Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a,b]$, intégrable sur cet intervalle, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b.$
Le but de cet article est de vous montrer pourquoi pourquoi $\int_a^b f(t)\dt \approx (b-a)\left(\frac{1}{6}f(a)+ \frac{2}{3}f(m)+\frac{1}{6}f(b)\right).$
Effectuez une approximation la fonction $f$ par un polynôme de degré $2$
Il semble convenable de considérer, en plus des bords de l’intervalle $[a,b]$ le milieu $m=\frac{a+b}{2}.$
Dans cette section vous allez déterminer un polynôme de degré inférieur ou égal à $2$ noté $P\in\R_2[X]$ tel que :
\left\{\begin{align*}
P(a) &= f(a)\\
P(b) &= f(b)\\
P(m) &= f(m).
\end{align*}\right.Cela va se faire en trois temps.
Cherchez un polynôme $L_1\in\R_2[X]$ tel que :
\left\{\begin{align*}
L_1(a) &= 1\\
L_1(b) &= 0\\
L_1(m) &= 0.
\end{align*}\right.Comme $L_1$ a deux racines distinctes, il admet pour forme $L_1(X) = c_1(X-b)(X-m)$ où $c_1$ est le coefficient dominant de $L_1.$ La condition $L_1(a)$ impose d’avoir $1 = c_1(a-b)(a-m).$
Vous posez donc $\boxed{L_1(X) = \frac{(X-b)(X-m)}{(a-b)(a-m)}.}$
De même, en posant $\boxed{L_2(X) = \frac{(X-a)(X-m)}{(b-a)(b-m)}}$ vous avez un polynôme de $\R_2[X]$ tel que :
\left\{\begin{align*}
L_2(a) &= 0\\
L_2(b) &= 1\\
L_2(m) &= 0.
\end{align*}\right.Enfin, posez $\boxed{L_3(X) = \frac{(X-a)(X-b)}{(m-a)(m-b)}}$ pour obtenir un polynôme de $\R_2[X]$ tel que :
\left\{\begin{align*}
L_3(a) &= 0\\
L_3(b) &= 0\\
L_3(m) &= 1.
\end{align*}\right.Considérez alors le polynôme $P$ défini par $\boxed{P(X) = f(a)L_1(X)+f(b)L_2(X)+f(m)L_3(X).}$
Le polynôme $P$ convient. Observez graphiquement la courbe d’une fonction $f$ ainsi que celle du polynôme $P.$
Calculez l’intégrale du polynôme $P$ sur l’intervalle $[a,b]$
Calculez l’intégrale de $L_1$
Utilisez d’abord le fait que $m$ est la moyenne arithmétique des réels $a$ et $b.$
\begin{align*}
L_1(X) &= \frac{(X-b)(X-m)}{(a-b)(a-m)} \\
& = \frac{(X-b)(X-m)}{(b-a)(m-a)}\\
& = \frac{(X-b)(X-m)}{(b-a)\frac{b-a}{2}}\\
& = \frac{2(X-b)(X-m)}{(b-a)^2}\\
& = \frac{2}{(b-a)^2}(X-b)(X-m).
\end{align*}Le calcul de l’intégrale de $L_1$ sur l’intervalle $[a,b]$ fournit, avec le changement de variable $u = t-m:$
\begin{align*}
t-b&=u+m-b\\
&=u-\frac{b-a}{2}.
\end{align*}\begin{align*}
\int_a^b L_1(t)\dt &= \frac{2}{(b-a)^2}\int_a^b (t-b)(t-m)\dt\\
&= \frac{2}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} \left(u-\frac{b-a}{2}\right)u\du\\
&= \frac{2}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u^2\du - \frac{1}{b-a}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u\du\\
&= \frac{2}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u^2\du \\
&= \frac{4}{(b-a)^2}\int_{0}^{(b-a)/2} u^2\du \\
&= \frac{4}{(b-a)^2}\frac{((b-a)/2)^3}{3}\\
&= \frac{4}{(b-a)^2}\frac{(b-a)^3}{8\times 3}\\
&= \frac{1}{6}(b-a).
\end{align*}Calculez l’intégrale de $L_2$
D’une part :
\begin{align*}
L_2(X) &= \frac{(X-a)(X-m)}{(b-a)(b-m)}\\
&= \frac{(X-a)(X-m)}{(b-a)\frac{b-a}{2}}\\
&= \frac{2}{(b-a)^2}(X-a)(X-m).
\end{align*}Du coup, le calcul de l’intégrale fournit, avec le changement de variable $u = t-m:$
\begin{align*}
t-a&=u+m-a\\
&=u+\frac{b-a}{2}.
\end{align*}\begin{align*}
\int_a^b L_2(t)\dt &= \frac{2}{(b-a)^2}\int_a^b (t-a)(t-m)\dt \\
&= \frac{2}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} \left(u+\frac{b-a}{2}\right)u\du \\
&= \frac{2}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u^2\du +\frac{1}{b-a}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u\du\\
&= \frac{2}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u^2\du \\
&= \frac{1}{6}(b-a).
\end{align*}Calculez l’intégrale de $L_3$
D’une part :
\begin{align*}
L_3(X) &= \frac{(X-a)(X-b)}{(m-a)(m-b)}\\
&= \frac{(X-a)(X-b)}{\frac{b-a}{2}\times\left(-\frac{b-a}{2}\right)}\\
&= \frac{-4}{(b-a)^2}(X-a)(X-b).
\end{align*}D’autre part, avec le changement de variable $u=t-m:$
\begin{align*}
\int_a^b L_3(t)\dt &= \frac{-4}{(b-a)^2}\int_a^b (t-a)(t-b)\dt\\
&= \frac{-4}{(b-a)^2}\int_a^b (t-a)(t-b)\dt\\
&=\frac{-4}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} \left(u+\frac{b-a}{2}\right)\left(u-\frac{b-a}{2}\right)\du\\
&=\frac{-4}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} \left(u^2-\frac{(b-a)^2}{4}\right)\du\\
&=\frac{-4}{(b-a)^2}\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} u^2\du+\int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} \du\\
&=\frac{-8}{(b-a)^2}\int_{0}^{(b-a)/2} u^2\du+2 \int_{0}^{(b-a)/2} \du\\
&=\frac{-8}{(b-a)^2}\frac{((b-a)/2)^3}{3}+2 \times \frac{b-a}{2}\\
&=\frac{-8}{(b-a)^2}\frac{(b-a)^3}{8\times 3}+2 \times \frac{b-a}{2}\\
&=-\frac{b-a}{3}+b-a\\
&=\frac{2}{3}(b-a).
\end{align*}Concluez sur l’intégrale de $P$
D’après ce qui précède vous avez obtenu :
\begin{align*}
\int_a^b P(t)\dt &= f(a)\int_a^b L_1(t)\dt+f(b)\int_a^b L_2(t)\dt+f(m)\int_a^b L_3(t)\dt \\
&= f(a)\times \frac{1}{6}(b-a)+f(b)\times \frac{1}{6}(b-a)+f(m)\times \frac{2}{3}(b-a) \\
&=(b-a)\left(\frac{1}{6}f(a)+ \frac{2}{3}f(m)+\frac{1}{6}f(b)\right).
\end{align*}Ainsi, sous réserve d’avoir $f\approx P$ il semble légitime de considérer que l’approximation ci-dessous comme est valable :
\boxed{\int_a^b f(t)\dt \approx (b-a)\left(\frac{1}{6}f(a)+ \frac{2}{3}f(m)+\frac{1}{6}f(b)\right).}Prolongements
Des majorations de l’erreur relatives à cette estimation seront faites si on suppose que la fonction $f$ est trois fois ou quatre fois dérivable sur l’intervalle $[a,b].$
Reportez-vous au contenu écrit dans l'article 225 pour découvrir que la méthode de Simpson conduit à une méthode d’ordre $3.$
Reportez-vous au contenu écrit dans l'article 226 pour découvrir en fait que la méthode d’ordre $3$ précédente peut être améliorée en une méthode d’ordre $4$ grâce à une majoration plus fine.
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