Pour fixer les idées, considérez deux polynômes unitaires $P$ et $Q$ à coefficients dans un corps $\K$, l’un étant de degré $2$, l’autre de degré $3.$ Il existe $(a,b,u,v,w)\in\K^5$ tel que :
\begin{align*}
P(X) &= X^2+aX+b\\
Q(X) &= X^3+uX^2+vX+w.
\end{align*}En utilisant la notion de corps de rupture, qui ne sera pas détaillée ici, vous déduisez l’existence d’une extension $\L$ du corps $\K$ dans laquelle les polynômes $P$ et $Q$ sont scindés.
Il existe $(x_1,x_2,y_1,y_2,y_3)\in\L^5$ tel que :
\begin{align*}
P(X) &= (X-x_1)(X-x_2)\\
Q(X) &= (X-y_1)(X-y_2)(X-y_3).
\end{align*}Vous appelez alors résultant de $P$ suivi de $Q$ le nombre suivant :
\mathrm{Res}(P,Q)=(x_1-y_1)(x_1-y_2)(x_1-y_3)(x_2-y_1)(x_2-y_2)(x_2-y_3).Le résultant est nul, si et seulement si, il existe $i\in\llbracket 1,2 \rrbracket$ et il existe $j\in\llbracket 1,3 \rrbracket$ tels que $x_i-y_j=0.$
Autrement dit, le résultant est nul, si et seulement si, $P$ et $Q$ ont une racine commune.
Ce qui est remarquable, c’est que le nombre $\mathrm{Res}(P,Q)$ qui a priori appartient au corps $\L$, appartient aussi au corps de base $\K.$ C’est ce que vous allez démontrer dans la suite.
Formez une expression du résultant comme un produit de valeurs prises par un polynôme
Comme :
\begin{align*}
(x_1-y_1)(x_1-y_2)(x_1-y_3) &= Q(x_1) \\
(x_2-y_1)(x_2-y_2)(x_2-y_3) &= Q(x_2) \\
\end{align*}il vient, par produit :
\boxed{\mathrm{Res}(P,Q) = Q(x_1)Q(x_2).}Utilisez les fonctions symétriques élémentaires
Tout d’abord, vous développez :
\begin{align*}
\mathrm{Res}(P,Q) &= Q(x_1)Q(x_2)\\
&= (x_1^3+ux_1^2+vx_1+w)(x_2^3+ux_2^2+vx_2+w)\\
&= x_1^3x_2^3+ux_1^3x_2^2+vx_1^3x_2+wx_1^3\\
&\quad + ux_1^2x_2^3+u^2x_1^2x_2^2+uvx_1^2x_2+uwx_1^2\\
&\quad + vx_1x_2^3+uvx_1x_2^2+v^2x_1x_2+vwx_1\\
&\quad + wx_2^3+uwx_2^2+vwx_2+w^2\\
&= x_1^3x_2^3 \\
&\quad + ux_1^3x_2^2+ux_1^2x_2^3\\
&\quad + vx_1^3x_2+vx_1x_2^3\\
&\quad +wx_1^3+wx_2^3\\
&\quad +u^2x_1^2x_2^2\\
&\quad +uvx_1^2x_2+uvx_1x_2^2\\
&\quad +uw x_1^2+uwx_2^2\\
&\quad +v^2x_1x_2\\
&\quad +vwx_1+vwx_2\\
&\quad +w^2.
\end{align*}Les fonctions symétriques élémentaires sont données par :
\begin{align*}
\sigma_1 &= x_1+x_2\\
\sigma_2 &=x_1x_2.
