École AVOSZ

Connectez-vous

264. Déterminez la valeur du discriminant universel d’ordre 3

Yannis TRIANTAPHYLIDES

,

Dans ce contenu vous travaillez dans l’anneau des polynômes à $3$ indéterminées à coefficients dans $\Z$ qui sera noté $\Z[X_1,X_2,X_3].$

Par définition, le discriminant universel d’ordre $3$ est défini par :

\boxed{\Delta = (X_1-X_2)^2(X_1-X_3)^2(X_2-X_3)^2.}

Les carrés sont pris pour obtenir une invariance de $\Delta$ par toute permutation des indéterminées.

Ainsi, vous savez d’après le théorème sur les polynômes symétriques que $\Delta$ s’écrit comme un polynôme en fonction des polynômes symétriques élémentaires $\sigma_1\comma$ $\sigma_2$ et $\sigma_3$ définis par :

\boxed{ \begin{align*} \sigma_1 &= X_1+X_2+X_3 \\ \sigma_2 &= X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3 \\ \sigma_3 &= X_1X_2X_3. \end{align*} }

L’objectif est ici de déterminer un tel polynôme.

Développez le discriminant $\Delta$

Vous développez d’abord le polynôme $R$ défini par $R = (X_1-X_2)(X_1-X_3)(X_2-X_3)$ en prenant soin d’utiliser l’ordre lexicographique sur les puissances respectives des trois indéterminées :

\begin{align*} R &= \left[(X_1-X_2)(X_1-X_3)\right](X_2-X_3) \\ &= (X_1^2-X_1X_3-X_1X_2+X_2X_3)(X_2-X_3)\\ &= (X_1^2-X_1X_2-X_1X_3+X_2X_3)(X_2-X_3)\\ &= X_1^2X_2-X_1X_2^2-X_1X_2X_3+X_2^2X_3\\ &\quad -X_1^2X_3+X_1X_2X_3+X_1X_3^2-X_2X_3^2\\ &= X_1^2X_2-X_1^2X_3-X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3 -X_2X_3^2. \end{align*}

En mettant le tout au carré, vous obtenez, en ordonnant les exposants $(4,2,0)\comma$ $(4,1,1)\comma$ $(3,3,0)\comma$ $(3,2,1)\comma$ $(2,2,2)$ avec leurs permutés :

\begin{align*} \Delta &= R^2 \\ &= ( X_1^2X_2-X_1^2X_3-X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3 -X_2X_3^2) ^2 \\ &=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2 +X_2^2X_3^4\\ &\quad -2X_1^4X_2X_3-2X_1^3X_2^3+2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^3X_3-2X_1^2X_2^2X_3^2\\ &\quad +2X_1^3X_2^2X_3-2X_1^3X_3^3-2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1^2X_2X_3^3\\ &\quad -2X_1^2X_2^2X_3^2-2X_1X_2^4X_3+2X_1X_2^3X_3^2\\ &\quad +2X_1X_2^2X_3^3-2X_1X_2X_3^4\\ &\quad -2X_2^3X_3^3\\ &=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2 +X_2^2X_3^4\\ &\quad -2X_1^4X_2X_3-2X_1X_2^4X_3-2X_1X_2X_3^4\\ &\quad -2X_1^3X_2^3-2X_1^3X_3^3-2X_2^3X_3^3\\ &\quad +2X_1^3X_2^2X_3+2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^3X_3+2X_1^2X_2X_3^3+2X_1X_2^3X_3^2+2X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad -6X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Traitez l’exposant $(4,2,0)$ et ses permutés

Pour éliminer la somme :

X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2 +X_2^2X_3^4

vous remarquez que $X_1^4X_2^2 = X_1^2(X_1X_2)^2.$ Il convient de développer $\sigma_1^2\sigma_2^2.$ Vous commencez par le développement du produit suivant :

\begin{align*} \sigma_1\sigma_2 &= (X_1+X_2+X_3)(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)\\ &=X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2X_3\\ &\quad +X_1X_2^2+X_1X_2X_3+X_2^2X_3\\ &\quad +X_1X_2X_3+X_1X_3^2+X_2X_3^2\\ &=X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2\\ &\quad + 3X_1X_2X_3. \end{align*}

