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216. Orthogonalité des polynômes de Legendre

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Dans le cadre de la suite d’un autre article, vous définissez les polynômes de Legendre par :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 214.

\forall n\in \N, \mathscr{L}_n(X) = \frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}X^n}\left[(X^2-1)^n\right].

Dans cette étude, l’orthogonalité est relative au produit scalaire suivant, défini sur l’ensemble des polynômes réels $\R[X]$ :

\forall (P,Q)\in (\R[X])^2, \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t.

Démontrez l’orthogonalité

Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels tels que $n\gt m.$ Il s’agit de comprendre pourquoi $\langle \mathscr{L}_n, \mathscr{L}_m \rangle = 0.$

Par définition du produit scalaire :

\begin{align*} \langle \mathscr{L}_n, \mathscr{L}_m \rangle &= \int_{-1}^1 \mathscr{L}_n(t) \mathscr{L}_m(t)\,\mathrm{d}t\\ &= \frac{1}{2^n n!} \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\left[(t^2-1)^n\right] \mathscr{L}_m(t)\,\mathrm{d}t. \end{align*}

Posez $I = \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\left[(t^2-1)^n\right] \mathscr{L}_m(t)\,\mathrm{d}t$ et remarquez que $ \langle \mathscr{L}_n, \mathscr{L}_m \rangle = \frac{I}{2^n n!}.$

Afin d’évaluer l’intégrale $I\comma$ il sera utile de poser $Q(t) = (t^2-1)^n$ et d’intégrer par parties.

La clé du raisonnement est de constater que $Q(t) = (t-1)^n(t+1)^n\comma$ ce qui prouve que le polynôme $Q$ est factorisable par $(t-1)^n$ et par $(t+1)^n\comma$ d’où $\forall k\in[0,n-1]\cap\N, Q^{(k)}(1) = Q^{(k)}(-1)=0.$

Le calcul suivant va inciter à conduire une récurrence limitée, l’idée étant de faire remonter le nombre de dérivations imposées au polynôme $Q\comma$ dérivant par la suite le polynôme $\mathscr{L}_m.$

\begin{align*} I &= \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\left[(t^2-1)^n\right] \mathscr{L}_m(t)\,\mathrm{d}t\\ &= \int_{-1}^1 Q^{(n)}(t) \mathscr{L}_m(t)\,\mathrm{d}t\\ &= \langle Q^{(n)}, \mathscr{L}_m \rangle\\ &=\left[ Q^{(n-1)}(t) \mathscr{L}_m(t)\right]_{-1}^1 – \int_{-1}^1 Q^{(n-1)}(t) (\mathscr{L}_m)'(t)\,\mathrm{d}t\\ &= – \int_{-1}^1 Q^{(n-1)}(t) (\mathscr{L}_m)'(t)\,\mathrm{d}t\\ &= – \langle Q^{(n-1)}, \mathscr{L}_m' \rangle. \end{align*}

Vous allez maintenant considérer, pour tout entier $k\in[0,n]\comma$ le prédicat suivant $P(k)$ : « $I = (-1)^k \langle Q^{(n-k)}, \mathscr{L}_m^{(k)} \rangle$ ».

Initialisation. Pour $k=0\comma$ vous avez :

\begin{align*} (-1)^0 \langle Q^{(n-0)}, (\mathscr{L}_m)^{(0)} \rangle &= \langle Q^{(n)}, \mathscr{L}_m \rangle \\ &=I. \end{align*}

Donc $P(0)$ est vérifié.

Hérédité. Soit $k$ un entier appartenant à l’intervalle $[0,n-1].$ Supposez $P(k).$

\begin{align*} I &= (-1)^k \langle Q^{(n-k)}, \mathscr{L}_m^{(k)} \rangle\\ &= (-1)^k \int_{-1}^1 Q^{(n-k)}(t) (\mathscr{L}_m)^{(k)}(t)\,\mathrm{d}t\\ &= (-1)^k \left[ Q^{(n-k-1)}(t) (\mathscr{L}_m(t))^{(k)}\right]_{-1}^1 – (-1)^k \int_{-1}^1 Q^{(n-k-1)}(t) (\mathscr{L}_m)^{(k+1)}(t)\,\mathrm{d}t. \end{align*}

Comme $0\leq n-k-1 \leq n-1\comma$ vous avez $Q^{(n-k-1)}(1)=Q^{(n-k-1)}(-1) = 0.$

D’où :

\begin{align*} I &= (-1)^{k+1} \int_{-1}^1 Q^{(n-(k+1))}(t) (\mathscr{L}_m)^{(k+1)}(t)\,\mathrm{d}t\\ &= (-1)^{k+1} \langle Q^{(n-(k+1))}, \mathscr{L}_m^{(k+1)} \rangle. \end{align*}

Le prédicat $P(k+1)$ est vérifié.

Ainsi, par récurrence limitée, $P(n)$ est vérifié.

Concluez

De ce qui précède :

\begin{align*} I &=(-1)^n \langle Q^{(0)}, \mathscr{L}_m^{(n)} \rangle\\ &= (-1)^n \langle Q, \mathscr{L}_m^{(n)} \rangle. \end{align*}

Comme le polynôme $\mathscr{L}_m$ est de degré $m$ et que $n\gt m\comma$ en dérivant $n$ fois ce polynôme, vous obtenez $\mathscr{L}_m^{(n)}=0.$

Par suite, $I = (-1)^n \langle Q, 0 \rangle = 0$ et donc $\boxed{\langle \mathscr{L}_n, \mathscr{L}_m \rangle = \frac{I}{2^n n!} = 0.}$

Prolongement

En utilisant l’orthogonalité des polynômes de Legendre, pourriez-vous démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, le polynôme $\mathscr{L}_n$ est scindé à racines simples ?