Dans cet article vous cherchez à exprimer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$, $\cos nx$ en fonction de $\cos x.$
Pour y parvenir vous utiliserez les formules d’addition et de soustraction de la fonction cosinus :
\begin{align*}
\forall (a,b)\in\R^2, \cos(a+b) &=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\
\forall (a,b)\in\R^2, \cos(a-b) &=\cos a\cos b+\sin a\sin b.
\end{align*}Exprimez $\cos 2x$ en fonction de $\cos x$
Soit $x$ un nombre réel.
D’après la formule d’addition :
\cos 2x=\cos(x+x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x.
D’après la formule de soustraction :
1 = \cos 0=\cos(x-x) = \cos x \cos x + \sin x \sin x.
Par somme des deux égalités ci-dessus, il vient :
1+\cos 2x = 2\cos^2 x\\ \cos 2x = 2\cos^2 x-1.
Notez $\boxed{P_2(X) = 2X^2-1.}$ Alors $\forall x\in\R, \cos(2x) = P_2(\cos x).$
En notant $\boxed{P_1(X) =X}$ vous avez aussi $\forall x\in\R, \cos(1x) = P_1(\cos x).$
De même, en notant $\boxed{P_0(X)=1}$ vous avez encore $\forall x\in\R, 1 = \cos(0x) = P_0(\cos x).$
Construisez une preuve par récurrence
Vous allez utiliser une preuve à deux crans.
Pour tout entier naturel $n$, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « $\exists P_n\in\R[X], \forall x\in\R, \cos nx = P_n(\cos x)$ ».
Pour $n=0$, vous posez $P_0(X)=1$ et vous constatez que $\forall x\in\R, 1 = \cos(0x) = P_0(\cos x).$ Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.
Pour $n=1$, vous posez $P_1(X) =X$ vous avez aussi $\forall x\in\R, \cos(1x) = P_1(\cos x).$ Donc $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.
Soit $n$ un entier naturel. Supposez $\mathscr{P}(n)$ et $\mathscr{P}(n+1).$
Il existe un polynôme $P_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\in\R, \cos nx = P_n(\cos x).$
Il existe un polynôme $P_{n+1}\in\R[X]$ tel que $\forall x\in\R, \cos ((n+1)x) = P_{n+1}(\cos x).$
Soit $x\in\R.$ Alors :
\begin{align*}
\cos((n+2)x) &= \cos((n+1)x+x) = \cos ((n+1)x) \cos x-\sin ((n+1)x) \sin x\\
\cos nx &= \cos((n+1)x-x) =\cos ((n+1)x) \cos x + \sin ((n+1)x) \sin x.
\end{align*}Par somme, il vient :
\begin{align*}
\cos((n+2)x)+\cos nx&=2\cos ((n+1)x) \cos x \\
\cos ((n+2)x) &= 2(\cos x) P_{n+1}(\cos x)-P_n(\cos x)
\end{align*}Posez $P_{n+2}(X) = 2X P_{n+1}(X)-P_n(X).$
Vous déduisez $\cos ((n+2)x) = P_{n+2}(\cos x).$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, la propriété $\mathscr{P}(n)$ est vraie.
Définissez la suite des polynômes de Tchebychev
Vous définissez la suite de polynômes de $\Z[X]$ dite de Tchebychev, en posant $P_0 = 1,$ $P_1 = X$ puis en utilisant la relation de récurrence ci-dessous :
\boxed{\forall n\in\N, P_{n+2} = 2XP_{n+1}-P_n.}D’après la récurrence qui a été effectuée ci-dessus, cette suite de polynômes vérifie l’égalité suivante :
\boxed{\forall n\in\N, \forall x\in\R, \cos(nx) = P_n(\cos x).}Déterminez le coefficient dominant de $P_n$
Les premiers calculs montrent que :
\begin{align*}
P_0(X) &= 1\\
P_1(X) &= X\\
P_2(X) &= 2X^2-1\\
P_3(X) &= 2X(2X^2-1)-X = 4X^3-3X\\
P_4(X) &=2X(4X^3-3X)-(2X^2-1) = 8X^4-8X^2+1.
\end{align*}Il semble que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1,$ le degré du polynôme $P_n$ soit égal à $n$ et que son coefficient dominant soit égal à $2^{n-1}.$
Vous allez de nouveau démontrer cette propriété par récurrence à deux crans.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « le polynôme $P_n$ est de degré $n$ et son coefficient dominant est égal à $2^{n-1}$ ».
Pour $n=1$, $P_1 = X = 2^0 X$ donc la propriété $\mathscr{P}(1)$ est vérifiée.
Pour $n=2$, $P_2 = 2X^2-1 = 2^1 X^2-1$ donc la propriété $\mathscr{P}(2)$ est vérifiée.
Soit maintenant $n$ un entier supérieur ou égal à $1.$ Supposez $\mathscr{P}(n)$ et $\mathscr{P}(n+1).$
Par hypothèse de récurrence, il existe $(a_0,\dots,a_{n})\in\R^{n+1}, P_n(X) = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k.$
De même, il existe $(b_0,\dots,b_{n})\in\R^{n+1}, P_{n+1}(X) = 2^n X^{n+1} + \sum_{k=0}^n b_kX^k.$
Alors :
\begin{align*}
P_{n+2} &= 2XP_{n+1}-P_n\\
&=2X\left(2^n X^{n+1} + \sum_{k=0}^n b_kX^k\right) - \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\\
&= 2^{n+1}X^{n+2}+ \sum_{k=0}^n 2b_kX^{k+1}- \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\\
&= 2^{n+1}X^{n+2}+ \sum_{k=1}^{n+1} 2b_{k-1}X^{k}- \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\\
&= 2^{n+1}X^{n+2}+ 2b_nX^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} 2b_{k-1}X^{k}- \sum_{k=1}^{n} a_k X^k - a_0\\
&= 2^{n+1}X^{n+2}+ 2b_nX^{n+1}+\sum_{k=1}^{n} (2b_{k-1}-a_k)X^{k} - a_0.
\end{align*}Le polynôme $P_{n+2}$ est de degré $n+2$ et admet $2^{n+1}$ pour coefficient dominant.
Par récurrence, vous avez démontré que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1,$ le degré du polynôme $P_n$ est égal à $n$ et son coefficient dominant est égal à $2^{n-1}.$
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