Dans cet article vous travaillez dans l’anneau des polynômes à $3$ indéterminées à coefficients dans $\Z$ qui sera noté $\Z[X_1,X_2,X_3].$
Par définition, le discriminant universel d’ordre $3$ est défini par :
\boxed{\Delta = (X_1-X_2)^2(X_1-X_3)^2(X_2-X_3)^2.}Les carrés sont pris pour obtenir une invariance de $\Delta$ par toute permutation des indéterminées.
Ainsi, vous savez d’après le théorème sur les polynômes symétriques que $\Delta$ s’écrit comme un polynôme en fonction des polynômes symétriques élémentaires $\sigma_1$, $\sigma_2$ et $\sigma_3$ définis par :
\boxed{
\begin{align*}
\sigma_1 &= X_1+X_2+X_3 \\
\sigma_2 &= X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3 \\
\sigma_3 &= X_1X_2X_3.
\end{align*}
}L’objectif est ici de déterminer un tel polynôme.
Développez le discriminant $\Delta$
Vous développez d’abord le polynôme $R$ défini par $R = (X_1-X_2)(X_1-X_3)(X_2-X_3)$ en prenant soin d’utiliser l’ordre lexicographique sur les puissances respectives des $3$ indéterminées :
\begin{align*}
R &= \left[(X_1-X_2)(X_1-X_3)\right](X_2-X_3) \\
&= (X_1^2-X_1X_3-X_1X_2+X_2X_3)(X_2-X_3)\\
&= (X_1^2-X_1X_2-X_1X_3+X_2X_3)(X_2-X_3)\\
&= X_1^2X_2-X_1X_2^2-X_1X_2X_3+X_2^2X_3\\
&\quad -X_1^2X_3+X_1X_2X_3+X_1X_3^2-X_2X_3^2\\
&= X_1^2X_2-X_1^2X_3-X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3 -X_2X_3^2.
\end{align*}En mettant le tout au carré, vous obtenez, en ordonnant les exposants $(4,2,0)$, $(4,1,1)$, $(3,3,0)$, $(3,2,1)$, $(2,2,2)$ avec leurs permutés :
\begin{align*}
\Delta &= R^2 \\
&= ( X_1^2X_2-X_1^2X_3-X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3 -X_2X_3^2) ^2 \\
&=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2 +X_2^2X_3^4\\
&\quad -2X_1^4X_2X_3-2X_1^3X_2^3+2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^3X_3-2X_1^2X_2^2X_3^2\\
&\quad +2X_1^3X_2^2X_3-2X_1^3X_3^3-2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1^2X_2X_3^3\\
&\quad -2X_1^2X_2^2X_3^2-2X_1X_2^4X_3+2X_1X_2^3X_3^2\\
&\quad +2X_1X_2^2X_3^3-2X_1X_2X_3^4\\
&\quad -2X_2^3X_3^3\\
&=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2 +X_2^2X_3^4\\
&\quad -2X_1^4X_2X_3-2X_1X_2^4X_3-2X_1X_2X_3^4\\
&\quad -2X_1^3X_2^3-2X_1^3X_3^3-2X_2^3X_3^3\\
&\quad +2X_1^3X_2^2X_3+2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^3X_3+2X_1^2X_2X_3^3+2X_1X_2^3X_3^2+2X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad -6X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Traitez l’exposant $(4,2,0)$ et ses permutés
Pour éliminer la somme :
X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2 +X_2^2X_3^4
vous remarquez que $X_1^4X_2^2 = X_1^2(X_1X_2)^2.$ Il convient de développer $\sigma_1^2\sigma_2^2.$ Vous commencez par le développement du produit suivant :
\begin{align*}
\sigma_1\sigma_2 &= (X_1+X_2+X_3)(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)\\
&=X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2X_3\\
&\quad +X_1X_2^2+X_1X_2X_3+X_2^2X_3\\
&\quad +X_1X_2X_3+X_1X_3^2+X_2X_3^2\\
&=X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2\\
&\quad + 3X_1X_2X_3.
