Dans cet article vous vous basez sur la définition des polynômes de Legendre utilisant la formule de Rodrigues vue dans l'article 214.
Pour tout entier naturel $n$, vous posez $L_n(X) = \frac{1}{2^n n !}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].$
Il s’agit de comprendre pourquoi, pour tout entier naturel $n\geq 1$, le polynôme $L_n$, de degré $n$, admet précisément $n$ racines réelles deux à deux distinctes, appartenant toutes à l’intervalle ouvert $]-1,1[.$
Utilisez une récurrence limitée
Soit $n\geq 1$ un entier naturel fixé. Vous posez $Q(X) = (X^2-1)^n = (X-1)^n(X+1)^n.$
Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$, vous notez $P(k)$ le prédicat : « le polynôme $Q^{(k)}$ admet $k$ racines appartenant à l’intervalle $]-1,1[$. »
Pour $k=0$, $Q^{(k)} = Q.$ Or les racines de $Q$ sont les mêmes que celles du polynôme $X^2-1=(X-1)(X+1).$ Les deux racines étant $1$ et $-1$, le polynôme $Q$ n’admet pas de racine appartenant à l’intervalle $]-1,1[$ donc $P(0)$ est vérifié.
Soit $k$ un entier naturel compris entre $0$ et $n-1$. Vous supposez que $P(k)$ est vérifié.
Alors le polynôme $Q^{(k)}$ admet $k$ racines appartenant à l’intervalle $]-1,1[.$ Notez-les $x_1, \dots, x_k$ où $-1<x_1<\dots < x_k<1.$
Cependant, le polynôme $Q$ est factorisable par $(X-1)^n$. Comme $k$ est inférieur à $n-1$, vous avez $Q^{(k)}(1)=0.$
De même, le polynôme $Q$ est factorisable par $(X+1)^n$. Comme $k$ est inférieur à $n-1$, vous avez $Q^{(k)}(-1)=0.$
Le polynôme $Q^{(k)}$ admet donc au moins $k+2$ racines, deux à deux distinctes, qui sont $x_0 = -1$, $x_1, \dots, x_k$ et $x_{k+1}= 1.$
Pour tout $\ell$ compris entre $1$ et $k+1$, la fonction $Q^{(k)}$ est une fonction continue sur $[x_{\ell-1}, x_{\ell}]$ et dérivable sur $]x_{\ell-1}, x_{\ell}[$ puisque c’est un polynôme, avec $Q^{(k)}(x_{\ell-1}) = Q^{(k)}(x_{\ell}) = 0.$
L’application du théorème de Rolle fournit l’existence d’un réel $y_{\ell}\in]x_{\ell-1}, x_{\ell}[$ tel que $\left(Q^{(k)}\right)’ = Q^{(k+1)}(y_{\ell}) = 0.$
Vous avez les inégalités suivantes : $x_0 < y_1 < x_1 < \cdots < x_k < y_{k+1} < x_{k+1}$ ce qui prouve que les $y_{\ell}$ sont deux à deux distincts quand $\ell$ parcourt tous les entiers compris entre $1$ et $k+1.$
De ce qui précède, vous déduisez que le polynôme $Q^{(k+1)}$ admet $k+1$ racines appartenant à l’intervalle $]-1,1[$, deux à deux distinctes.
Concluez
La récurrence limitée effectuée ci-dessus montre, en particulier, que $P(n)$ est vérifié.
Du coup, le polynôme $Q^{(n)}$ possède $n$ racines deux à deux distinctes qui appartiennent toutes à l’intervalle $]-1,1[.$
Après multiplication par $\frac{1}{2^n n!}$, vous déduisez que le polynôme de Legendre $L_n$ admet bien $n$ racines deux à deux distinctes qui appartiennent toutes à l’intervalle $]-1,1[.$ Comme $L_n$ est de degré $n$, $L_n$ est bien scindé à racines simples.
Prolongement
Si vous utilisez le fait que les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire défini par $\forall (P,Q)\in\R[X]^2, \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t$, pourriez-vous démontrer qu’ils sont scindés ?
Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !