Cet article s’inscrit dans la continuité de ce qui a été vu dans l'article 209 et dans l'article 212. Il constitue le caractère réciproque de l’étude effectuée dans l'article 211.
Vous considérez à nouveau une fonction $f$ qui admet des sommes de Riemann convergentes : la fonction $f$ est une fonction réelle définie sur un intervalle $[a,b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$, qui vérifie l’énoncé suivant.
Il existe un nombre réel $A$ tel que, pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un réel $\delta>0$ tel que, pour toute subdivision $x_0<x_1<\cdots<x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, la somme de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$ vérifie la majoration $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \varepsilon.$
Comme cela a été effectué dans l'article 212, la fonction $f$ est bornée.
Pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$ les sommes de Darboux inférieure et supérieure sont bien définies.
Démontrez que la fonction $f$ est Riemann-intégrable
Soit $\varepsilon$ un nombre réel strictement positif fixé.
Il existe un réel $\delta$ strictement positif tel que, pour toute subdivision $x_0<x_1<\cdots<x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, vous avez $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \frac{\varepsilon}{4}.$
D’après ce qui a été effectué dans l'article 209, il suffit de démontrer qu’il existe une subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$ vérifiant $U(P)-L(P)\leq \varepsilon$ pour avoir le résultat annoncé.
Vous allez démontrer un résultat plus fort ici, à savoir que, pour toute subdivision $P$ qui est $\delta$-fine, vous avez toujours $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
Examinez les sommes de Darboux
Fixez une subdivision $P$ qui soit $\delta$-fine.
La somme de Darboux supérieure est $\sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1})$ où $M_i$ est la borne supérieure de l’ensemble $\{f(x), x\in[x_{i-1},x_i]\}.$
Par définition de $M_i$, il existe un réel $t_i\in[x_{i-1},x_i]$ tel que $M_i \leq f(t_i) + \frac{\varepsilon}{4(b-a)}.$
Du coup, vous avez les majorations suivantes :
\begin{aligned}
U(P) &\leq \sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1})\\
&\leq \sum_{i=1}^n \left(f(t_i)+\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\right)(x_i-x_{i-1}) \\
&\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{\varepsilon}{4(b-a)} \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\\
&\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{\varepsilon}{4}.
\end{aligned}
La somme de Darboux inférieure est $\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})$ où $m_i$ est la borne inférieure de l’ensemble $\{f(x), x\in[x_{i-1},x_i]\}.$
Par définition de $m_i$, il existe un réel $r_i\in[x_{i-1},x_i]$ tel que $r_i – \frac{\varepsilon}{4(b-a)} \leq m_i.$
Du coup, vous avez les minorations suivantes :
\begin{aligned}
L(P) &\geq \sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})\\
&\geq \sum_{i=1}^n \left(f(r_i)-\frac{\varepsilon}{4(b-a)}\right)(x_i-x_{i-1})\\
&\geq \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) – \frac{\varepsilon}{4(b-a)} \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\\
&\geq \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) – \frac{\varepsilon}{4}.
\end{aligned}
Concluez
La subdivision $P$ étant $\delta$-fine, vous avez les deux majorations suivantes :
\begin{aligned}
\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A \right\rvert\leq \frac{\varepsilon}{4}\\
\left\vert \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) – A \right\rvert\leq \frac{\varepsilon}{4}.
\end{aligned}
Vous déduisez que :
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) \leq A +\frac{\varepsilon}{4}\\
\sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) \geq A – \frac{\varepsilon}{4}.
\end{aligned}
Il vient successivement :
\begin{aligned}
U(P) &\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{\varepsilon}{4} \\
&\leq A + \frac{2\varepsilon}{4} \\
&\leq \sum_{i=1}^n f(r_i)(x_i-x_{i-1}) +\frac{3\varepsilon}{4} \\
&\leq L(P) + \varepsilon.
