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260. Résolvez une équation de degré 2

Yannis TRIANTAPHYLIDES

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Dans ce contenu, vous allez chercher tous les réels $x$ tels que $2x^2+x-5 = 0.$ C’est un cas particulier de l’équation générale $ax^2+bx+c=0.$

Vous allez voir qu’il est possible de résoudre cette équation sans utiliser le discriminant, en mettant bout à bout deux changements de variables.

Première étape : se ramener à une équation où le coefficient de $x^2$ est égal à $1$ via un changement de variable. Vous vous retrouvez ainsi avec une équation de la forme $x^2+bx+c=0$ qui est plus facile à résoudre que la première.

Seconde étape : supprimer le terme $bx\comma$ de façon à obtenir une équation finale de la forme $x^2+c=0$ qui se résoudra avec l’utilisation de la racine carrée.

Ramenez-vous à une équation où $x^2$ apparaît une seule fois

L’idée est d’effectuer un premier changement de variable.

En effet, l’équation :

2x^2+x-5 = 0

après multiplication par $2\comma$ coefficient de $x^2\comma$ est équivalente à :

4x^2+2x-10 = 0.

Or, $4x^2$ est le carré de $2x.$ En posant $\boxed{X = 2x}\comma$ vous constatez que résoudre $2x^2+x-5=0$ est équivalent à résoudre :

X^2+X-10=0.

Supprimez le terme de degré $1$

Une translation va faire l’affaire.

Posez $y = X+k$ où $k$ est un nombre qui sera choisi plus tard.

L’équation :

X^2+X-10=0

est équivalente à :

\begin{align*} (y-k)^2+(y-k)-10&=0\\ y^2-2ky+k^2+y-k-10 &= 0\\ y^2+(1-2k)y+k^2-k-10 &=0. \end{align*}

Afin de faire disparaître le terme en $y\comma$ vous choisissez $k$ pour que $1-2k=0\comma$ soit $k=\frac{1}{2}.$

Vous remarquez que :

\begin{align*} k^2-k-10 &= \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-10\\ &=\frac{1}{4}-\frac{2}{4}-\frac{40}{4}\\ &=\frac{1}{4}-\frac{42}{4}\\ &=-\frac{41}{4}. \end{align*}

Ainsi, via le changement de variable $\boxed{y=X+\frac{1}{2}}\comma$ l’équation $X^2+X-10=0$ est équivalente à :

\begin{align*} y^2-\frac{41}{4}&=0\\ y^2-\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2&=0\\ \left(y-\frac{\sqrt{41}}{2}\right)\left(y+\frac{\sqrt{41}}{2}\right) &=0. \end{align*}

Concluez

D’après ce qui précède, $y$ peut prendre deux valeurs : $\frac{\sqrt{41}}{2}$ et $-\frac{\sqrt{41}}{2}.$

Comme $y=X+\frac{1}{2}\comma$ c’est que $X = -\frac{1}{2}+y\comma$ donc $X$ peut prendre deux valeurs : $\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$ et $\frac{-1-\sqrt{41}}{2}.$

Comme $X=2x\comma$ c’est que $x=\frac{X}{2}\comma$ et vous déduisez de cette analyse que l’équation $2x^2+x-5 = 0$ admet exactement deux solutions qui sont :

\frac{-1+\sqrt{41}}{4}\text{ et }\frac{-1-\sqrt{41}}{4}.

Prolongement

En utilisant la démarche exposée dans ce contenu, pourriez-vous résoudre l’équation $3x^2+5x-2 = 0\comma$ l’inconnue $x$ appartenant à l’ensemble des nombres réels ?