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273. Effectuer une opération élémentaire de dilatation sur une ligne d’une matrice revient à la multiplier à gauche par une matrice élémentaire de dilatation (2/3)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Ce contenu utilise les mêmes notations qu’un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 272.

Effet des matrices élémentaires de deuxième type, dites de dilatation

Soient $k$ un élément de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ et $\lambda\in\K^{*}.$

Par définition de la matrice identité $I\comma$ vous avez :

I = \sum_{m=1}^n F_{mm}.

Vous séparez la ligne $k$ du reste de la somme :

I = F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.

Vous appelez matrice de dilatation $J$ de la ligne $k$ par le scalaire $\lambda$ où $\lambda \neq 0\comma$ la matrice $I$ qui subit elle-même la multiplication de la ligne $k$ par le scalaire $\lambda.$

Ainsi :

J = \lambda F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.

Vous allez maintenant montrer que la matrice $JA$ est la matrice $A$ qui subit la multiplication de sa ligne $k$ avec le scalaire $\lambda.$

\begin{align*} JA &= \left( \lambda F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}\right) \left( \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij}\right) \\ &= \lambda \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{kk}E_{ij} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij}F_{mm}E_{ij} \\ &= \lambda \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{kj} F_{kk}E_{kj} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj}F_{mm}E_{mj} \\ &= \lambda \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{kj} E_{kj} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj}E_{mj} \\ &= \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } ( \lambda a_{kj} ) E_{kj} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj}E_{mj}. \end{align*}

Cette dernière expression montre que les coefficients situés à la ligne $k$ de $JA$ sont ceux de la ligne $k$ de la matrice $A$ multipliés par $\lambda.$
D’autre part, quel que soit $m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}\comma$ les lignes numéro $m$ des matrices $A$ et $JA$ comportent les mêmes coefficients.

Concluez

Quel que soit $k$ un élément de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ et quel que soit $\lambda\in\K^{*}\comma$ multiplier la ligne $k$ de la matrice $A$ par $\lambda$ revient à la multiplier à gauche par une matrice élémentaire de dilatation, cette matrice s’obtenant en faisant subir à la matrice identité $I$ la même opération que celle effectuée sur $A.$

Visualisez cette propriété sur un exemple

Soit $A$ la matrice définie par :

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.

Comme vous souhaitez multiplier $A$ à gauche, vous formez la matrice identité d’ordre $3$ :

I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Vous multipliez la ligne $3$ de la matrice $I$ par $-2\comma$ vous obtenez la matrice $J$ suivante :

J=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Effectuez le produit matriciel $JA.$

\begin{align*} JA&=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ -4 & -2 & -2 & -2\end{pmatrix}. \end{align*}

Vous constatez qu’en multipliant la ligne $3$ de la matrice $A$ par $-2\comma$ vous obtenez bien la matrice $JA.$