Dans ce contenu, vous vous basez sur la définition des polynômes de Legendre utilisant la formule de Rodrigues vue dans un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 214.
Pour tout entier naturel $n\comma$ vous posez $L_n(X) = \frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].$
Il s’agit de comprendre pourquoi, pour tout entier naturel $n\geq 1\comma$ le polynôme $L_n\comma$ de degré $n\comma$ admet précisément $n$ racines réelles deux à deux distinctes, appartenant toutes à l’intervalle ouvert $]-1,1[.$
Utilisez une récurrence limitée
Soit $n\geq 1$ un entier naturel fixé. Vous posez $Q(X) = (X^2-1)^n = (X-1)^n(X+1)^n.$
Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n\comma$ vous notez $P(k)$ le prédicat : « le polynôme $Q^{(k)}$ admet $k$ racines deux à deux distinctes appartenant à l’intervalle $]-1,1[$ ».
Pour $k=0\comma$ $Q^{(k)} = Q.$ Or les racines de $Q$ sont les mêmes que celles du polynôme $X^2-1=(X-1)(X+1).$ Les deux racines étant $1$ et $-1\comma$ le polynôme $Q$ n’admet pas de racine appartenant à l’intervalle $]-1,1[$ donc $P(0)$ est vérifié.
Soit $k$ un entier naturel compris entre $0$ et $n-1.$ Vous supposez que $P(k)$ est vérifié.
Alors le polynôme $Q^{(k)}$ admet $k$ racines appartenant à l’intervalle $]-1,1[.$ Notez-les $x_1, \dots, x_k$ où $-1\lt x_1\lt\dots \lt x_k\lt1.$
Cependant, le polynôme $Q$ est factorisable par $(X-1)^n.$ Comme $k$ est strictement inférieur à $n\comma$ vous avez $Q^{(k)}(1)=0.$
De même, le polynôme $Q$ est factorisable par $(X+1)^n.$ Comme $k$ est strictement inférieur à $n\comma$ vous avez $Q^{(k)}(-1)=0.$
Le polynôme $Q^{(k)}$ admet donc au moins $k+2$ racines, deux à deux distinctes, qui sont $x_0 = -1\comma$ $x_1, \dots, x_k$ et $x_{k+1}= 1.$
Pour tout $\ell$ compris entre $1$ et $k+1\comma$ la fonction $Q^{(k)}$ est une fonction continue sur $[x_{\ell-1}, x_{\ell}]$ et dérivable sur $]x_{\ell-1}, x_{\ell}[$ puisque c’est un polynôme, avec $Q^{(k)}(x_{\ell-1}) = Q^{(k)}(x_{\ell}) = 0.$
L’application du théorème de Rolle fournit l’existence d’un réel $y_{\ell}\in]x_{\ell-1}, x_{\ell}[$ tel que $\left(Q^{(k)}\right)'(y_{\ell}) = Q^{(k+1)}(y_{\ell}) = 0.$
Vous avez les inégalités suivantes : $x_0 \lt y_1 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_k \lt y_{k+1} \lt x_{k+1}$ ce qui prouve que les $y_{\ell}$ sont deux à deux distincts quand $\ell$ parcourt tous les entiers compris entre $1$ et $k+1.$
De ce qui précède, vous déduisez que le polynôme $Q^{(k+1)}$ admet $k+1$ racines appartenant à l’intervalle $]-1,1[\comma$ deux à deux distinctes.
Concluez
La récurrence limitée effectuée ci-dessus montre, en particulier, que $P(n)$ est vérifié.
Du coup, le polynôme $Q^{(n)}$ possède $n$ racines deux à deux distinctes qui appartiennent toutes à l’intervalle $]-1,1[.$
Après multiplication par $\frac{1}{2^n n!}\comma$ vous déduisez que le polynôme de Legendre $L_n$ admet bien $n$ racines deux à deux distinctes qui appartiennent toutes à l’intervalle $]-1,1[.$ Comme $L_n$ est de degré $n\comma$ $L_n$ est bien scindé à racines simples.
Prolongement
Si vous utilisez le fait que les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire défini par $\forall (P,Q)\in\R[X]^2, \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t\comma$ pourriez-vous démontrer qu’ils sont scindés ?