Dans le cadre des contenus que vous trouverez dans d’autres articles, vous avez observé qu’il existe une suite de polynômes $(T_n)_{n\in\N}\comma$ dite de Tchebychev, vérifiant les propriétés suivantes :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 231 .
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 227 .
\begin{array}{l}
\forall n\in\N, \forall x\in\R, T_n(\cos x) = \cos nx\\
\forall n\in\N^{*}, T_n(X) = 2^{n-1}\displaystyle\prod_{i=1}^n \left(X-\cos\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right).
\end{array}
Fixez dans la suite un nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2.$
Pour tout $k\in\llbracket 1, n\rrbracket$ posez $x_k = \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n}.$ La suite $(x_k)_{1\leq k \leq n}$ est appelée suite des points d’interpolation de Tchebychev .
Pour tout $k\in\llbracket 1, n\rrbracket$ posez $t_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}\comma$ qui appartient à $]0,\pi[$ et notez que $x_k = \cos t_k.$
Le polynôme $T_n$ se factorise ainsi :
T_n(X) = 2^{n-1}\prod_{i=1}^n (X-x_i).
Soit maintenant $k\in\llbracket 1, n\rrbracket$ fixé. Dans le prolongement des écrits contenus dans un autre article, vous définissez le polynôme $Q_k$ en posant :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 229 .
Q_k(X)=\prod_{\substack{1\leq i \leq n \\i\neq k}} (X-x_i)^2.
Le polynôme de Hermite, noté $H_k$ est alors défini par :
H_k(X) = \frac{(Q_k(x_k) – Q_k'(x_k)(X-x_k))Q_k(X)}{Q_k(x_k)^2}.
Voici quelques représentations graphiques permettant de vous faire une idée :
Représentation graphique des cinq polynômes de Hermite sur cinq points d’interpolation ($n=5$)
L’objectif de ce contenu est de déterminer une écriture plus précise du polynôme $H_k$ et d’en déduire des propriétés utiles de ce dernier.
Calculez $Q_k(x_k)$
Il y a d’abord un lien entre le polynôme de Tchebychev $T_n$ et le polynôme $Q_k\comma$ comme le montrent les égalités suivantes :
\begin{align*}
(X-x_k)^2Q_k(X) &= \prod_{i=1}^n (X-x_i)^2\\
2^{2n-2}(X-x_k)^2Q_k(X) &= 2^{2n-2}\prod_{i=1}^n (X-x_i)^2\\
2^{2n-2}(X-x_k)^2Q_k(X) &= \left[2^{n-1}\prod_{i=1}^n (X-x_i)\right]^2\\
2^{2n-2}(X-x_k)^2Q_k(X) &= T_n(X)^2.
\end{align*}
En dérivant cette relation une première fois, vous obtenez :
2^{2n-1}(X-x_k)Q_k(X)+2^{2n-2}(X-x_k)^2Q'_k(X) = 2T_n(X)T'_n(X).
En dérivant cette relation une autre fois, vous obtenez :
\begin{align*}
2T'_n(X)^2+2T_n(X)T''_n(X) &= 2^{2n-1}Q_k(X)+2^{2n-1}(X-x_k)Q'_k(X)\\
&\quad+2^{2n-1}(X-x_k)Q'_k(X)+2^{2n-2}(X-x_k)^2Q''_k(X)\\
&=2^{2n-1}Q_k(X)+2^{2n}(X-x_k)Q'_k(X)+2^{2n-2}(X-x_k)^2Q''_k(X).
\end{align*}
Comme $x_k$ est une racine de $T_n$ il vient $T_n(x_k) = 0.$
En substituant $x_k$ vous obtenez :
\begin{align*}
2T'_n(x_k)^2&=2^{2n-1}Q_k(x_k)\\
T'_n(x_k)^2&=2^{2n-2}Q_k(x_k).
\end{align*}
Reste à calculer $T’_n(x_k).$
Pour tout réel $x\in ]0,\pi[$ vous avez $T_n(\cos x) = \cos nx.$ En dérivant cette relation et en notant que la fonction sinus ne s’annule pas sur cet intervalle, il vient :
\begin{align*}
\forall x\in ]0,\pi[, – T'_n(\cos x)\sin x &= -n\sin nx\\
\forall x\in ]0,\pi[, T'_n(\cos x) &= \frac{n\sin nx}{\sin x}.