Puis vous mettez le tout au carré :

\begin{align*} \sigma_1^2\sigma_2^2 &= (\sigma_1\sigma_2)^2 \\ &= (X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2 + 3X_1X_2X_3)^2\\ &=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2+X_2^2X_3^4+ 9X_1^2X_2^2X_3^2\\ &\quad +2X_1^4X_2X_3+2X_1^3X_2^3+2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^3X_3+2X_1^2X_2^2X_3^2+6X_1^3X_2^2X_3\\ &\quad +2X_1^3X_2^2X_3+2X_1^3X_3^3+2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1^2X_2X_3^3+6X_1^3X_2X_3^2\\ &\quad +2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1X_2^4X_3+2X_1X_2^3X_3^2+6X_1^2X_2^3X_3\\ &\quad +2X_1X_2^2X_3^3+2X_1X_2X_3^4+6X_1^2X_2X_3^3\\ &\quad +2X_2^3X_3^3+6X_1X_2^3X_3^2\\ &\quad +6X_1X_2^2X_3^3\\ &=X_1^4X_2^2+X_1^4X_3^2+X_1^2X_2^4+X_1^2X_3^4+X_2^4X_3^2+X_2^2X_3^4\\ &\quad +2X_1^4X_2X_3+2X_1X_2^4X_3+2X_1X_2X_3^4\\ &\quad +2X_1^3X_2^3+2X_1^3X_3^3+2X_2^3X_3^3\\ &\quad +8X_1^3X_2^2X_3+8X_1^3X_2X_3^2 +8X_1^2X_2^3X_3+8X_1^2X_2X_3^3+8X_1X_2^3X_3^2+8X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad+ 15X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Par soustraction avec l’expression développée de $\Delta\comma$ il vient :

\begin{align*} \Delta – \sigma_1^2\sigma_2^2&= -4X_1^4X_2X_3-4X_1X_2^4X_3-4X_1X_2X_3^4\\ &\quad -4X_1^3X_2^3-4X_1^3X_3^3-4X_2^3X_3^3\\ &\quad -6X_1^3X_2^2X_3-6X_1^3X_2X_3^2-6X_1^2X_2^3X_3-6X_1^2X_2X_3^3-6X_1X_2^3X_3^2-6X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad -21X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Traitez l’exposant $(4,1,1)$ et ses permutés

Pour éliminer les trois permutés :

-4X_1^4X_2X_3-4X_1X_2^4X_3-4X_1X_2X_3^4

il convient de remarquer que $X_1^4X_2X_3 = X_1^3(X_1X_2X_3).$ Vous effectuez le développement de $\sigma_1^3\sigma_3.$

Tout d’abord :

\begin{align*} \sigma_1^2 &= (X_1+X_2+X_3)^2\\ &=X_1^2+X_2^2+X_3^2+2X_1X_2+2X_1X_3+2X_2X_3. \end{align*}

Ensuite :

\begin{align*} \sigma_1^3 &= \sigma_1^2\times \sigma_1\\ &=(X_1^2+X_2^2+X_3^2+2X_1X_2+2X_1X_3+2X_2X_3)(X_1+X_2+X_3)\\ &=X_1^3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+2X_1^2X_2+2X_1^2X_3+2X_1X_2X_3\\ &\quad + X_1^2X_2+X_2^3+X_2X_3^2+2X_1X_2^2+2X_1X_2X_3+2X_2^2X_3\\ &\quad + X_1^2X_3+X_2^2X_3+X_3^3+2X_1X_2X_3+2X_1X_3^2+2X_2X_3^2 \\ &= X_1^3+X_2^3+X_3^3\\ &\quad +3X_1^2X_2+3X_1^2X_3+3X_1X_2^2+3X_1X_3^2+3X_2^2X_3+3X_2X_3^2\\ &\quad +6X_1X_2X_3. \end{align*}

Du coup :

\begin{align*} \sigma_1^3\sigma_3 &= (X_1^3+X_2^3+X_3^3)(X_1X_2X_3)\\ &\quad +(3X_1^2X_2+3X_1^2X_3+3X_1X_2^2+3X_1X_3^2+3X_2^2X_3+3X_2X_3^2)(X_1X_2X_3)\\ &\quad +6X_1^2X_2^2X_3^2\\ &= X_1^4X_2X_3+X_1X_2^4X_3+X_1X_2X_3^4 \\ &\quad +3X_1^3X_2^2X_3+3X_1^3X_2X_3^2+3X_1^2X_2^3X_3+3X_1^2X_2X_3^3+3X_1X_2^3X_3^2+3X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad +6X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Vous multipliez par $4$ :

\begin{align*} 4\sigma_1^3\sigma_3 &= 4X_1^4X_2X_3+4X_1X_2^4X_3+4X_1X_2X_3^4 \\ &\quad +12X_1^3X_2^2X_3+12X_1^3X_2X_3^2+12X_1^2X_2^3X_3+12X_1^2X_2X_3^3+12X_1X_2^3X_3^2+12X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad +24X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Vous déduisez ainsi :

\begin{align*} \Delta – \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 &= -4X_1^3X_2^3-4X_1^3X_3^3-4X_2^3X_3^3\\ &\quad +6X_1^3X_2^2X_3+6X_1^3X_2X_3^2+6X_1^2X_2^3X_3+6X_1^2X_2X_3^3+6X_1X_2^3X_3^2+6X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad +3X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Traitez l’exposant $(3,3,0)$ et ses permutés

Pour éliminer $-4X_1^3X_2^3-4X_1^3X_3^3-4X_2^3X_3^3$ il convient de calculer $\sigma_2^3.$