\end{align*}Puis vous mettez le tout au carré :
\begin{align*}
\sigma_1^2\sigma_2^2 &= (\sigma_1\sigma_2)^2 \\
&= (X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2 + 3X_1X_2X_3)^2\\
&=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2+X_2^2X_3^4+ 9X_1^2X_2^2X_3^2\\
&\quad +2X_1^4X_2X_3+2X_1^3X_2^3+2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^3X_3+2X_1^2X_2^2X_3^2+6X_1^3X_2^2X_3\\
&\quad +2X_1^3X_2^2X_3+2X_1^3X_3^3+2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1^2X_2X_3^3+6X_1^3X_2X_3^2\\
&\quad +2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1X_2^4X_3+2X_1X_2^3X_3^2+6X_1^2X_2^3X_3\\
&\quad +2X_1X_2^2X_3^3+2X_1X_2X_3^4+6X_1^2X_2X_3^3\\
&\quad +2X_2^3X_3^3+6X_1X_2^3X_3^2\\
&\quad +6X_1X_2^2X_3^3\\
&=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2+X_2^2X_3^4\\
&\quad +2X_1^4X_2X_3+2X_1X_2^4X_3+2X_1X_2X_3^4\\
&\quad +2X_1^3X_2^3+2X_1^3X_3^3+2X_2^3X_3^3\\
&\quad +8X_1^3X_2^2X_3+8X_1^3X_2X_3^2 +8X_1^2X_2^3X_3+8X_1^2X_2X_3^3+8X_1X_2^3X_3^2+8X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad+ 15X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Par soustraction avec l’expression développée de $\Delta$ il vient :
\begin{align*}
\Delta - \sigma_1^2\sigma_2^2&= -4X_1^4X_2X_3-4X_1X_2^4X_3-4X_1X_2X_3^4\\
&\quad -4X_1^3X_2^3-4X_1^3X_3^3-4X_2^3X_3^3\\
&\quad -6X_1^3X_2^2X_3-6X_1^3X_2X_3^2-6X_1^2X_2^3X_3-6X_1^2X_2X_3^3-6X_1X_2^3X_3^2-6X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad -21X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Traitez l’exposant $(4,1,1)$ et ses permutés
Pour éliminer les trois permutés :
-4X_1^4X_2X_3-4X_1X_2^4X_3-4X_1X_2X_3^4
il convient de remarquer que $X_1^4X_2X_3 = X_1^3(X_1X_2X_3).$ Vous effectuez le développement de $\sigma_1^3\sigma_3.$
Tout d’abord :
\begin{align*}
\sigma_1^2 &= (X_1+X_2+X_3)^2\\
&=X_1^2+X_2^2+X_3^2+2X_1X_2+2X_1X_3+2X_2X_3.
\end{align*}Ensuite :
\begin{align*}
\sigma_1^3 &= \sigma_1^2\times \sigma_1\\
&=(X_1^2+X_2^2+X_3^2+2X_1X_2+2X_1X_3+2X_2X_3)(X_1+X_2+X_3)\\
&=X_1^3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+2X_1^2X_2+2X_1^2X_3+2X_1X_2X_3\\
&\quad + X_1^2X_2+X_2^3+X_2X_3^2+2X_1X_2^2+2X_1X_2X_3+2X_2^2X_3\\
&\quad + X_1^2X_3+X_2^2X_3+X_3^3+2X_1X_2X_3+2X_1X_3^2+2X_2X_3^2 \\
&= X_1^3+X_2^3+X_3^3\\
&\quad +3X_1^2X_2+3X_1^2X_3+3X_1X_2^2+3X_1X_3^2+3X_2^2X_3+3X_2X_3^2\\
&\quad +6X_1X_2X_3.
\end{align*}Du coup :
\begin{align*}
\sigma_1^3\sigma_3 &= (X_1^3+X_2^3+X_3^3)(X_1X_2X_3)\\
&\quad +(3X_1^2X_2+3X_1^2X_3+3X_1X_2^2+3X_1X_3^2+3X_2^2X_3+3X_2X_3^2)(X_1X_2X_3)\\
&\quad +6X_1^2X_2^2X_3^2\\
&= X_1^4X_2X_3+X_1X_2^4X_3+X_1X_2X_3^4 \\
&\quad +3X_1^3X_2^2X_3+3X_1^3X_2X_3^2+3X_1^2X_2^3X_3+3X_1^2X_2X_3^3+3X_1X_2^3X_3^2+3X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad +6X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Vous multipliez par $4$ :
\begin{align*}
4\sigma_1^3\sigma_3 &= 4X_1^4X_2X_3+4X_1X_2^4X_3+4X_1X_2X_3^4 \\
&\quad +12X_1^3X_2^2X_3+12X_1^3X_2X_3^2+12X_1^2X_2^3X_3+12X_1^2X_2X_3^3+12X_1X_2^3X_3^2+12X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad +24X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Vous déduisez ainsi :
\begin{align*}
\Delta - \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 &= -4X_1^3X_2^3-4X_1^3X_3^3-4X_2^3X_3^3\\
&\quad +6X_1^3X_2^2X_3+6X_1^3X_2X_3^2+6X_1^2X_2^3X_3+6X_1^2X_2X_3^3+6X_1X_2^3X_3^2+6X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad +3X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Traitez l’exposant $(3,3,0)$ et ses permutés
Pour éliminer $-4X_1^3X_2^3-4X_1^3X_3^3-4X_2^3X_3^3$ il convient de calculer $\sigma_2^3.$
Tout d’abord :
\begin{align*}
\sigma_2^2&=(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)^2\\
&=X_1^2X_2^2+X_1^2X_3^2+X_2^2X_3^2\\
&\quad + 2X_1^2X_2X_3+2X_1X_2^2X_3+2X_1X_2X_3^2.