\end{align*}
Or, $t_k$ appartient à l’intervalle $]0,\pi[$ d’où :
\begin{align*}
T'_n(\cos t_k) &= \frac{n\sin n t_k}{\sin t_k}\\
T'_n(x_k) &= \frac{n\sin \frac{(2k-1)\pi}{2}}{\sin t_k}\\
T'_n(x_k) &= \frac{(-1)^{k+1}n}{\sin t_k}\\
T'_n(x_k)^2 &= \frac{n^2}{\sin^2 t_k}\\
T'_n(x_k)^2 &= \frac{n^2}{1-\cos^2 t_k}\\
T'_n(x_k)^2 &= \frac{n^2}{1-x_k^2}.
\end{align*}
Du coup :
\frac{n^2}{1-x_k^2} = 2^{2n-2}Q_k(x_k).
Vous déduisez que :
\boxed{Q_k(x_k)=\frac{n^2}{2^{2n-2}(1-x_k^2)}.}
Calculez $Q’_k(x_k)$
Vous partez de la relation établie à la section précédente :
T'_n(X)^2+T_n(X)T''_n(X) = 2^{2n-2}Q_k(X)+2^{2n-1}(X-x_k)Q'_k(X)+2^{2n-3}(X-x_k)^2Q''_k(X).
Vous dérivez à nouveau et obtenez :
\begin{align*}
2T'_n(X)T''_n(X)+T'_n(X)T''_n(X)+T_n(X)T'''_n(X)&=2^{2n-2}Q'_k(X)+2^{2n-1}Q'_k(X)+2^{2n-1}(X-x_k)Q''_k(X)\\
&\quad +2^{2n-2}(X-x_k)Q''_k(X)+2^{2n-3}(X-x_k)^2Q'''_k(X)\\
3T'_n(X)T''_n(X)+T_n(X)T'''_n(X)&=3\times 2^{2n-2}Q'_k(X)+3\times 2^{2n-2}(X-x_k)Q''_k(X)+2^{2n-3}(X-x_k)^2Q'''_k(X)
\end{align*}
Du coup :
\begin{align*}
3T'_n(x_k)T''_n(x_k)&=3\times 2^{2n-2}Q'_k(x_k)\\
T'_n(x_k)T''_n(x_k)&= 2^{2n-2}Q'_k(x_k).
\end{align*}
Pour calculer $T »_n(x_k)$ vous partez de la relation :
\begin{align*}
\forall x\in ]0,\pi[, T'_n(\cos x) &= \frac{n\sin nx}{\sin x}.
\end{align*}
Ensuite, vous dérivez :
\begin{align*}
\forall x\in ]0,\pi[, -T''_n(\cos x)\sin x &= \frac{n^2\cos nx \sin x – n\sin nx \cos x}{\sin^2 x}\\
\forall x\in ]0,\pi[, T''_n(\cos x) &= \frac{ n\sin nx \cos x – n^2\cos nx \sin x }{\sin^3 x}.
\end{align*}
Vous prenez $x = t_k\comma$ ce qui donne :
\begin{align*}
T''_n(\cos t_k) &= \frac{ n\sin (nt_k) \cos t_k – n^2\cos nt_k \sin t_k }{\sin^3 t_k}\\
T''_n(x_k) &= \frac{ n (-1)^{k+1} x_k }{\sin^3 t_k}.
\end{align*}
Il a été établi dans la section précédente que :
T'_n(x_k) = \frac{(-1)^{k+1}n}{\sin t_k}.
Par produit, vous déduisez :
\begin{align*}
T'_n(x_k) T''_n(x_k) &= \frac{(-1)^{k+1}n}{\sin t_k}\times \frac{ n (-1)^{k+1} x_k }{\sin^3 t_k}\\
&=\frac{n^2x_k}{\sin ^4 t_k}\\
&=\frac{n^2x_k}{(1-\cos^2 t_k)^2}\\
&=\frac{n^2x_k}{(1-x_k^2)^2}.
\end{align*}
Pour conclure cette section, vous obtenez :
2^{2n-2}Q'_k(x_k) = \frac{n^2x_k}{(1-x_k^2)^2}.