\end{align*}Vous écrivez le résultant sous cette forme :
\begin{align*}
\mathrm{Res}(P,Q) &= (x_1x_2)^3 \\
&\quad + u(x_1^3x_2^2+x_1^2x_2^3)\\
&\quad + v(x_1^3x_2+x_1x_2^3)\\
&\quad +w(x_1^3+x_2^3)\\
&\quad +u^2(x_1x_2)^2\\
&\quad +uv(x_1^2x_2+x_1x_2^2)\\
&\quad +uw (x_1^2+x_2^2)\\
&\quad +v^2x_1x_2\\
&\quad +vw(x_1+x_2)\\
&\quad +w^2 \\
&= \sigma_2^3 \\
&\quad + u(x_1+x_2)(x_1x_2)^2\\
&\quad + vx_1x_2(x_1^2+x_2^2)\\
&\quad +w(x_1^3+x_2^3)\\
&\quad +u^2\sigma_2^2\\
&\quad +uvx_1x_2(x_1+x_2)\\
&\quad +uw (x_1^2+x_2^2)\\
&\quad +v^2\sigma_2\\
&\quad +vw\sigma_1\\
&\quad +w^2\\
&= \sigma_2^3 + u\sigma_1\sigma_2^2+ v\sigma_2(x_1^2+x_2^2) +w(x_1^3+x_2^3)\\
&\quad +u^2\sigma_2^2 +uv\sigma_1\sigma_2 +uw (x_1^2+x_2^2) +v^2\sigma_2 +vw\sigma_1+w^2.
\end{align*}Il reste à calculer les sommes de Newton suivantes : $x_1^2+x_2^2$ et $x_1^3+x_2^3.$
Commencez d’abord par le deuxième degré :
\begin{align*}
x_1^2+x_2^2 -\sigma_1^2 &= x_1^2+x_2^2 -(x_1+x_2)^2\\
&= x_1^2+x_2^2 -(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2)\\
&=-2x_1x_2\\
&=-2\sigma_2.
\end{align*}Vous gardez le fait que :
x_1^2+x_2^2=\sigma_1^2-2\sigma_2.
Passez maintenant au troisième degré :
\begin{align*}
x_1^3+x_2^3 -\sigma_1^3 &= x_1^3+x_2^3 -(x_1+x_2)^3\\
&= x_1^2+x_2^2 -(x_1^3+x_2^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2)\\
&=-3x_1x_2(x_1+x_2)\\
&=-3\sigma_1\sigma_2.
\end{align*}Ainsi :
x_1^3+x_2^3=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2.
Revenez au calcul du résultant :
\begin{align*}
\mathrm{Res}(P,Q) &= \sigma_2^3 + u\sigma_1\sigma_2^2+ v\sigma_2(x_1^2+x_2^2) +w(x_1^3+x_2^3)\\
&\quad +u^2\sigma_2^2 +uv\sigma_1\sigma_2 +uw (x_1^2+x_2^2) +v^2\sigma_2 +vw\sigma_1+w^2\\
&= \sigma_2^3 + u\sigma_1\sigma_2^2+ v\sigma_2(\sigma_1^2-2\sigma_2) +w(\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2)\\
&\quad +u^2\sigma_2^2 +uv\sigma_1\sigma_2 +uw (\sigma_1^2-2\sigma_2) +v^2\sigma_2 +vw\sigma_1+w^2.
\end{align*}Exprimez $\sigma_1$ et $\sigma_2$ en fonction des coefficients
En développant le polynôme $P$, il vient :
\begin{align*}
P(X) &= (X-x_1)(X-x_2)\\
&=X^2-(x_1+x_2)X+x_1x_2\\
&=X^2-\sigma_1X+\sigma_2.
\end{align*}Or :
P(X)=X^2+aX+b.
Par identification des coefficients, vous obtenez :
\begin{align*}
\sigma_1 &=-a\\
\sigma_2 &=b.
\end{align*}Obtenez l’expression finale du résultant
\begin{align*}
\mathrm{Res}(P,Q) &= \sigma_2^3 + u\sigma_1\sigma_2^2+ v\sigma_2(\sigma_1^2-2\sigma_2) +w(\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2)\\
&\quad +u^2\sigma_2^2 +uv\sigma_1\sigma_2 +uw (\sigma_1^2-2\sigma_2) +v^2\sigma_2 +vw\sigma_1+w^2 \\
&= b^3 - uab^2+ vb(a^2-2b) +w(-a^3+3ab)\\
&\quad +u^2b^2 -uvab +uw (a^2-2b) +v^2b -vwa+w^2\\
&= b^3 - uab^2+ vba^2-2vb^2 -wa^3+3abw+u^2b^2 -uvab +uw a^2-2uwb +v^2b -vwa+w^2.
\end{align*}Et enfin :
\boxed{\mathrm{Res}(P,Q)=-a^3w+ a^2bv+ a^2uw -ab^2u-abuv+3abw-avw+ b^3+b^2u^2-2b^2v-2buw +bv^2+w^2.}Partagez !
Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !