Tout d’abord, si besoin, reportez-vous à la définition d’une fonction Riemann-intégrable (certains auteurs parlent aussi de fonction Darboux-intégrable ce qui ne sera pas fait ici.), qui est donnée [yanniswp_article_link nb= »209″ desc= »dans l’article 209″]. Les notations seront réutilisées.
Le contexte de cet article est le suivant. Vous considérez une fonction bornée sur un intervalle $[a,b]$ et qui soit Riemann-intégrable. Autrement dit, les intégrales supérieure et inférieure de la fonction $f$ sont égales : $\overline{\int}_a^b f = \underline{\int}_a^b f$ et vous notez l’intégrale de $f$ comme suit : $\int_a^b f = \overline{\int}_a^b f = \underline{\int}_a^b f.$
Il existe donc un réel $M>0$ tel que, pour tout $x\in[a,b], -M\leq f(x) \leq M.$
Le concept de subdivision fine va permettre d’aller plus loin, et d’énoncer une propriété similaire à celle des suites convergentes.
Définition. Pour tout $\delta > 0$, une subdivision $P$ notée par $x_0 < \cdots < x_n$ est dite $\delta$-fine, si et seulement si, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $x_i-x_{i-1}\leq \delta.$
Il va s’agir de comprendre pourquoi, quand une subdivision $P$ notée $x_0 < x_1 <\cdots < x_n$ devient de plus en plus fine, la donnée de $n$ réels $t_1$, … ,$t_n$ vérifiant $t_i\in[x_{i-1},x_i]$ fournit une somme dite de Riemann, définie par $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1})$ qui n’est plus une somme de Darboux, qui va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de la valeur de l’intégrale de $f$.
Vous allez montrer que, pour tout $\varepsilon$ strictement positif, il existe un réel $\delta$ strictement positif, de sorte que, pour toute subdivision $P$ $\delta$-fine notée $x_0 < x_1 < \cdots < x_n$ de l’intervalle $[a,b]$, et quels que soient les réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ vérifiant la condition pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1})$ est comprise entre $\left(\int_a^b f\right) + \varepsilon$ et $\left(\int_a^b f\right) – \varepsilon.$
Améliorez le résultat des sommes de Darboux
Rappelez-vous que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe une subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$ de sorte que ses sommes de Darboux vérifient $U(P)-L(P) \leq \varepsilon.$
Dans cette section, vous allez démontrer que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un réel $\delta$ strictement positif, de sorte que pour toute subdivision $P$ $\delta$-fine, vous avez $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
Ce résultat est beaucoup plus fort que le précédent : dès qu’une subdivision est suffisamment fine, les sommes de Darboux supérieure et inférieure de cette subdivision sont très proches.
La démonstration proposée de ce résultat est technique.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.
Il existe tout d’abord une subdivision $Q$, de la forme $a = y_0 < y_1 <\cdots < y_m=b$ telle que $U(Q)-L(Q)\leq \frac{\varepsilon}{2}.$
Notez $\delta$ le réel défini par $\delta = \frac{\varepsilon}{8M(m+1)}.$
Soit maintenant $P$ une subdivision $\delta$-fine.
Il existe un entier naturel $n$ tel que $P$ se mette sous la forme $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.$
Pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$, vous notez $m_i$ et $M_i$ les bornes inférieure et supérieure de la fonction $f$ sur l’intervalle $[x_{i-1}, x_i].$
L’évaluation de $U(P)-L(P)$ fournit $U(P)-L(P) = \sum_{i=1}^n (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}).$
Vous allez séparer les indices $i$ en deux.
Notez $I = \{i\in\N, 1\leq i\leq n \text{ et } [x_{i-1}, x_i]\cap Q \neq \varnothing \}.$
$I$ désigne l’ensemble des numéros des intervalles de la subdivision $P$ qui rencontrent au moins un élément de la subdivision $Q.$
L’ensemble $I$ est égal à $I = \bigcup_{j=0}^{m} \{i\in\N, 1\leq i \leq n \text{ et }[x_{i-1}, x_i] \cap \{y_j\} \neq \varnothing \}.$
Or, chaque pour tout entier $j$ compris entre $0$ et $m$, le réel $y_j$ appartient à un ou deux intervalles de la forme $[x_{i-1}, x_i]$, selon qu’il soit à l’intérieur de l’un d’entre eux ou à la frontière de deux d’entre eux.
Du coup, pour tout entier $j$ compris entre $0$ et $m$, le nombre d’éléments de l’ensemble $ \{i\in\N, 1\leq i \leq n \text{ et }[x_{i-1}, x_i] \cap \{y_j\} \neq \varnothing \}$ est majoré par $2.$
Ainsi, le nombre d’éléments de $I$ est majoré par $2(m+1).$
Notez maintenant $J = \{i\in\N, 1\leq i\leq n \text{ et } [x_{i-1}, x_i]\cap Q = \varnothing \}.$
La somme $\sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})$ est le résultat d’additions de sommes de Darboux sur des intervalles ne contenant aucun élément de la subdivision $Q.$
Lorsque ou un plusieurs intervalles de la forme $[x_{i-1}, x_i]$ avec $i\in J$ sont contigus, il sont contenus dans un seul intervalle de la forme $[y_{k-1}, y_k].$
Subdivisez l’ensemble $J$ en une partition de sous-ensembles $J_1$, …, $J_{\ell}$ où, sur chaque $J_p$, les intervalles $[x_{i-1}, x_i]$ sont contigus.
$\sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) = \sum_{p=1}^{\ell} \sum_{i\in J_p} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}).$
Pour tout $p$ compris entre $1$ et $\ell$, $\sum_{i\in J_p} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})$ est égal à $U(R)-L(R)$ où $R$ est une subdivision de la réunion $\bigcup_{i\in J_p} [x_{i-1},x_i]$ que nous noterons $[x_s, x_r].$ Or, $[x_s,x_r]$, qui ne contient aucun élément de $Q$, est nécessairement recouvert par un intervalle de la forme $[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]$ d’où il vient, d’après les propriétés des sommes de Darboux, que :
$\begin{align*}
U(R)-L(R) &\leq (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\})(x_r-x_s)\\
&\leq (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\})(y_{k_p}-y_{{k_p}-1})\\
&\leq (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\})(y_{k_p}-y_{{k_p}-1}).
\end{align*}$
Quand $p$ parcourt tous les entiers compris entre $1$ et $\ell$, les réunions $\bigcup_{i\in J_p} [x_{i-1},x_i]$ sont recouvertes par des intervalles de la forme $[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]$ et l’application $p\mapsto k_p$ est injective.
La somme $\sum_{p=1}^{\ell} \sum_{i\in J_p} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})$ est majorée par $\sum_{p=1}^{\ell} (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\})(y_{k_p}-y_{{k_p}-1})$ qui est elle même majorée par $U(Q)-L(Q).$
Finalement :
$\begin{align*}
U(P)-L(P) &\leq \sum_{i=1}^n (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})\\
&\leq \sum_{i\in I} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) + \sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) \\
&\leq 2M \sum_{i\in I} (x_i-x_{i-1}) + \sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) \\
&\leq 2M \sum_{i\in I} (x_i-x_{i-1}) + U(Q)-L(Q) \\
&\leq 2M \delta \sum_{i\in I} 1 + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq 2M \delta (2m+2) + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq 2M (2m+2) \frac{\varepsilon}{8M(m+1)} + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq \varepsilon.
\end{align*}$
Démontrez maintenant le fait que les sommes de Riemann sont proches de l’intégrale de $f$
Vous êtes maintenant prêt à montrer la propriété annoncée. Elle traduit le fait que, plus la subdivision devient fine, plus les sommes de Riemann se rapprochent de l’intégrale de la fonction $f$.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.
D’après le résultat établi ci-dessus, il existe un nombre réel $\delta$ strictement positif, de sorte que pour toute subdivision $P$ qui soit $\delta$-fine, $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
Soit $P$ une subdivision de $[a,b]$, $\delta$-fine, notée $x_0<\cdots<x_n$ et soit $(t_1, \dots, t_n)$ des réels vérifiant $t_i\in[x_{i-1},x_i].$
Notez que, comme $m_i \leq f(t_i) \leq M_i$, il vient immédiatement $L(P)\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1}) \leq U(P).$
Comme $P$ est $\delta$-fine, $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
D’autre part, comme $f$ est Riemann-intégrable, la valeur de l’intégrale est le seul réel qui soit compris entre les sommes de Darboux inférieure et supérieure, ce qui se traduit par $L(P)\leq \int_a^b f \leq U(P).$
Les deux réels $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1})$ et $\int_a^b f$ appartiennent au même intervalle $[L(P),U(P)].$
Or, $U(P)-L(P) \leq \varepsilon$ donc $\left\lvert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1}) – \int_a^b f \right\vert \leq \varepsilon.$