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209. Equivalence de trois propriétés pour une fonction Riemann intégrable

Dans tout cet article, $a$ et $b$ désignent deux nombres réels tels que $a<b$ et $f$ est une fonction réelle et bornée, définie sur l’intervalle $[a,b].$

Vous appellerez subdivision du segment $[a,b]$ toute suite finie strictement croissante dont le premier terme est $a$ et le dernier terme est $b$. Usuellement, une telle subdivision est notée $P$, il existe un nombre entier $n$ tel que $P = (x_i)_{0\leq i \leq n}$, avec $a = x_0$ et $b = x_n.$

Manipulez des bornes supérieures et inférieures

Pour toute subdivision $P = (x_i)_{0\leq i \leq n}$ de l’intervalle $[a,b]$ vous définissez des bornes supérieures et inférieures suivantes :

$\forall i\in\N, 1\leq i \leq n$ vous posez $m_i = \mathrm{Inf} \{f(x), x\in[x_i, x_{i-1}]\}.$

$\forall i\in\N, 1\leq i \leq n$ vous posez $M_i = \mathrm{Sup} \{f(x), x\in[x_i, x_{i-1}]\}.$

Il convient de vérifier d’abord que ces quantités sont bien définies.

Puisque la fonction $f$ est bornée sur l’intervalle $[a,b]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que, pour tout $x\in[a,b], m\leq f(x)\leq M.$

Soit $i$ un entier compris entre $1$ et $n.$

L’ensemble $\{f(x), x\in[x_i, x_{i-1}]\}$ contient $f(x_i)$ il est non vide. De plus, il est majoré par $M$ donc $M_i$ est bien défini.

De même, l’ensemble $\{f(x), x\in[x_i, x_{i-1}]\}$ contient $f(x_i)$, il est non vide et il est minoré par $m$ donc $m_i$ est bien défini.

Vous pouvez donc considérer les sommes de Darboux suivantes, elles définissent respectivement l’aire inférieure et supérieure, relativement à la subdivision $P$ :

$L(P) = \sum_{i=1}^{n} m_i (x_{i}-x_{i-1})$

$U(P) = \sum_{i=1}^{n} M_i (x_{i}-x_{i-1}).$

La fonction $f$ étant majorée par $M$ sur l’intervalle $[a,b]$, l’ensemble $\{L(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ contient $\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[a,b]\}(b-a)$ et il est majoré par $M(b-a)$, vous noterez $\underline{\int}_a^b f$ sa borne supérieure qui est appelée intégrale inférieure de $f$, de $a$ à $b.$

La fonction $f$ étant minorée par $m$ sur l’intervalle $[a,b]$, l’ensemble $\{U(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ contient $\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[a,b]\}(b-a)$ et il est minoré par $m(b-a)$, vous noterez $\overline{\int}_a^b f$ sa borne inférieure qui est appelée intégrale supérieure de $f$, de $a$ à $b.$

Montrez l’équivalence de trois propositions

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

  • 1. Il existe un unique réel $A$ tel que, pour toute subdivision $P$ de $[a,b]$, $L(P)\leq A \leq U(P).$
  • 2. $\underline{\int}_a^b f =\overline{\int}_a^b f.$
  • 3. Pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe une subdivision $P$ de $[a,b]$ telle que $U(P)\leq L(P)+\varepsilon.$

Montrez que la proposition 1 implique la proposition 2

Soient $P$ et $Q$ deux subdivisions de l’intervalle $[a,b].$ L’union $P\cup Q$ est une subdivision de l’intervalle $[a,b]$ plus fine que $P$ et que $Q$.

Par récurrence sur le nombre de points que vous rajoutez, vous pourrez démontrer que $L(P)\leq L(P\cup Q)$ et que $U(P\cup Q)\leq U(Q).$

Comme $L(P\cup Q)\leq U(P\cup Q)$ il vient $L(P)\leq L(P\cup Q)\leq U(P\cup Q) \leq U(Q).$

$U(Q)$ est un majorant de l’ensemble $\{L(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ qui admet $\underline{\int}_a^b f$ comme borne supérieure. Donc $\underline{\int}_a^b f \leq U(Q).$

Maintenant, $\underline{\int}_a^b f$ est un minorant de l’ensemble $\{U(Q), Q\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ qui admet $\overline{\int}_a^b f$ comme borne inférieure.

