Tout d’abord, si besoin, reportez-vous à la définition d’une fonction Riemann-intégrable (certains auteurs parlent aussi de fonction Darboux-intégrable ce qui ne sera pas fait ici.), qui est donnée dans l'article 209. Les notations seront réutilisées.
Le contexte de cet article est le suivant. Vous considérez une fonction bornée sur un intervalle $[a,b]$ et qui soit Riemann-intégrable. Autrement dit, les intégrales supérieure et inférieure de la fonction $f$ sont égales : $\overline{\int}_a^b f = \underline{\int}_a^b f$ et vous notez l’intégrale de $f$ comme suit : $\int_a^b f = \overline{\int}_a^b f = \underline{\int}_a^b f.$
Il existe donc un réel $M>0$ tel que, pour tout $x\in[a,b], -M\leq f(x) \leq M.$
Le concept de subdivision fine va permettre d’aller plus loin, et d’énoncer une propriété similaire à celle des suites convergentes.
Définition. Pour tout $\delta > 0$, une subdivision $P$ notée par $x_0 < \cdots < x_n$ est dite $\delta$-fine, si et seulement si, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $x_i-x_{i-1}\leq \delta.$
Il va s’agir de comprendre pourquoi, quand une subdivision $P$ notée $x_0 < x_1 <\cdots < x_n$ devient de plus en plus fine, la donnée de $n$ réels $t_1$, … ,$t_n$ vérifiant $t_i\in[x_{i-1},x_i]$ fournit une somme dite de Riemann, définie par $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1})$ qui n’est plus une somme de Darboux, qui va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de la valeur de l’intégrale de $f$.
Vous allez montrer que, pour tout $\varepsilon$ strictement positif, il existe un réel $\delta$ strictement positif, de sorte que, pour toute subdivision $P$ $\delta$-fine notée $x_0 < x_1 < \cdots < x_n$ de l’intervalle $[a,b]$, et quels que soient les réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ vérifiant la condition pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1})$ est comprise entre $\left(\int_a^b f\right) + \varepsilon$ et $\left(\int_a^b f\right) – \varepsilon.$
Améliorez le résultat des sommes de Darboux
Rappelez-vous que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe une subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$ de sorte que ses sommes de Darboux vérifient $U(P)-L(P) \leq \varepsilon.$
Dans cette section, vous allez démontrer que, pour tout réel $\varepsilon$ strictement positif, il existe un réel $\delta$ strictement positif, de sorte que pour toute subdivision $P$ $\delta$-fine, vous avez $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
Ce résultat est beaucoup plus fort que le précédent : dès qu’une subdivision est suffisamment fine, les sommes de Darboux supérieure et inférieure de cette subdivision sont très proches.
La démonstration proposée de ce résultat est technique.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.
Il existe tout d’abord une subdivision $Q$, de la forme $a = y_0 < y_1 <\cdots < y_m=b$ telle que $U(Q)-L(Q)\leq \frac{\varepsilon}{2}.$
Notez $\delta$ le réel défini par $\delta = \frac{\varepsilon}{8M(m+1)}.$
Soit maintenant $P$ une subdivision $\delta$-fine.
Il existe un entier naturel $n$ tel que $P$ se mette sous la forme $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.$
Pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$, vous notez $m_i$ et $M_i$ les bornes inférieure et supérieure de la fonction $f$ sur l’intervalle $[x_{i-1}, x_i].$
L’évaluation de $U(P)-L(P)$ fournit $U(P)-L(P) = \sum_{i=1}^n (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}).$
Vous allez séparer les indices $i$ en deux.
Notez $I = \{i\in\N, 1\leq i\leq n \text{ et } [x_{i-1}, x_i]\cap Q \neq \varnothing \}.$
$I$ désigne l’ensemble des numéros des intervalles de la subdivision $P$ qui rencontrent au moins un élément de la subdivision $Q.$
L’ensemble $I$ est égal à $I = \bigcup_{j=0}^{m} \{i\in\N, 1\leq i \leq n \text{ et }[x_{i-1}, x_i] \cap \{y_j\} \neq \varnothing \}.$
Or, chaque pour tout entier $j$ compris entre $0$ et $m$, le réel $y_j$ appartient à un ou deux intervalles de la forme $[x_{i-1}, x_i]$, selon qu’il soit à l’intérieur de l’un d’entre eux ou à la frontière de deux d’entre eux.
