Ce contenu va vous permettre de calculer l’intégrale suivante :
I=\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{x^3+2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm{d}x.
Gérez le dénominateur
Le dénominateur qui est $\sqrt{x^2+1}$ pousse à utiliser le changement de variable $x = \mathrm{sh}\,t\comma$ de sorte que $1+x^2 = 1+(\mathrm{sh}\,t)^2 = (\mathrm{ch}\,t)^2.$ La positivité de $1+x^2$ et de $\mathrm{ch}\,t$ aboutit à $\sqrt{x^2+1}=\mathrm{ch}\,t.$
Du coup :
\begin{align*}
\frac{x^3+2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} &= \frac{(\mathrm{sh} \,t)^3+2(\mathrm{sh}\,t)^2+1}{\mathrm{ch}\,t}.
\end{align*}
Or :
\begin{align*} \mathrm{d}x &= \mathrm{ch}\,t\,\mathrm{d}t. \end{align*}
Ainsi :
\begin{align*}
\frac{x^3+2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm{d}x &= \frac{(\mathrm{sh} \,t)^3+2(\mathrm{sh}\,t)^2+1}{\mathrm{ch}\,t}\mathrm{ch}\,t\,\mathrm{d}t\\
&=\left[(\mathrm{sh}\,t)^3+2(\mathrm{sh}\,t)^2+1\right]\,\mathrm{d}t.
\end{align*}
Pour le calcul des nouvelles bornes de l’intégrale obtenue par changement de variable, la forme explicite de la fonction réciproque de la fonction $\mathrm{sh}$ va s’avérer précieuse. En effet, quels que soient les réels $a$ et $b\comma$ vous avez $b=\mathrm{sh}\,a \Longleftrightarrow a=\mathrm{Argsh}\,b = \ln\left(b+\sqrt{1+b^2}\right).$
Quand $x=1\comma$ vous avez $t=\mathrm{Argsh}\, 1=\ln\left(1+\sqrt{2}\right).$
Par imparité de la fonction $\mathrm{Argsh}$ il vient, quand $x=-1\comma$ $t=\mathrm{Argsh}(-1) = -\mathrm{Argsh}\, 1 = -\ln\left(1+\sqrt{2}\right).$
Ainsi :
I = \displaystyle\int_{-\ln\left(1+\sqrt{2}\right)}^{\ln\left(1+\sqrt{2}\right)} \left[(\mathrm{sh}\,t)^3+2(\mathrm{sh}\,t)^2+1\right]\,\mathrm{d}t.
Utilisant l’imparité de la fonction $t\mapsto (\mathrm{sh}\,t)^3\comma$ il vient :
\int_{-\ln\left(1+\sqrt{2}\right)}^{\ln\left(1+\sqrt{2}\right)} (\mathrm{sh}\,t)^3\,\mathrm{d}t = 0.
Or :
\begin{align*}
(\mathrm{sh}\,t)^2&=\left(\displaystyle\frac{\mathrm{e}^t-\mathrm{e}^{-t}}{2}\right)^2 \\
&= \frac{\mathrm{e}^{2t} + \mathrm{e}^{-2t} -2}{4} \\
&= \frac{2\mathrm{ch}(2t)-2}{4} \\
&= \frac{\mathrm{ch}(2t)-1}{2}.
\end{align*}
Si bien que $2(\mathrm{sh}\,t)^2+1=\mathrm{ch}(2t).$
Donc :
I =\displaystyle\int_{-\ln\left(1+\sqrt{2}\right)}^{\ln\left(1+\sqrt{2}\right)} \mathrm{ch}(2t)\,\mathrm{d}t.
La fonction $t\mapsto \mathrm{ch}(2t)$ étant paire, vous avez :
I = 2\int_{0}^{\ln\left(1+\sqrt{2}\right)} \mathrm{ch}(2t)\,\mathrm{d}t.
Vous effectuez le changement de variable $u=2t\comma$ qui donne $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}t\comma$ d’où :
\begin{align*}
I &= \int_{0}^{\ln\left(1+\sqrt{2}\right)} \mathrm{ch}(2t)\,2\mathrm{d}t\\
&=\int_{0}^{2\ln\left(1+\sqrt{2}\right)} \mathrm{ch}\,u\,\mathrm{d}u \\
&= \left[\mathrm{sh}\,u\right]_0^{2\ln\left(1+\sqrt{2}\right) } \\
&= \mathrm{sh}\left(2\ln\left(1+\sqrt{2}\right)\right)\\
&= \mathrm{sh}\left(\ln\left[\left(1+\sqrt{2}\right)^2\right]\right)\\
&= \mathrm{sh}\left(\ln\left(3+2\sqrt{2}\right)\right) \\
&= \frac{3+2\sqrt{2} – \frac{1}{3+2\sqrt{2}}}{2} \\
&= \frac{3+2\sqrt{2} – \frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}}{2}\\
&= \frac{3+2\sqrt{2} – \frac{3-2\sqrt{2}}{1}}{2} \\
&= \frac{3+2\sqrt{2} – 3+2\sqrt{2}}{2} \\
&= \frac{4\sqrt{2}}{2} \\
&= 2\sqrt{2}.
\end{align*}
En définitive :
\boxed{\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{x^3+2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}\,\mathrm{d}x = 2\sqrt{2}.}