Du coup :
\boxed{Q'_k(x_k) = \frac{n^2x_k}{2^{2n-2}(1-x_k^2)^2}.}
Formez le polynôme de Hermite $H_k$
D’après ce qui précède :
\begin{align*}
H_k(X) &= \frac{(Q_k(x_k) – Q_k'(x_k)(X-x_k))Q_k(X)}{Q_k(x_k)^2}\\
&= \frac{\left[\frac{n^2}{2^{2n-2}(1-x_k^2)} – \frac{n^2x_k}{2^{2n-2}(1-x_k^2)^2}(X-x_k)\right]Q_k(X)}{\left(\frac{n^2}{2^{2n-2}(1-x_k^2)}\right)^2}\\
&= \frac{\left[\frac{n^2}{2^{2n-2}(1-x_k^2)} – \frac{n^2x_k}{2^{2n-2}(1-x_k^2)^2}(X-x_k)\right]Q_k(X)}{\frac{n^4}{2^{4n-4}(1-x_k^2)^2}}\\
&= \frac{\left[\frac{n^2(1-x_k^2)}{2^{2n-2}} – \frac{n^2x_k}{2^{2n-2}}(X-x_k)\right]Q_k(X)}{\frac{n^4}{2^{4n-4}}}\\
&= \frac{\left[\frac{2^{4n-4}n^2(1-x_k^2)}{2^{2n-2}} – \frac{2^{4n-4}n^2x_k}{2^{2n-2}}(X-x_k)\right]Q_k(X)}{n^4}\\
&= \frac{\left[2^{2n-2}n^2(1-x_k^2) – 2^{2n-2}n^2x_k(X-x_k)\right]Q_k(X)}{n^4}\\
&= \frac{\left[2^{2n-2}(1-x_k^2) – 2^{2n-2}x_k(X-x_k)\right]Q_k(X)}{n^2}\\
&= \frac{(1-x_k^2-x_k(X-x_k))2^{2n-2}Q_k(X)}{n^2}.
\end{align*}
Ainsi :
\boxed{H_k(X)= \frac{ 2^{2n-2}(1-x_kX)Q_k(X)}{n^2}.}
Encadrez le polynôme $H_k$ sur $[-1,1]$
Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[-1,1].$
Alors $\vert x \vert \leq 1.$
Or $x_k$ est le cosinus de $t_k$ donc $\vert x_k \vert \leq 1.$
Par produit, il vient $\vert x x_k \vert \leq 1$ en particulier $x x_k \leq \vert x x_k \vert \leq 1.$
Donc $1-x_k x$ est positif.
Le polynôme $Q_k$ est un produit de carrés donc $Q_k(x)$ est positif.
Par produit avec $2^{2n-2}$ qui est positif et en divisant par $n^2\comma$ aussi positif, vous déduisez que $H_k(x)$ est positif.
Il a été justifié dans un autre article que la somme de tous les polynômes de Hermite est égale au polynôme constant $1.$ Comme ils sont tous positifs sur $[-1,1]\comma$ chacun d’eux est majoré par $1$ sur cet intervalle.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 230 .
Vous déduisez donc :
\boxed{\forall x\in[-1,1], 0\leq H_k(x)\leq 1.}
Majorez $H_k$ sur l’intervalle $[-1,1]$
Rappelez-vous que :
\begin{align*}
T_n(X)^2 &= 2^{2n-2}\prod_{i=1}^n (X-x_i)^2 \\
T_n(X)^2 &= 2^{2n-2} (X-x_k)^2Q_k(X).
\end{align*}
Soit $x$ un réel appartenant à l’intervalle $[-1,1]$ tel que $x\neq x_k.$
\begin{align*}
H_k(x)&= \frac{ 2^{2n-2}(1-x_k x)Q_k(x)}{n^2}\\
&= \frac{ (1-x_k x)\times 2^{2n-2} (x-x_k)^2Q_k(x)}{n^2(x-x_k)^2}\\
&= \frac{ (1-x_k x)T_n(x)^2}{n^2(x-x_k)^2}.
\end{align*}
Ainsi, vous obtenez la majoration :
\begin{align*}
\lvert H_k(x)\vert &\leq\frac{ \vert 1-x_k x \vert T_n(x)^2}{n^2(x-x_k)^2}.
\end{align*}
Comme il existe $y\in\R$ tel que $x = \cos y\comma$ il vient $T_n(x) = \cos ny$ et par suite $\vert T_n(x) \vert \leq 1$ et donc $T_n(x)^2\leq 1.$
Par inégalité triangulaire :
\begin{align*}
\vert 1-x_kx\vert &\leq 1+\vert x_kx\vert\\
&\leq 1+\vert x_k\vert \vert x\vert\\
&\leq 1+1\times 1\\
&\leq2.
\end{align*}
Vous avez ainsi obtenu l’importante majoration suivante :
\boxed{\forall x\in[-1,1]\setminus\{x_k\}, \lvert H_k(x)\vert \leq \frac{2}{n^2(x-x_k)^2}.}
Lorsqu’il y a cinq points d’interpolation, observez en orange la représentation graphique de la fonction $x\mapsto \frac{2}{n^2(x-x_k)^2}$ qui est toujours au-dessus de la courbe représentant le polynôme de Hermite $H_k.$
Visualisez la majoration obtenue lorsque $n=5$ sur les cinq polynômes de Hermite $H_1$ à $H_5$