\end{aligned}
Ainsi, pour toute subdivision $P$ qui est $\delta$-fine, $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
Or, vous constatez, par exemple en choisissant une subdivision uniforme $x_0 = a, \dots, x_k = a+ k\frac{b-a}{n}, \dots , x_n = b$ où $n$ est un entier fixé tel que $n\geq \mathrm{Max}\left(\frac{b-a}{\delta},2\right)$ qu’une telle subdivision existe toujours.
Via le critère qui a été explicité dans l'article 209, vous déduisez que la fonction $f$ est par conséquent Riemann-intégrable sur l’intervalle $[a,b]$.
Complément : montrez que $A = \int_a^b f$
Vous vous attendez à ce que le réel $A$ soit non seulement unique, mais égal à l’intégrale de la fonction $f$.
C’est effectivement le cas.
En effet, l’intégrale de la fonction $f$ est l’unique réel noté $\int_a^b f$ tel que, pour toute subdivision $P$ de l’intervalle $[a,b]$, on ait $L(P)\leq \int_a^b f \leq U(P).$
Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif. D’après ce qui a été étudié plus haut, il existe un réel $\delta_1>0$ de sorte que, pour toute subdivision $\delta_1$-fine, vous avez $U(P)-L(P)\leq \varepsilon.$
D’autre part, par convergence des sommes de Riemann, il existe aussi un réel $\delta_2$, de sorte que pour toute subdivision $x_0<x_1<\cdots<x_n$ de l’intervalle $[a,b]$ qui soit $\delta_2$-fine, et pour tout choix de $n$ réels $t_1$, $\dots$, $t_n$ tel que pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $t_i\in[x_{i-1}, x_i]$, vous avez $\left\vert \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – A\right\vert \leq \varepsilon.$
Choisissez une subdivision $P$ uniforme qui soit à la fois $\delta_1$-fine et $\delta_2$-fine.
Il suffit pour cela de choisir un entier $n$ fixé supérieur ou égal à $\mathrm{Max}\left(\frac{b-a}{\delta_1},\frac{b-a}{\delta_2},2\right)$ et de poser $x_0 = a, \dots, x_k = a+ k\frac{b-a}{n}, \dots , x_n = b.$
Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $n$, vous posez $t_i = x_i.$
Vous utilisez les inégalités suivantes :
\begin{aligned}
A- \varepsilon \leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) \leq A + \varepsilon &\quad \text{(convergence des sommes de Riemann)}\\
L(P)\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) \leq U(P) &\quad \text{(définition des bornes inférieures et supérieures)}\\
U(P)-L(P)\leq \varepsilon &\quad \text{(caractère fin de la subdivision)}\\
L(P)\leq \int_a^b f \leq U(P). &\quad \text{(caractère Riemann-intégrable de la fonction étudiée)}\\
\end{aligned}
Vous déduisez de ce qui précède :
\begin{aligned}
A &\leq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) + \varepsilon\\
&\leq U(P)+\varepsilon\\
&\leq L(P)+2\varepsilon\\
&\leq \left(\int_a^b f\right) + 2\varepsilon.
\end{aligned}
D’autre part :
\begin{aligned}
A &\geq \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1}) – \varepsilon \\
&\geq L(P) – \varepsilon\\
&\geq U(P)-2\varepsilon\\
&\geq \left(\int_a^b f\right) – 2\varepsilon.
\end{aligned}
Des deux inégalités ci-dessus cumulées, vous déduisez $\left\vert A – \int_a^b f \right\vert \leq 2\varepsilon.$
Cette inégalité étant vraie pour tout réel $\varepsilon > 0$, en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$, vous aboutissez à $A = \int_a^b f.$
Ainsi, quand les sommes de Riemann convergent, la fonction $f$ est bornée, elle est Riemann-intégrable et les sommes de Riemann convergent vers un unique réel qui est l’intégrale $\int_a^b f.$
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