Cet article utilise les mêmes notations que celles qui se trouvent au sein du contenu que vous trouverez [yanniswp_article_link nb= »272″ desc= »dans l’article 272″].

Effet des matrices élémentaires de deuxième type, dites de dilatation

Soient $k$ un élément de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ et $\lambda\in\K^{*}.$

Par définition de la matrice identité $I$, vous avez :

I = \sum_{m=1}^n F_{mm}.

Vous séparez la ligne $k$ du reste de la somme

I = F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.

On appelle matrice de dilatation $J$ de la ligne $k$ par le scalaire $\lambda$ où $\lambda \neq 0$, la matrice $I$ qui subit elle-même la multiplication de la ligne $k$ par le scalaire $\lambda.$

Ainsi :

J = \lambda F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.

Vous allez maintenant montrer que la matrice $JA$ est la matrice $A$ qui subit la multiplication de sa ligne $k$ avec le scalaire $\lambda.$

\begin{align*}
JA &= \left( \lambda F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}\right) 
\left( \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij}\right) \\
&= \lambda \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} }  a_{ij} F_{kk}E_{ij} 
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} }  a_{ij}F_{mm}E_{ij} \\
&=  \lambda \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} }  a_{kj} F_{kk}E_{kj} 
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} }  a_{mj}F_{mm}E_{mj} \\
&=  \lambda \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} }  a_{kj} E_{kj} 
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} }  a_{mj}E_{mj} \\
&=  \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } ( \lambda a_{kj} ) E_{kj} 
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} }  a_{mj}E_{mj}.
\end{align*}

Cette dernière expression montre que les coefficients situés à la ligne $k$ de $JA$ sont ceux de la ligne $k$ de la matrice $A$ multipliés par $\lambda.$
D’autre part, quel que soit $m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}$ les lignes numéro $m$ des matrices $A$ et $JA$ comportent les mêmes coefficients.

Concluez

Quel que soit $k$ un élément de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ et quel que soit $\lambda\in\K^{*}$ multiplier la ligne $k$ de la matrice $A$ par $\lambda$ revient à la multiplier à gauche par une matrice élémentaire de dilatation, cette matrice s’obtenant en faisant subir à la matrice identité $I$ la même opération que celle effectuée sur $A.$

Visualisez cette propriété sur un exemple

Soit $A$ la matrice définie par :

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1  & 1\end{pmatrix}.

Comme vous souhaitez multiplier $A$ à gauche, vous formez la matrice identité d’ordre $3$ :

I=\begin{pmatrix}1 & 0 &  0 \\
0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Vous multipliez la lignes $3$ de la matrice $I$ par $-2$, vous obtenez la matrice $J$ suivante :

J=\begin{pmatrix}1 & 0 &  0 \\
0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Effectuez le produit matriciel $JA.$

\begin{align*}
JA&=\begin{pmatrix}1 & 0 &  0 \\
0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1  & 1\end{pmatrix}  \\
&=\begin{pmatrix}1 & 1  & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ -4 & -2 & -2 & -2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Vous constatez qu’en multipliant la ligne $3$ de la matrice $A$ par $-2$, vous obtenez bien la matrice $JA.$