227. Polynômes de Tchebychev, relation de récurrence, degré et coefficient dominant

Dans ce contenu vous cherchez à exprimer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x\comma$ $\cos nx$ en fonction de $\cos x.$

Pour y parvenir vous utiliserez les formules d’addition et de soustraction de la fonction cosinus :

\begin{align*} \forall (a,b)\in\R^2, \cos(a+b) &=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \forall (a,b)\in\R^2, \cos(a-b) &=\cos a\cos b+\sin a\sin b. \end{align*}

Exprimez $\cos 2x$ en fonction de $\cos x$

Soit $x$ un nombre réel.

D’après la formule d’addition :

\cos 2x=\cos(x+x) = \cos x \cos x – \sin x \sin x.

D’après la formule de soustraction :

1 = \cos 0=\cos(x-x) = \cos x \cos x + \sin x \sin x.

Par somme des deux égalités ci-dessus, il vient :

\begin{align*} 1+\cos 2x &= 2\cos^2 x\\ \cos 2x &= 2\cos^2 x-1. \end{align*}

Notez $\boxed{P_2(X) = 2X^2-1.}$ Alors $\forall x\in\R, \cos(2x) = P_2(\cos x).$

En notant $\boxed{P_1(X) =X}$ vous avez aussi $\forall x\in\R, \cos(1x) = P_1(\cos x).$

De même, en notant $\boxed{P_0(X)=1}$ vous avez encore $\forall x\in\R, 1 = \cos(0x) = P_0(\cos x).$

Construisez une preuve par récurrence

Vous allez utiliser une preuve à deux crans.

Pour tout entier naturel $n\comma$ notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $\exists P_n\in\R[X], \forall x\in\R, \cos nx = P_n(\cos x)$ ».

Pour $n=0\comma$ vous posez $P_0(X)=1$ et vous constatez que $\forall x\in\R, 1 = \cos(0x) = P_0(\cos x).$ Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.

Pour $n=1\comma$ vous posez $P_1(X) =X$ et vous avez aussi $\forall x\in\R, \cos(1x) = P_1(\cos x).$ Donc $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.

Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n)$ et $\mathscr{P}(n+1).$

Il existe un polynôme $P_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\in\R, \cos nx = P_n(\cos x).$

Il existe un polynôme $P_{n+1}\in\R[X]$ tel que $\forall x\in\R, \cos ((n+1)x) = P_{n+1}(\cos x).$

Soit $x\in\R.$ Alors :

\begin{align*} \cos((n+2)x) &= \cos((n+1)x+x) = \cos ((n+1)x) \cos x-\sin ((n+1)x) \sin x\\ \cos nx &= \cos((n+1)x-x) =\cos ((n+1)x) \cos x + \sin ((n+1)x) \sin x. \end{align*}

Par somme, il vient :

\begin{align*} \cos((n+2)x)+\cos nx&=2\cos ((n+1)x) \cos x \\ \cos ((n+2)x) &= 2(\cos x) P_{n+1}(\cos x)-P_n(\cos x). \end{align*}

Posez $P_{n+2}(X) = 2X P_{n+1}(X)-P_n(X).$

Vous déduisez $\cos ((n+2)x) = P_{n+2}(\cos x).$

Ainsi, pour tout entier naturel $n\comma$ la propriété $\mathscr{P}(n)$ est vraie.

Définissez la suite des polynômes de Tchebychev

Vous définissez la suite de polynômes de $\Z[X]$ dite de Tchebychev, en posant $P_0 = 1\comma$ $P_1 = X$ puis en utilisant la relation de récurrence ci-dessous :

\boxed{\forall n\in\N, P_{n+2} = 2XP_{n+1}-P_n.}

D’après la récurrence qui a été effectuée ci-dessus, cette suite de polynômes vérifie l’égalité suivante :

\boxed{\forall n\in\N, \forall x\in\R, \cos(nx) = P_n(\cos x).}

Déterminez le coefficient dominant de $P_n$

Les premiers calculs montrent que :

\begin{align*} P_0(X) &= 1\\ P_1(X) &= X\\ P_2(X) &= 2X^2-1\\ P_3(X) &= 2X(2X^2-1)-X = 4X^3-3X\\ P_4(X) &=2X(4X^3-3X)-(2X^2-1) = 8X^4-8X^2+1. \end{align*}

Il semble que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1\comma$ le degré du polynôme $P_n$ soit égal à $n$ et que son coefficient dominant soit égal à $2^{n-1}.$

Vous allez de nouveau démontrer cette propriété par récurrence à deux crans.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « le polynôme $P_n$ est de degré $n$ et son coefficient dominant est égal à $2^{n-1}$ ».

Pour $n=1\comma$ $P_1 = X = 2^0 X$ donc la propriété $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.

Pour $n=2\comma$ $P_2 = 2X^2-1 = 2^1 X^2-1$ donc la propriété $\mathscr{P}(2)$ est vérifiée.

Soit maintenant $n$ un entier supérieur ou égal à $1.$ Supposez $\mathscr{P}(n)$ et $\mathscr{P}(n+1).$

Par hypothèse de récurrence, il existe $(a_0,\dots,a_{n})\in\R^{n+1}$ tel que $P_n(X) = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k.$

De même, il existe $(b_0,\dots,b_{n})\in\R^{n+1}$ tel que $P_{n+1}(X) = 2^n X^{n+1} + \sum_{k=0}^n b_kX^k.$

Alors :

\begin{align*} P_{n+2} &= 2XP_{n+1}-P_n\\ &=2X\left(2^n X^{n+1} + \sum_{k=0}^n b_kX^k\right) – \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\\ &= 2^{n+1}X^{n+2}+ \sum_{k=0}^n 2b_kX^{k+1}- \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\\ &= 2^{n+1}X^{n+2}+ \sum_{k=1}^{n+1} 2b_{k-1}X^{k}- \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\\ &= 2^{n+1}X^{n+2}+ 2b_nX^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} 2b_{k-1}X^{k}- \sum_{k=1}^{n} a_k X^k – a_0\\ &= 2^{n+1}X^{n+2}+ 2b_nX^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} (2b_{k-1}-a_k)X^{k} – a_0. \end{align*}

Le polynôme $P_{n+2}$ est de degré $n+2$ et admet $2^{n+1}$ pour coefficient dominant.

Par récurrence, vous avez démontré que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1\comma$ le degré du polynôme $P_n$ est égal à $n$ et son coefficient dominant est égal à $2^{n-1}.$