272. Effectuer une opération élémentaire de permutation sur les lignes d’une matrice revient à la multiplier à gauche par une matrice élémentaire de permutation (1/3)

Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à $2$ et $p$ un nombre entier supérieur ou égal à $1.$

Vous désignez par $A$ une matrice rectangulaire qui possède $n$ lignes et $p$ colonnes, à coefficients dans un corps $\K.$

Il sera commode de noter $I$ la matrice identité d’ordre $n$ à coefficients dans $\K.$

Il existe ainsi $(a_{ij})_{ \substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} }$ tel que :

\left\{ \begin{array}{ll} \forall i\in \llbracket1, n\rrbracket, \forall j\in \llbracket1, p\rrbracket, a_{ij}\in\K\\ A = (a_{ij})_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} }. \end{array}\right.

Décomposez la matrice $A$

Quels que soient les entiers $i\in \llbracket1, n\rrbracket$ et $j\in \llbracket1, p\rrbracket\comma$ notez $E_{ij}$ la matrice rectangulaire comportant $n$ lignes et $p$ colonnes, dont toutes les lignes sont nulles excepté la ligne numéro $i.$ La ligne numéro $i$ ne comporte que des zéros sauf à la colonne numéro $j$ où elle est égale à $1\comma$ le neutre de $\K$ pour la multiplication.

Autrement dit, $E_{ij}$ ne comporte que des zéros, sauf à la ligne $i$ et à la colonne $j$ où son coefficient vaut $1.$

De ce qui précède, la matrice $A$ s’écrit ainsi :

A = \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij}.

Les matrices $F_{k \ell}$

Quels que soient les entiers $k\in \llbracket1, n\rrbracket$ et $\ell \in \llbracket1, n\rrbracket\comma$ notez $F_{k \ell}$ la matrice carrée comportant $n$ lignes et $n$ colonnes, dont toutes les lignes sont nulles excepté la ligne numéro $k.$ La ligne numéro $k$ ne comporte que des zéros sauf à la colonne numéro $\ell$ où elle est égale à $1\comma$ le neutre de $\K$ pour la multiplication.

Autrement dit, $F_{k \ell}$ ne comporte que des zéros, sauf à la ligne $k$ et à la colonne $\ell$ où son coefficient vaut $1.$

Multiplication à gauche d’une matrice $E_{ij}$ par une matrice $F_{k \ell}$

Vous êtes amené à vérifier que :

\forall k\in \llbracket 1, n\rrbracket, \forall \ell\in \llbracket 1, n\rrbracket, \forall i\in \llbracket 1, n\rrbracket, \forall j\in \llbracket 1, p\rrbracket, \left\{\begin{array}{ll} F_{k \ell} E_{ij} = E_{kj} &\text{ si } \ell=i\\ F_{k \ell} E_{ij} =0 &\text{ si } \ell \neq i.\end{array}\\\right.

Effet des matrices élémentaires de premier type, dites de permutation

Soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ de sorte que $k\neq \ell.$

Par définition de la matrice $I\comma$ vous avez :

I = \sum_{m=1}^n F_{mm}.

Vous séparez les lignes $k$ et $\ell$ de la somme, pour obtenir :

I = F_{kk} + F_{\ell\ell} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} F_{mm}.

Vous appelez matrice de permutation $J$ des lignes $k$ et $\ell$ la matrice $I$ qui subit la permutation de la ligne $k$ et de la ligne $\ell.$

Ainsi :

J = F_{k\ell} + F_{\ell k} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} F_{mm}.

Vous allez maintenant montrer que la matrice $JA$ est la matrice $A$ qui subit la permutation de sa ligne $k$ avec sa ligne $\ell.$

\begin{align*} JA &= \left(F_{k\ell} + F_{\ell k} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} F_{mm}\right)\left(\sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij}\right) \\ &= \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{k\ell}E_{ij} + \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{\ell k}E_{ij} + \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p \\ m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} } a_{ij} F_{mm}E_{ij} \\ &= \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{\ell j} F_{k\ell}E_{\ell j} + \sum_{ 1\leq j \leq p } a_{kj} F_{\ell k}E_{kj} + \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p \\ m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} } a_{mj} F_{mm}E_{mj} \\ &= \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{\ell j} E_{k j} + \sum_{ 1\leq j \leq p } a_{kj} E_{\ell j} + \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p \\ m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}} } a_{mj} E_{mj} \\ \end{align*}

Cette dernière expression montre que les coefficients situés à la ligne $k$ de $JA$ sont ceux de la ligne $\ell$ de la matrice $A.$
De même les coefficients situés à la ligne $\ell$ de $JA$ sont ceux de la ligne $k$ de la matrice $A.$
D’autre part, quel que soit $m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k, \ell\}\comma$ les lignes numéro $m$ des matrices $A$ et $JA$ ont les mêmes coefficients.

Concluez

Quels que soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $k\neq \ell\comma$ permuter les lignes $k$ et $\ell$ de la matrice $A$ revient à la multiplier à gauche par une matrice élémentaire de permutation, cette matrice s’obtenant en faisant subir à la matrice identité $I$ la même permutation de lignes.

Visualisez cette propriété sur un exemple

Soit $A$ la matrice définie par :

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.

Comme vous souhaitez multiplier $A$ à gauche, vous formez la matrice identité d’ordre $3$ :

I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Vous permutez les lignes $1$ et $2$ de la matrice $I\comma$ vous obtenez la matrice $J$ suivante :

J=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Effectuez le produit matriciel $JA.$

\begin{align*} JA&=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}. \end{align*}

Vous constatez qu’en permutant les lignes $1$ et $2$ de la matrice $A\comma$ vous obtenez bien $JA.$