Soit $M\in SL_2(\Z)$ une matrice à coefficients entiers ayant un déterminant égal à $1.$
Démontrez que $\mathrm{Tr}(M^4) = \mathrm{Tr}(M)^4-4\mathrm{Tr}(M)^2+2$
Il existe quatre nombres entiers $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $M = \begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}.$
Vous allez évaluer la trace de la matrice $M^4$.
Tout d’abord vous calculez $M^2 = \begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd\\ ac+cd & bc+d^2\end{pmatrix}.$
Vous élevez la matrice $M^2$ au carré et conservez les coefficients diagonaux.
$M^4 = \begin{pmatrix}(a^2+bc)^2 + (ab+bd)(ac+cd) & \cdots \\ \cdots & (ac+cd)(ab+bd)+(bc+d^2)^2\end{pmatrix}.$
Du coup, il vient :
\begin{aligned}
\mathrm{Tr}(M^4) &= (a^2+bc)^2 + 2(ab+bd)(ac+cd) +(bc+d^2)^2\\
&= (a^2+bc)^2 + 2bc(a+d)(a+d) +(bc+d^2)^2.
\end{aligned}
\begin{aligned}
\mathrm{Tr}(M^4) +4 \mathrm{Tr}(M)^2 &= (a^2+bc)^2 + 2bc(a+d)(a+d) +(bc+d^2)^2 +4(a+d)^2\\
&= (a^2+bc)^2 + (2bc+4)(a+d)(a+d) +(bc+d^2)^2.
\end{aligned}
Or, $ad-bc = 1$ d’où :
\begin{aligned}
\mathrm{Tr}(M^4) +4 \mathrm{Tr}(M)^2 &= (a^2+ad-1)^2 + (2ad+2)(a+d)^2 +(ad-1+d^2)^2\\
&=a^4+a^2d^2+1+2a^3d-2a^2-2ad+(2ad+2)(a^2+2ad+d^2)+a^2d^2+1+d^4-2ad+2ad^3-2d^2\\
&=a^4+2a^3d+2a^2d^2+2ad^3+d^4+(2ad+2)(a^2+2ad+d^2)-2a^2-2d^2-4ad+2\\
&=a^4+2a^3d+2a^2d^2+2ad^3+d^4+2a^3d+4a^2d^2+2ad^3+2a^2+4ad+2d^2-2a^2-2d^2-4ad+2\\
&=a^4+4a^3d+6a^2d^2+4ad^3+d^4+2\\
&=(a+d)^4+2\\
&=\mathrm{Tr}(M)^4+2.
\end{aligned}
Ainsi, $\boxed{\forall M\in SL_2(\Z), \mathrm{Tr}(M^4) +4 \mathrm{Tr}(M)^2 = \mathrm{Tr}(M)^4+2.}$
Démontrez que $\mathrm{Tr}(M^4) \equiv 2[8]$ ou $\mathrm{Tr}(M^4) \equiv -1[8]$
Soit $M\in SL_2(\Z).$
Modulo $8$, un entier peut être congru à $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4.$
Vous obtenez les possibilités suivantes qui indiquent les congruences modulo $8.$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\mathrm{Tr}(M) & -3 & -2 & -1 &0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
\mathrm{Tr}(M)^2 & 1 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0\\ \hline
\mathrm{Tr}(M)^4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \hline
4\mathrm{Tr}(M)^2 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 0\\ \hline
\mathrm{Tr}(M^4) = \mathrm{Tr}(M)^4-4\mathrm{Tr}(M)^2 +2& -1 & 2 & -1 & 2 & -1 & 2 & -1 & 2 \\ \hline
\end{array}Ainsi, pour toute matrice $M\in SL_2(\Z), \mathrm{Tr}(M^4) \equiv 2[8]$ ou $\mathrm{Tr}(M^4) \equiv -1[8].$
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