Du coup, pour tout entier $j$ compris entre $0$ et $m$, le nombre d’éléments de l’ensemble $ \{i\in\N, 1\leq i \leq n \text{ et }[x_{i-1}, x_i] \cap \{y_j\} \neq \varnothing \}$ est majoré par $2.$
Ainsi, le nombre d’éléments de $I$ est majoré par $2(m+1).$
Notez maintenant $J = \{i\in\N, 1\leq i\leq n \text{ et } [x_{i-1}, x_i]\cap Q = \varnothing \}.$
La somme $\sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})$ est le résultat d’additions de sommes de Darboux sur des intervalles ne contenant aucun élément de la subdivision $Q.$
Lorsque ou un plusieurs intervalles de la forme $[x_{i-1}, x_i]$ avec $i\in J$ sont contigus, il sont contenus dans un seul intervalle de la forme $[y_{k-1}, y_k].$
Subdivisez l’ensemble $J$ en une partition de sous-ensembles $J_1$, …, $J_{\ell}$ où, sur chaque $J_p$, les intervalles $[x_{i-1}, x_i]$ sont contigus.
$\sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) = \sum_{p=1}^{\ell} \sum_{i\in J_p} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}).$
Pour tout $p$ compris entre $1$ et $\ell$, $\sum_{i\in J_p} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})$ est égal à $U(R)-L(R)$ où $R$ est une subdivision de la réunion $\bigcup_{i\in J_p} [x_{i-1},x_i]$ que nous noterons $[x_s, x_r].$ Or, $[x_s,x_r]$, qui ne contient aucun élément de $Q$, est nécessairement recouvert par un intervalle de la forme $[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]$ d’où il vient, d’après les propriétés des sommes de Darboux, que :
\begin{aligned}
U(R)-L(R) &\leq (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\})(x_r-x_s)\\
&\leq (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[x_s, x_r]\})(y_{k_p}-y_{{k_p}-1})\\
&\leq (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\})(y_{k_p}-y_{{k_p}-1}).
\end{aligned}
Quand $p$ parcourt tous les entiers compris entre $1$ et $\ell$, les réunions $\bigcup_{i\in J_p} [x_{i-1},x_i]$ sont recouvertes par des intervalles de la forme $[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]$ et l’application $p\mapsto k_p$ est injective.
La somme $\sum_{p=1}^{\ell} \sum_{i\in J_p} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})$ est majorée par $\sum_{p=1}^{\ell} (\mathrm{Sup}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\} -\mathrm{Inf}\{f(x), x\in[y_{{k_p}-1}, y_{k_p}]\})(y_{k_p}-y_{{k_p}-1})$ qui est elle même majorée par $U(Q)-L(Q).$
Finalement :
\begin{aligned}
U(P)-L(P) &\leq \sum_{i=1}^n (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1})\\
&\leq \sum_{i\in I} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) + \sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) \\
&\leq 2M \sum_{i\in I} (x_i-x_{i-1}) + \sum_{i\in J} (M_i-m_i) (x_i-x_{i-1}) \\
&\leq 2M \sum_{i\in I} (x_i-x_{i-1}) + U(Q)-L(Q) \\
&\leq 2M \delta \sum_{i\in I} 1 + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq 2M \delta (2m+2) + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq 2M (2m+2) \frac{\varepsilon}{8M(m+1)} + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\
&\leq \varepsilon.
\end{aligned}
Démontrez maintenant le fait que les sommes de Riemann sont proches de l’intégrale de $f$
Vous êtes maintenant prêt à montrer la propriété annoncée. Elle traduit le fait que, plus la subdivision devient fine, plus les sommes de Riemann se rapprochent de l’intégrale de la fonction $f$.
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.
D’après le résultat établi ci-dessus, il existe un nombre réel $\delta$ strictement positif, de sorte que pour toute subdivision $P$ qui soit $\delta$-fine, $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
Soit $P$ une subdivision de $[a,b]$, $\delta$-fine, notée $x_0<\cdots<x_n$ et soit $(t_1, \dots, t_n)$ des réels vérifiant $t_i\in[x_{i-1},x_i].$
Notez que, comme $m_i \leq f(t_i) \leq M_i$, il vient immédiatement $L(P)\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1}) \leq U(P).$
Comme $P$ est $\delta$-fine, $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
D’autre part, comme $f$ est Riemann-intégrable, la valeur de l’intégrale est le seul réel qui soit compris entre les sommes de Darboux inférieure et supérieure, ce qui se traduit par $L(P)\leq \int_a^b f \leq U(P).$
Les deux réels $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1})$ et $\int_a^b f$ appartiennent au même intervalle $[L(P),U(P)].$
Or, $U(P)-L(P) \leq \varepsilon$ donc $\left\lvert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{x-1}) – \int_a^b f \right\vert \leq \varepsilon.$
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