Donc $\underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f.$

Soit maintenant $P$ une subdivision quelconque de l’intervalle $[a,b].$

Alors $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f\leq U(P).$

Alors $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq U(P).$

En particulier : $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq U(P)$ donc par unicité $A = \underline{\int}_a^b f.$

De même, $L(P)\leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P)$ donc par unicité $A = \overline{\int}_a^b f.$

Vous déduisez $\boxed{\underline{\int}_a^b f = \overline{\int}_a^b f.}$

Montrez que la proposition 2 implique la proposition 3

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif.

Par définition de la borne supérieure, il existe une subdivision $P$ telle que $\underline{\int}_a^b f < L(P) + \frac{\varepsilon}{2}.$

Par définition de la borne inférieure, il existe une subdivision $Q$ telle que $U(Q) < \overline{\int}_a^b f + \frac{\varepsilon}{2}.$

Comme les intégrales supérieure et inférieure sont égales, il vient :

$U(Q) < \overline{\int}_a^b f + \frac{\varepsilon}{2} \leq \underline{\int}_a^b f + \frac{\varepsilon}{2} \leq L(P)+\varepsilon.$

Du coup, $U(P\cup Q) \leq U(Q) \leq L(P) + \varepsilon \leq L(P\cup Q)+\varepsilon.$

En posant $R = P\cup Q$, vous déduisez que la subdivision $R$ vérifie $U(R)\leq L(R)+\varepsilon.$

Montrez que la proposition 3 implique la proposition 1

Il a été vu précédemment, qu’en toute généralité, $\underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f.$

Notez $A = \underline{\int}_a^b f.$

Soit $P$ une subdivision quelconque.

Alors $L(P)\leq A \leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P).$

Donc le réel $A$ existe.

Il s’agit maintenant de prouver l’unicité.

Soit $B$ un réel tel que, pour toute subdivision $P$, $L(P)\leq B \leq U(P).$

Alors il apparaît que $B$ majore l’ensemble $\{L(P), P\text{ est une subdivision de }[a,b]\}$ donc $ \underline{\int}_a^b f \leq B$ et $A\leq B.$

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.

Il existe une subdivision $P$ telle que $U(P)\leq L(P)+\varepsilon.$

Du coup, $B \leq U(P) \leq L(P)+\varepsilon \leq A + \varepsilon$

Du coup, $\forall \varepsilon > 0, B\leq A+\varepsilon.$

En faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$, il vient $B\leq A.$

Par suite $A = B.$

Définition de l’intégrabilité d’une fonction au sens de Riemann

Lorsque la fonction $f$ satisfait l’une des conditions ci-dessus, elle les remplit toutes. On dit dans ce cas que $f$ est intégrable au sens de Riemann sur l’intervalle $[a,b].$ (Certains auteurs parlent d’intégrabilité au sens de Darboux, ce qui ne sera pas fait ici).

Les intégrales supérieure et inférieure de $f$ sont égales. On note $\int_a^b f$ l’intégrale de $f$ sur l’intervalle $[a,b]$ et on pose $\int_a^b f = \underline{\int}_a^b f = \overline{\int}_a^b f.$

D’après ce qui a été vu ci-dessus, pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$, $L(P)\leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P)$ et il vient, dans le cas présent que, pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$, $L(P)\leq {\int}_a^b f \leq U(P).$

Application et prolongement

Soit $f$ une fonction croissante sur l’intervalle $[a,b].$ Pourriez-vous démontrer qu’elle est Riemann-intégrable sur cet intervalle ?

Une autre propriété de l’intégrale de Riemann à découvrir

Allez jeter un oeil dans l'article 211 pour comprendre pourquoi les sommes de Riemann sont très proches de l’intégrale, dès que la subdivision est suffisamment fine.

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