma$ l’ensemble $\{L(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ contient $\inf\{f(x), x\in[a,b]\}(b-a)$ et il est majoré par $M(b-a)\comma$ vous noterez $\underline{\int}_a^b f$ sa borne supérieure qui est appelée intégrale inférieure de $f\comma$ de $a$ à $b.$

La fonction $f$ étant minorée par $m$ sur l’intervalle $[a,b]\comma$ l’ensemble $\{U(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ contient $\sup\{f(x), x\in[a,b]\}(b-a)$ et il est minoré par $m(b-a)\comma$ vous noterez $\overline{\int}_a^b f$ sa borne inférieure qui est appelée intégrale supérieure de $f\comma$ de $a$ à $b.$

Montrez l’équivalence de trois propositions

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

• 1. Il existe un unique réel $A$ tel que, pour toute subdivision $P$ de $[a,b]\comma$ $L(P)\leq A \leq U(P).$
• 2. $\underline{\int}_a^b f =\overline{\int}_a^b f.$
• 3. Pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe une subdivision $P$ de $[a,b]$ telle que $U(P)\leq L(P)+\varepsilon.$

Montrez que la proposition 1 implique la proposition 2

Soient $P$ et $Q$ deux subdivisions de l’intervalle $[a,b].$ L’union $P\cup Q$ est une subdivision de l’intervalle $[a,b]$ plus fine que $P$ et que $Q.$

Par récurrence sur le nombre de points que vous rajoutez, vous pourrez démontrer que $L(P)\leq L(P\cup Q)$ et que $U(P\cup Q)\leq U(Q).$

Comme $L(P\cup Q)\leq U(P\cup Q)$ il vient $L(P)\leq L(P\cup Q)\leq U(P\cup Q) \leq U(Q).$

Le réel $U(Q)$ est un majorant de l’ensemble $\{L(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ qui admet $\underline{\int}_a^b f$ comme borne supérieure. Donc $\underline{\int}_a^b f \leq U(Q).$

Maintenant, $\underline{\int}_a^b f$ est un minorant de l’ensemble $\{U(Q), Q\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ qui admet $\overline{\int}_a^b f$ comme borne inférieure.

Donc $\underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f.$

Soit maintenant $P$ une subdivision quelconque de l’intervalle $[a,b].$

Alors $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f\leq U(P).$

Alors $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq U(P).$

En particulier : $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq U(P)$ donc par unicité $A = \underline{\int}_a^b f.$

De même, $L(P)\leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P)$ donc par unicité $A = \overline{\int}_a^b f.$

Vous déduisez $\boxed{\underline{\int}_a^b f = \overline{\int}_a^b f.}$

Montrez que la proposition 2 implique la proposition 3

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Par définition de la borne supérieure, il existe une subdivision $P$ telle que $\underline{\int}_a^b f \lt L(P) + \frac{\varepsilon}{2}.$

Par définition de la borne inférieure, il existe une subdivision $Q$ telle que $U(Q) \lt \overline{\int}_a^b f + \frac{\varepsilon}{2}.$

Comme les intégrales supérieure et inférieure sont égales, il vient :

Du coup, $U(P\cup Q) \leq U(Q) \leq L(P) + \varepsilon \leq L(P\cup Q)+\varepsilon.$

En posant $R = P\cup Q\comma$ vous déduisez que la subdivision $R$ vérifie $U(R)\leq L(R)+\varepsilon.$

Montrez que la proposition 3 implique la proposition 1

Il a été vu précédemment, qu’en toute généralité, $\underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f.$

Notez $A = \underline{\int}_a^b f.$

Soit $P$ une subdivision quelconque.

Alors $L(P)\leq A \leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P).$

Donc le réel $A$ existe.

Il s’agit maintenant de prouver l’unicité.

Soit $B$ un réel tel que, pour toute subdivision $P\comma$ $L(P)\leq B \leq U(P).$

Alors il apparaît que $B$ majore l’ensemble $\{L(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ donc $ \underline{\int}_a^b f \leq B$ et $A\leq B.$

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.

Il existe une subdivision $P$ telle que $U(P)\leq L(P)+\varepsilon.$

Du coup, $B \leq U(P) \leq L(P)+\varepsilon \leq A + \varepsilon.$

Du coup, $\forall \varepsilon \gt 0, B\leq A+\varepsilon.$

En faisant tendre $\varepsilon$ vers $0\comma$ il vient $B\leq A.$

Par suite $A = B.$

Définition de l’intégrabilité d’une fonction au sens de Riemann

Lorsque la fonction $f$ satisfait l’une des conditions ci-dessus, elle les remplit toutes. Vous direz dans ce cas que $f$ est intégrable au sens de Riemann sur l’intervalle $[a,b].$ (Certains auteurs parlent d’intégrabilité au sens de Darboux, ce qui ne sera pas fait ici).

Les intégrales supérieure et inférieure de $f$ sont égales. Vous notez $\int_a^b f$ l’intégrale de $f$ sur l’intervalle $[a,b]$ et vous posez $\int_a^b f = \underline{\int}_a^b f = \overline{\int}_a^b f.$

D’après ce qui a été vu ci-dessus, pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]\comma$ $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P)$ et il vient, dans le cas présent, que pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]\comma$ $L(P)\leq {\int}_a^b f \leq U(P).$

Application et prolongement

Soit $f$ une fonction croissante sur l’intervalle $[a,b].$ Pourriez-vous démontrer qu’elle est Riemann-intégrable sur cet intervalle ?

Une autre propriété de l’intégrale de Riemann à découvrir

Allez jeter un œil dans un autre article pour comprendre pourquoi les sommes de Riemann sont très proches de l’intégrale, dès que la subdivision est suffisamment fine.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 211.