Considérez le nombre réel $\boxed{\alpha = \sqrt{2}+\sqrt[3]{7}.}$ Le but de ce contenu est de construire un polynôme à coefficients entiers qui admette $\alpha$ pour racine.
Formez deux polynômes annulateurs
Vous posez $\boxed{u = \sqrt{2}}$ de sorte que $u^2 = 2$ donc $u^2-2 = 0.$
Le nombre $u$ est annulé par le polynôme $P = X^2-2\in\Z[X].$
Ensuite, vous posez $\boxed{v = \sqrt[3]{7}.}$ Alors $v^3 = 7$ et $v^3-7 = 0.$
Donc le nombre $v$ est annulé par le polynôme $Q = X^3-7\in\Z[X].$
À partir de ces deux polynômes annulateurs, l’un annulant $u$ et l’autre annulant $v\comma$ il est possible de construire explicitement un polynôme appartenant à $\Z[X]$ qui annule la somme $u+v = \alpha.$
Tout part du fait que $v = \alpha – u\comma$ de sorte que le nombre $v$ est éliminé :
\begin{align*}
P(u) &= 0\\
Q(\alpha – u) &= 0.
\end{align*}
Il va maintenant falloir éliminer le réel $u.$
Formez une matrice rectangulaire
La relation $P(u)=0$ s’écrit matriciellement :
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=0.
La relation $Q(\alpha-u)=0$ s’écrit en développant :
\begin{align*}
(\alpha-u)^3-7 &= 0\\
\alpha^3-3u\alpha^2+3u^2\alpha-u^3-7&=0\\
-u^3+3\alpha u^2-3\alpha^2u+(\alpha^3-7)&=0.
\end{align*}
Matriciellement vous obtenez :
\begin{pmatrix}
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^3\\
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=0.
Vous déduisez de ce qui précède :
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & -2 \\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^3\\
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}.
Le vecteur $\begin{pmatrix} u^3 \\ u^2 \\ u \\ 1 \end{pmatrix}$ est non nul, ce qui est une bonne chose, mais la matrice suivante :
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & -2 \\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}
n’est pas carrée.
Dans ce qui suit, vous allez rajouter des équations supplémentaires, afin d’obtenir une matrice carrée.
Construisez un déterminant, appelé résultant
Multipliez la relation $u^2-2 = 0$ par $u\comma$ vous obtenez :
u^3-2u = 0.
Matriciellement, les deux équations fournissent :
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^3\\
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix}.
Du coup :
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2\\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^3\\
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
La matrice obtenue n’est toujours pas carrée.
Poursuivez le processus
Ajoutant $u^4\comma$ vous obtenez :
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & -2\\
0 & -1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^4\\
u^3\\
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
La relation $-u^3+3\alpha u^2-3\alpha^2u+(\alpha^3-7)=0\comma$ multipliée aussi par $u\comma$ fournit :
-u^4+3\alpha u^3-3\alpha^2u^2+(\alpha^3-7)u=0.
Ainsi :
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & -2\\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7 & 0\\
0 & -1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^4\\
u^3\\
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
La relation $u^3-2u = 0\comma$ après multiplication par $u\comma$ fournit :
u^4-2u^2 = 0.
Pour récapituler, vous avez obtenu :
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & -2\\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7 & 0\\
0 & -1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u^4\\
u^3\\
u^2 \\
u \\
1
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}.
Notez alors :
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & -2\\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7 & 0\\
0 & -1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{pmatrix}.
En notant $C_1\comma$ $C_2\comma$ $C_3\comma$ $C_4$ et $C_5$ les colonnes de $A$ de la gauche vers la droite, il apparaît que :
u^4C_1+u^3C_2+u^2C_3+uC_4+C_5 = 0.
Du coup :
C_5 = -u^4C_1-u^3C_2-u^2C_3-uC_4.
Une des colonnes de la matrice $A$ est une combinaison linéaire des quatre autres, par conséquent le déterminant de $A$ est nul, ce qui s’écrit :
\boxed{\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & -2\\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7 & 0\\
0 & -1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{vmatrix}= 0.}
Note. Par définition, le déterminant ci-dessus est appelé résultant des polynômes $X^2-2$ et $-X^3+3\alpha X^2-3\alpha^2X+(\alpha^3-7).$ Il s’agit du résultant des polynômes $P(X)$ et $Q(\alpha-X).$
Déterminez un polynôme annulateur de $\alpha$
Le développement du déterminant trouvé va donner le résultat.
Effectuez l’opération élémentaire $L_4\leftarrow L_4 + L_1\comma$ vous obtenez :
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & -2\\
0 & 3\alpha & -3\alpha^2 -2 & \alpha^3-7 & 0\\
0 & -1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{vmatrix}=0.
Le développement de ce déterminant par rapport à la première colonne fournit :
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2\\
3\alpha & -3\alpha^2 -2 & \alpha^3-7 & 0\\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{vmatrix}=0.
Vous effectuez l’opération élémentaire $L_3 \leftarrow L_3-3\alpha L_1\comma$ vous avez :
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2\\
0 & -3\alpha^2 -2 & \alpha^3+6\alpha-7 & 0\\
-1 & 3\alpha & -3\alpha^2 & \alpha^3-7
\end{vmatrix}=0.
Vous effectuez l’opération élémentaire $L_4 \leftarrow L_4+L_1\comma$ vous obtenez :
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0 & -2\\
0 & -3\alpha^2 -2 & \alpha^3+6\alpha-7 & 0\\
0 & 3\alpha & -3\alpha^2 -2& \alpha^3-7
\end{vmatrix}=0.
Du coup :
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2\\
-3\alpha^2 -2 & \alpha^3+6\alpha-7 & 0\\
3\alpha & -3\alpha^2 -2& \alpha^3-7
\end{vmatrix}=0.
Vous effectuez l’opération élémentaire $L_3 \leftarrow L_3-3\alpha L_1\comma$ vous avez :
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2\\
-3\alpha^2 -2 & \alpha^3+6\alpha-7 & 0\\
0 & -3\alpha^2 -2& \alpha^3+6\alpha-7
\end{vmatrix}=0.
Vous effectuez l’opération élémentaire $L_2 \leftarrow L_2+(3\alpha^2+2) L_1\comma$ vous avez :
\begin{vmatrix}
1 & 0 & -2\\
0 & \alpha^3+6\alpha-7 & -6\alpha^2-4\\
0 & -3\alpha^2 -2& \alpha^3+6\alpha-7
\end{vmatrix}=0.
Ainsi :
\begin{vmatrix}
\alpha^3+6\alpha-7 & -2(3\alpha^2+2)\\
-(3\alpha^2 +2)& \alpha^3+6\alpha-7
\end{vmatrix}=0.
En définitive :
\begin{align*}
(\alpha^3+6\alpha-7)^2-2(3\alpha^2+2)^2&=0\\
\alpha^6+36\alpha^2+49+12\alpha^4-14\alpha^3-84\alpha-2(9\alpha^4+4+12\alpha^2) &= 0\\
\alpha^6+36\alpha^2+49+12\alpha^4-14\alpha^3-84\alpha-18\alpha^4-8-24\alpha^2&= 0\\
\alpha^6-6\alpha^4 -14\alpha^3+12\alpha^2-84\alpha+41&= 0.
\end{align*}
Concluez
Le réel $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt[3]{7}$ est annulé par le polynôme $\boxed{X^6-6X^4-14X^3+12X^2-84X+41\in\Z[X].}$
