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231. Factorisez les polynômes de Tchebychev

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Dans le cadre du prolongement d’un autre article vous avez établi qu’il existe une suite de polynômes notée $(T_n)_{n\in\N}$ vérifiant les propriétés suivantes :

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 227.

\left\{\begin{align*} &T_0(X)=1\\ &T_1(X)=X\\ &\forall n\in\N, T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X). \end{align*}\right.

Pour tout $n\in\N^{*}$ le polynôme $T_n$ est de degré $n$ et son coefficient dominant est $2^{n-1}.$

De plus, pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n\comma$ $T_n(\cos x) = \cos nx.$

Cette dernière propriété va vous permettre de factoriser complètement les polynômes $T_n$ où $n\geq 1.$

Calculez les racines des polynômes de Tchebychev

Soit $n$ un entier naturel fixé et non nul.

Vous cherchez un nombre $y\in\R$ tel que $T_n(y)=0.$

Compte tenu de la propriété précitée, il semble naturel de chercher $y$ sous la forme $y=\cos x.$

Dès lors, $y$ sera racine de $T_n$ dès que $\cos nx$ sera nul.

Or, vous avez la série d’équivalences suivante :

\begin{align*} \forall x\in\R, \cos nx = 0 &\Longleftrightarrow \exists k\in\Z, nx = \frac{\pi}{2}+k\pi\\ &\Longleftrightarrow \exists k\in\Z, x = \frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n}\\ &\Longleftrightarrow \exists k\in\Z, x = \frac{(2k+1)\pi}{2n}\\ &\Longleftrightarrow \exists k\in\Z, x = \frac{(2k-1)\pi}{2n}. \end{align*}

Maintenant, pour tout $k\in\llbracket 1, n\rrbracket$ posez $x_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}.$

Alors la suite $(x_k)_{1\leq k \leq n}$ est strictement croissante.

Soit $k\in\llbracket 1, n\rrbracket.$ Comme $\frac{\pi}{2n} \leq x_k \leq \frac{(2n-1)\pi}{2n}$ vous déduisez que $\forall k\in \llbracket 1, n\rrbracket, x_k\in]0,\pi[.$

Pour tout $k\in\llbracket 1, n\rrbracket$ posez $y_k = \cos x_k = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right).$

Comme la fonction cosinus est strictement monotone sur l’intervalle $]0,\pi[$ vous déduisez que les $n$ réels $y_1, \dots, y_n$ sont deux à deux distincts. Ils appartiennent tous à l’intervalle ouvert $]-1, 1[$ et ils vérifient ceci : $\forall k\in\llbracket 1, n\rrbracket, T_n(y_k) = 0.$

Finalisez la factorisation des polynômes de Tchebychev

Soit $n$ un entier naturel fixé et non nul.

Le polynôme $T_n$ étant de degré $n$ et possédant $n$ racines deux à deux distinctes $y_1, \dots, y_n$ vous déduisez l’existence d’une constante $C\in\R $ telle que :

T_n(X) = C \prod_{i=1}^n (X-y_i).

En développant, il apparaît que $C$ est le coefficient dominant de $T_n$ et donc $C = 2^{n-1}$ compte tenu d’un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 227.

En définitive vous avez obtenu la factorisation complète :

\boxed{\forall n\in\N^{*}, T_n(X) = 2^{n-1}\prod_{k=1}^n\left(X-\cos \frac{(2k-1)\pi}{2n}\right).}

De ce qui précède, vous avez montré que les polynômes de Tchebychev sont scindés, à racines simples appartenant toutes à l’intervalle ouvert $]-1,1[.$

Visualisez les racines

Les racines de $T_n$ ne sont pas réparties de façon uniforme. Plus $n$ augmente, plus le nombre de racines proches des bords de l’intervalle $[-1,1]$ est élevé.