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Effet des matrices élémentaires de troisième type, dites de transvection
Fixez un scalaire $\lambda\in\K.$ Soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ de sorte que $k\neq \ell.$
Par définition de la matrice $I\comma$ vous avez :
I = \sum_{m=1}^n F_{mm}.
Vous séparez la ligne $k$ du reste de la somme, pour obtenir :
I = F_{kk} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.
Vous appelez matrice de transvection $J$ la matrice obtenue à partir de la matrice $I\comma$ pour laquelle vous remplacez la ligne $k$ par la somme de la ligne $k$ et de la ligne $\ell$ multipliée par $\lambda.$ Cette opération est notée : $L_k \leftarrow L_k+\lambda L_{\ell}.$
Ainsi :
J = F_{kk} + \lambda F_{k \ell} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm}.
Vous allez maintenant montrer que la matrice $JA$ est la matrice $A$ qui subit l’opération élémentaire $L_k \leftarrow L_k+\lambda L_{\ell}.$
\begin{align*}
JA &= \left( F_{kk} + \lambda F_{k \ell} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} F_{mm} \right)
\left( \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} E_{ij} \right) \\
&= \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{kk}E_{ij}
+ \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } \lambda a_{ij} F_{k \ell}E_{ij}
+\sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq p} } a_{ij} F_{mm}E_{ij}\\
&= \sum_{\substack{1\leq j \leq p} } a_{kj} F_{kk}E_{kj}
+ \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } \lambda a_{\ell j} F_{k \ell}E_{\ell j}
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj} F_{mm}E_{mj}\\
&= \sum_{\substack{1\leq j \leq p} } a_{kj} E_{kj}
+ \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } \lambda a_{\ell j} E_{k j}
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj} E_{mj}\\
&= \sum_{\substack{1\leq j \leq p} } (a_{kj} +\lambda a_{\ell j})E_{kj}
+ \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}} \sum_{\substack{ 1\leq j \leq p} } a_{mj} E_{mj}.
\end{align*}
Cette dernière expression montre que les coefficients situés à la ligne $k$ de $JA$ sont ceux de la ligne $k$ de la matrice $A$ ajoutés à $\lambda$ fois ceux de la ligne $\ell$ de $A.$
D’autre part, quel que soit $m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{k\}\comma$ les lignes numéro $m$ des matrices $A$ et $JA$ ont les mêmes coefficients.
Concluez
Quels que soient $k$ et $\ell$ deux éléments de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $k\neq \ell\comma$ quel que soit le scalaire $\lambda\comma$ effectuer l’opération élémentaire $L_k \leftarrow L_k+\lambda L_{\ell}$ sur les lignes de la matrice $A$ revient à la multiplier à gauche par une matrice de transvection qui s’obtient en appliquant la même opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité.
Visualisez cette propriété sur un exemple
Soit $A$ la matrice définie par :
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Comme vous souhaitez multiplier $A$ à gauche, vous formez la matrice identité d’ordre $3$ :
I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
La ligne $1$ est :
L_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
La ligne $3$ est :
L_3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Ainsi :
\begin{align*}
L_1+2L_3 &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 0 & 2\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}1 & 0 & 2\end{pmatrix}.
\end{align*}
Effectuez l’opération élémentaire $L_1 \leftarrow L_1+2L_3$ sur la matrice $I\comma$ vous obtenez la matrice $J$ suivante :
J=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Effectuez le produit matriciel $JA.$
\begin{align*}
JA&=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}5 & 3 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}
Pour la matrice $A$ vous avez :
\begin{align*}
L_1 &= \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\end{pmatrix}\\
L_3 &= \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
\end{align*}
Ainsi :
\begin{align*}
L_1+2L_3 &= \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}5 & 3 & 4 & 3\end{pmatrix}.
\end{align*}
En effectuant l’opération élémentaire $L_1 \leftarrow L_1+2L_3$ sur la matrice $A\comma$ vous obtenez la matrice :
\begin{pmatrix}5 & 3 & 4 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Or cette matrice est précisément celle obtenue par le calcul du produit $JA.$
