213. Une fonction dont les sommes de Riemann convergent est une fonction Riemann-intégrable

Ce contenu s’inscrit dans la continuité de ce qui a été vu dans d’autres articles. Il constitue la réciproque de l’étude effectuée dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 209.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 212.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 211.

Vous considérez à nouveau une fonction $f$ qui admet des sommes de Riemann convergentes : la fonction $f$ est une fonction réelle définie sur un intervalle $[a,b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a\lt b\comma$ qui vérifie l’énoncé suivant.

Il existe un nombre réel $A$ tel que, pour tout réel $\varepsilon \gt 0\comma$ il existe un réel $\delta\gt0$ tel que, pour toute subdivision $x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1\comma$ $\dots\comma$ $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n\comma$ $t_i\in[x_{i-1}, x_i]\comma$ la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \varepsilon.$

Comme cela a été effectué dans un autre article, la fonction $f$ est bornée.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 212.

Pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]\comma$ les sommes de Darboux inférieure et supérieure sont bien définies.

Démontrez que la fonction $f$ est Riemann-intégrable

Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif fixé.

Il existe un réel $\delta$ strictement positif tel que, pour toute subdivision $x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1\comma$ $\dots\comma$ $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n\comma$ $t_i\in[x_{i-1}, x_i]\comma$ vous avez $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \frac{\varepsilon}{4}.$

D’après ce qui a été effectué dans un autre article, il suffit de démontrer qu’il existe une subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$ vérifiant $U(P)-L(P)\leq \varepsilon$ pour avoir le résultat annoncé.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 209.

Vous allez démontrer un résultat plus fort ici, à savoir que, pour toute subdivision $P$ qui est $\delta$-fine, vous avez toujours $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$

Examinez les sommes de Darboux

Fixez une subdivision $P$ qui soit $\delta$-fine.

La somme de Darboux supérieure est $\sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1})$ où $M_i$ est la borne supérieure de l’ensemble $\{f(x), x\in[x_{i-1},x_i]\}.$

Par définition de $M_i\comma$ il existe un réel $t_i\in[x_{i-1},x_i]$ tel que $M_i \leq f(t_i) + \frac{\varepsilon}{4(b-a)}.$

Du coup, vous avez les majorations suivantes :

\begin{align*} U(P) &= \sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1})\\ &\leq \sum_{i=1}^n \left(f(t_i)+\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\right)(x_i-x_{i-1}) \\ &\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{\varepsilon}{4(b-a)} \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\\ &\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{\varepsilon}{4}. \end{align*}

La somme de Darboux inférieure est $\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})$ où $m_i$ est la borne inférieure de l’ensemble $\{f(x), x\in[x_{i-1},x_i]\}.$

Par définition de $m_i\comma$ il existe un réel $r_i\in[x_{i-1},x_i]$ tel que $f(r_i) – \frac{\varepsilon}{4(b-a)} \leq m_i.$

Du coup, vous avez les minorations suivantes :

\begin{align*} L(P) &= \sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})\\ &\geq \sum_{i=1}^n \left(f(r_i)-\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\right)(x_i-x_{i-1})\\ &\geq \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) – \frac{\varepsilon}{4(b-a)} \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\\ &\geq \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) – \frac{\varepsilon}{4}. \end{align*}

Concluez

La subdivision $P$ étant $\delta$-fine, vous avez les deux majorations suivantes :

\begin{align*} \left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A \right\rvert\leq \frac{\varepsilon}{4}\\ \left\vert \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) – A \right\rvert\leq \frac{\varepsilon}{4}. \end{align*}

Vous déduisez que :

\begin{align*} \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) \leq A +\frac{\varepsilon}{4}\\ \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) \geq A – \frac{\varepsilon}{4}. \end{align*}

Il vient successivement :

\begin{align*} U(P) &\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{\varepsilon}{4} \\ &\leq A + \frac{2\varepsilon}{4} \\ &\leq \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{3\varepsilon}{4} \\ &\leq L(P) + \varepsilon. \end{align*}

Ainsi, pour toute subdivision $P$ qui est $\delta$-fine, $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$

Or, vous constatez, par exemple en choisissant une subdivision uniforme $x_0 = a, \dots, x_k = a+ k\frac{b-a}{n}, \dots , x_n = b$ où $n$ est un entier fixé tel que $n\geq \max\left(\frac{b-a}{\delta},2\right)$ qu’une telle subdivision existe toujours.

Via le critère qui a été explicité dans un autre article, vous déduisez que la fonction $f$ est par conséquent Riemann-intégrable sur l’intervalle $[a,b].$

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 209.

Complément : montrez que $A = \int_a^b f$

Vous vous attendez à ce que le réel $A$ soit non seulement unique, mais égal à l’intégrale de la fonction $f.$

C’est effectivement le cas.

En effet, l’intégrale de la fonction $f$ est l’unique réel noté $\int_a^b f$ tel que, pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]\comma$ l’encadrement $L(P)\leq \int_a^b f \leq U(P)$ soit vérifié.

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. D’après ce qui a été étudié plus haut, il existe un réel $\delta_1\gt0$ de sorte que, pour toute subdivision $\delta_1$-fine, vous avez $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$

D’autre part, par convergence des sommes de Riemann, il existe aussi un réel $\delta_2\comma$ de sorte que pour toute subdivision $x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta_2$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1\comma$ $\dots\comma$ $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n\comma$ $t_i\in[x_{i-1}, x_i]\comma$ vous avez $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \varepsilon.$

Choisissez une subdivision $P$ uniforme qui soit à la fois $\delta_1$-fine et $\delta_2$-fine.

Il suffit pour cela de choisir un entier $n$ fixé supérieur ou égal à $\max\left(\frac{b-a}{\delta_1},\frac{b-a}{\delta_2},2\right)$ et de poser $x_0 = a, \dots, x_k = a+ k\frac{b-a}{n}, \dots , x_n = b.$

Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n\comma$ vous posez $t_i = x_i.$

Vous utilisez les inégalités suivantes :

\begin{align*} A- \varepsilon \leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) \leq A + \varepsilon &\quad \text{(convergence des sommes de Riemann)}\\ L(P)\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) \leq U(P) &\quad \text{(définition des bornes inférieures et supérieures)}\\ U(P)-L(P)\leq \varepsilon &\quad \text{(caractère fin de la subdivision)}\\ L(P)\leq \int_a^b f \leq U(P). &\quad \text{(caractère Riemann-intégrable de la fonction étudiée)} \end{align*}

Vous déduisez de ce qui précède :

\begin{align*} A &\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) + \varepsilon\\ &\leq U(P)+\varepsilon\\ &\leq L(P)+2\varepsilon\\ &\leq \left(\int_a^b f\right) + 2\varepsilon. \end{align*}

D’autre part :

\begin{align*} A &\geq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – \varepsilon \\ &\geq L(P) – \varepsilon\\ &\geq U(P)-2\varepsilon\\ &\geq \left(\int_a^b f\right) – 2\varepsilon. \end{align*}

Des deux inégalités ci-dessus cumulées, vous déduisez $\left\vert A – \int_a^b f \right\vert \leq 2\varepsilon.$

Cette inégalité étant vraie pour tout réel $\varepsilon \gt 0\comma$ en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0\comma$ vous aboutissez à $A = \int_a^b f.$

Ainsi, quand les sommes de Riemann convergent, la fonction $f$ est bornée, elle est Riemann-intégrable et les sommes de Riemann convergent vers un unique réel qui est l’intégrale $\int_a^b f.$