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274. Effectuer une opération élémentaire de transvection sur une ligne d’une matrice revient à la multiplier à gauche par une matrice élémentaire de transvection (3/3)

17/07/2020 - 0054

Cet article s’inscrit dans le prolongement du contenu que vous trouverez dans l'article 273 et dans l'article 272.

Effet des matrices élémentaires de troisième type, dites de transvection

Fixez un scalaire $\lambda\in\K$. Soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ de sorte que $k\neq \ell.$

Par définition de la matrice $I$, vous avez :

I = \sum_{m=1}^n F_{mm}.

Vous séparez la ligne de la somme, pour obtenir :

I = F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.

On appelle matrice de transvection $J$ la matrice obtenue à partir de la matrice $I$, pour laquelle vous remplacez la ligne $k$ par la somme de la ligne $k$ et de la ligne $\ell$ multipliée par $\lambda.$ Cette opération est notée : $L_k \leftarrow L_k+\lambda L_{\ell}.$

Ainsi :

J = F_{kk} + \lambda F_{k \ell} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.

Vous allez maintenant montrer que la matrice $JA$ est la matrice $A$ qui subit l’opération élémentaire $L_k \leftarrow L_k+\lambda L_{\ell}.$

\begin{align*}
JA &= \left( F_{kk} + \lambda F_{k \ell} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm} \right)
\left( \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij} \right) \\
&= \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{kk}E_{ij}
+ \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } \lambda a_{ij} F_{k \ell}E_{ij}
+\sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}}  \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{mm}E_{ij}\\
&=  \sum_{\substack{1\leq j \leq p} } a_{kj} F_{kk}E_{kj}
+ \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } \lambda a_{\ell j} F_{k \ell}E_{\ell j}
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}}  \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj} F_{mm}E_{mj}\\
&=  \sum_{\substack{1\leq j \leq p} } a_{kj} E_{kj}
+  \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } \lambda a_{\ell j} E_{k j}
+  \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}}  \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj} E_{mj}\\
&= \sum_{\substack{1\leq j \leq p} } (a_{kj} +\lambda a_{\ell j})E_{kj}
+  \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}}  \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj} E_{mj}.
\end{align*}

Cette dernière expression montre que les coefficients situés à la ligne $k$ de $JA$ sont ceux de la ligne $k$ de la matrice $A$ ajoutés à $\lambda$ fois ceux de la ligne $\ell$ de $A.$
D’autre part, quel que soit $m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}$ les lignes numéro $m$ des matrices $A$ et $JA$ ont les mêmes coefficients.

Concluez

Quels que soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $k\neq \ell$, quel que soit le scalaire $\lambda$, effectuer l’opération élémentaire $L_k \leftarrow L_k+\lambda L_{\ell}$ sur les lignes de la matrice $A$ revient à la multiplier à gauche par une matrice de transvection qui s’obtient en appliquant la même opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité.

Visualisez cette propriété sur un exemple

Soit $A$ la matrice définie par :

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1  & 1\end{pmatrix}.

Comme vous souhaitez multiplier $A$ à gauche, vous formez la matrice identité d’ordre $3$ :

I=\begin{pmatrix}1 & 0 &  0 \\
0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

La ligne $1$ est :

L_1 =  \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}.

La ligne $3$ est :

L_3 =  \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}.

Ainsi :

\begin{align*}
L_1+2L_3 &=  \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix} + 2  \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&=  \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix} +  \begin{pmatrix}0 & 0 & 2\end{pmatrix}\\
&=  \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}

Effectuez l’opération élémentaire $L_1 \leftarrow L_1+2L_3$ sur la matrice $I$ vous obtenez la matrice $J$ suivante :

J=\begin{pmatrix}1 & 0 &  2 \\
0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Effectuez le produit matriciel $JA.$

\begin{align*}
JA&=\begin{pmatrix}1 & 0 &  2 \\
0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1  & 1\end{pmatrix}  \\
&=\begin{pmatrix}5 & 3 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1  & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Pour la matrice $A$ vous avez :

\begin{align*}
L_1 &=  \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\\
L_3 &=  \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}

Ainsi :

\begin{align*}
L_1+2L_3 &=  \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\\
&=  \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\end{pmatrix} +  \begin{pmatrix}4 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix}\\
&=  \begin{pmatrix}5 & 3 & 4 & 3\end{pmatrix}.
\end{align*}

En effectuant l’opération élémentaire $L_1 \leftarrow L_1+2L_3$ sur la matrice $A$ vous obtenez la matrice :

\begin{pmatrix}5 & 3 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1  & 1\end{pmatrix}.

Or cette matrice est précisément celle obtenue par le calcul du produit $JA.$

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