Tout d’abord :

\begin{align*} \sigma_2^2&=(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)^2\\ &=X_1^2X_2^2+X_1^2X_3^2+X_2^2X_3^2\\ &\quad + 2X_1^2X_2X_3+2X_1X_2^2X_3+2X_1X_2X_3^2. \end{align*}

Puis :

\begin{align*} \sigma_2^3 &= \sigma_2^2\times \sigma_2\\ &= (X_1^2X_2^2+X_1^2X_3^2+X_2^2X_3^2)(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)\\ &\quad + (2X_1^2X_2X_3+2X_1X_2^2X_3+2X_1X_2X_3^2)(X_1X_2+X_1X_3+X_2X_3)\\ &= X_1^3X_2^3+X_1^3X_2X_3^2+X_1X_2^3X_3^2\\ &\quad + X_1^3X_2^2X_3+X_1^3X_3^3+X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad +X_1^2X_2^3X_3+X_1^2X_2X_3^3+X_2^3X_3^3\\ &\quad +2X_1^3X_2^2X_3+2X_1^2X_2^3X_3+2X_1^2X_2^2X_3^2\\ &\quad +2X_1^3X_2X_3^2+2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1^2X_2X_3^3\\ &\quad +2X_1^2X_2^2X_3^2+2X_1X_2^3X_3^2+2X_1X_2^2X_3^3\\ &=X_1^3X_2^3+X_1^3X_3^3+X_2^3X_3^3\\ &\quad +3X_1^3X_2^2X_3+3X_1^3X_2X_3^2+3X_1^2X_2^3X_3+3X_1^2X_2X_3^3+3X_1X_2^3X_3^2+3X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad +6X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Vous multipliez par $4$ :

\begin{align*} 4\sigma_2^3 &=4X_1^3X_2^3+4X_1^3X_3^3+4X_2^3X_3^3\\ &\quad +12X_1^3X_2^2X_3+12X_1^3X_2X_3^2+12X_1^2X_2^3X_3+12X_1^2X_2X_3^3+12X_1X_2^3X_3^2+12X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad +24X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Et vous déduisez :

\begin{align*} \Delta – \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 +4\sigma_2^3&= 18X_1^3X_2^2X_3+18X_1^3X_2X_3^2+18X_1^2X_2^3X_3+18X_1^2X_2X_3^3+18X_1X_2^3X_3^2+18X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad +27X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Traitez l’exposant $(3,2,1)$ et ses permutés

Pour éliminer $18X_1^3X_2^2X_3+18X_1^3X_2X_3^2+18X_1^2X_2^3X_3+18X_1^2X_2X_3^3+18X_1X_2^3X_3^2+18X_1X_2^2X_3^3$ il convient de calculer $\sigma_1\sigma_2\sigma_3$ puisque $X_1^3X_2^2X_3 = X_1(X_1X_2)(X_1X_2X_3).$

Le produit $\sigma_1\sigma_2$ a déjà été calculé plus haut :

\begin{align*} \sigma_1\sigma_2 &=X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2\\ &\quad + 3X_1X_2X_3. \end{align*}

Du coup :

\begin{align*} \sigma_1\sigma_2\sigma_3 &=(X_1^2X_2+X_1^2X_3+X_1X_2^2+X_1X_3^2+X_2^2X_3+X_2X_3^2)(X_1X_2X_3)\\ &\quad + 3X_1^2X_2^2X_3^2 \\ &= X_1^3X_2^2X_3+X_1^3X_2X_3^2+X_1^2X_2^3X_3+X_1^2X_2X_3^3+X_1X_2^3X_3^2+X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad + 3X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Vous multipliez par $18$ :

\begin{align*} 18\sigma_1\sigma_2\sigma_3 &= 18X_1^3X_2^2X_3+18X_1^3X_2X_3^2+18X_1^2X_2^3X_3+18X_1^2X_2X_3^3+18X_1X_2^3X_3^2+18X_1X_2^2X_3^3\\ &\quad + 54X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Il vient :

\begin{align*} \Delta – \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 +4\sigma_2^3 – 18\sigma_1\sigma_2\sigma_3&= -27X_1^2X_2^2X_3^2. \end{align*}

Concluez

D’après le dernier résultat obtenu, vous avez :

\begin{align*} \Delta – \sigma_1^2\sigma_2^2+4\sigma_1^3\sigma_3 +4\sigma_2^3 – 18\sigma_1\sigma_2\sigma_3&= -27\sigma_3^2. \end{align*}

Vous avez ainsi obtenu l’expression du discriminant universel d’ordre $3$ en fonction des polynômes symétriques élémentaires :

\boxed{\Delta = \sigma_1^2\sigma_2^2-4\sigma_1^3\sigma_3 -4\sigma_2^3 + 18\sigma_1\sigma_2\sigma_3 -27\sigma_3^2.}