\end{align*}Puis :
\begin{align*}
\sigma_2^3 &= \sigma_2^2\times \sigma_2\\
&= (X_1^2X_2^2+X_1^2X_3^2+X_2^2X_3^2)(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)\\
&\quad + (2X_1^2X_2X_3+2X_1X_2^2X_3+2X_1X_2X_3^2)(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)\\
&= X_1^3X_2^3+X_1^3X_2X_3^2+X_1X_2^3X_3^2\\
&\quad + X_1^3X_2^2X_3+X_1^3X_3^3+X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad +X_1^2X_2^3X_3+X_1^2X_2X_3^3+X_2^3X_3^3\\
&\quad +2X_1^3X_2^2X_3+2X_1^2X_2^3X_3+2X_1^2X_2^2X_3^2\\
&\quad +2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1^2X_2X_3^3\\
&\quad +2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1X_2^3X_3^2+2X_1X_2^2X_3^3\\
&=X_1^3X_2^3+X_1^3X_3^3+X_2^3X_3^3\\
&\quad +3X_1^3X_2^2X_3+3X_1^3X_2X_3^2+3X_1^2X_2^3X_3+3X_1^2X_2X_3^3+3X_1X_2^3X_3^2+3X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad +6X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Vous multipliez par $4$ :
\begin{align*}
4\sigma_2^3 &=4X_1^3X_2^3+4X_1^3X_3^3+4X_2^3X_3^3\\
&\quad +12X_1^3X_2^2X_3+12X_1^3X_2X_3^2+12X_1^2X_2^3X_3+12X_1^2X_2X_3^3+12X_1X_2^3X_3^2+12X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad +24X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Et vous déduisez :
\begin{align*}
\Delta - \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 +4\sigma_2^3&= 18X_1^3X_2^2X_3+18X_1^3X_2X_3^2+18X_1^2X_2^3X_3+18X_1^2X_2X_3^3+18X_1X_2^3X_3^2+18X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad +27X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Traitez l’exposant $(3,2,1)$ et ses permutés
Pour éliminer $18X_1^3X_2^2X_3+18X_1^3X_2X_3^2+18X_1^2X_2^3X_3+18X_1^2X_2X_3^3+18X_1X_2^3X_3^2+18X_1X_2^2X_3^3$ il convient de calculer $\sigma_1\sigma_2\sigma_3$ puisque $X_1^3X_2^2X_3 = X_1(X_1X_2)(X_1X_2X_3).$
Le produit $\sigma_1\sigma_2$ a déjà été calculé plus haut :
\begin{align*}
\sigma_1\sigma_2 &=X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2\\
&\quad + 3X_1X_2X_3.
\end{align*}Du coup :
\begin{align*}
\sigma_1\sigma_2\sigma_3 &=(X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2)(X_1X_2X_3)\\
&\quad + 3X_1^2X_2^2X_3^2 \\
&= X_1^3X_2^2X_3+X_1^3X_2X_3^2+X_1^2X_2^3X_3+X_1^2X_2X_3^3+X_1X_2^3X_3^2+X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad + 3X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Vous multipliez par $18$ :
\begin{align*}
18\sigma_1\sigma_2\sigma_3 &= 18X_1^3X_2^2X_3+18X_1^3X_2X_3^2+18X_1^2X_2^3X_3+18X_1^2X_2X_3^3+18X_1X_2^3X_3^2+18X_1X_2^2X_3^3\\
&\quad + 54X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Il vient :
\begin{align*}
\Delta - \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 +4\sigma_2^3 - 18\sigma_1\sigma_2\sigma_3&= -27X_1^2X_2^2X_3^2.
\end{align*}Concluez
D’après le dernier résultat obtenu, vous avez :
\begin{align*}
\Delta - \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 +4\sigma_2^3 - 18\sigma_1\sigma_2\sigma_3&= -27\sigma_3^2.
\end{align*}Vous avez ainsi obtenu l’expression du discriminant universel d’ordre $3$ en fonction des polynômes symétriques élémentaires :
\boxed{\Delta = \sigma_1^2\sigma_2^2-4\sigma_1^3\sigma_3 -4\sigma_2^3 + 18\sigma_1\sigma_2\sigma_3 -27\sigma_3^2.}Partagez !
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