Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$ et une de ses bases notée $e=(e_1, \dots, e_n).$
Vous définissez des formes linéaires $e_1^{*}, \dots, e_n^{*}$ en posant :
\forall i \in \llbracket 1, n\rrbracket, e_i^{*}(e_j) = \delta_{ij}où $\delta$ désigne le symbole de Kronecker.
L’espace dual de $E$, à savoir l’ensemble des formes linéaires sur $E$, noté $E^{*}$ admet alors une base.
Démontrez que l’espace dual admet pour base $e^{*}$
Liberté de la famille $e^{*}$
Soit $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\K^n$ tel que :
\sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i^{*} = 0.Ainsi :
\forall x\in E, \sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i^{*}(x) = 0.Soit $j$ un élément fixé de $\llbracket 1, n\rrbracket.$ Appliquez le résultat précédent lorsque $x=e_j$ :
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i^{*}(e_j) &= 0 \\
\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \delta_{ij} &= 0 \\
\lambda_j = 0.
\end{align*}
Du coup :
\forall j\in\llbracket 1, n \rrbracket, \lambda_j = 0.
La décomposition d’un vecteur
Soit $x$ un vecteur de $E.$
Comme $(e_1,\dots, e_n)$ est une base de $E$, il existe $(\lambda_1,\dots, \lambda_n)\in\K^n$ tel que :
x=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i.Soit $j$ un élément fixé de $\llbracket 1, n\rrbracket.$ Vous calculez $e_j^{*}(x)$ et utilisez la linéarité :
\begin{align*}
e_j^{*}(x) &=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_j^{*}(e_i)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \delta_{ij}\\
&=\lambda_j.
\end{align*}
Il vient donc :
x=\sum_{i=1}^{n} e_i^{*}(x) e_i.Ainsi :
\boxed{\forall x\in E, x=\sum_{i=1}^{n} e_i^{*}(x) e_i.}Caractère générateur de la famille $e^{*}$
Soit $\varphi$ une forme linéaire, c’est-à-dire une application linéaire allant de $E$ dans $\K.$
Fixez un vecteur $x\in E.$
Il a été vu plus haut que :
x=\sum_{i=1}^{n} e_i^{*}(x) e_i.Par linéarité de $\varphi$ il vient :
\begin{align*}
\varphi(x)&=\sum_{i=1}^{n} e_i^{*}(x) \varphi(e_i)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i) e_i^{*}(x) \\
&=\left(\sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i) e_i^{*}\right)(x).
\end{align*}
Ainsi :
\forall x\in E, \varphi(x) = \left(\sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i) e_i^{*}\right)(x).Et par suite :
\varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i) e_i^{*}.Il est ainsi démontré que :
\boxed{\forall \varphi\in E^{*}, \varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i) e_i^{*}.}Dimension de $E^{*}$
D’après ce qui précède, $e^{*}$ est une base de $E^{*}$ comportant $n$ vecteurs donc $\boxed{\dim E^{*} = \dim E.}$
Caractérisez la base duale de $e$
Réciproquement, supposez qu’il existe une famille de $E^{*}$, notée $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ telle que :
\forall x\in E, x = \sum_{i=1}^{n} \varphi_i(x) e_i.Fixez $x\in E.$ Le vecteur $x$ se décompose de deux façons différentes :
\begin{align*}
x &= \sum_{i=1}^{n} \varphi_i(x) e_i\\
x &= \sum_{i=1}^{n} e_i^{*}(x) e_i.
\end{align*}
Par unicité de la décomposition d’un vecteur sur une base, vous déduisez :
\forall i\in \llbracket 1, n \rrbracket, e_i^{*}(x) = \varphi_i(x).Ainsi :
\forall i\in \llbracket 1, n \rrbracket, e_i^{*} = \varphi_i.La famille $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ est la base duale de $(e_1,\dots,e_n).$
Une dilatation d’un vecteur de la base $e$ induit une autre dilatation sur la base duale $e^{*}$
Soit $(e_1,\dots, e_n)$ une base de $E.$
Soit $\lambda$ un scalaire non nul et soit $i$ un élément de $\llbracket 1, n \rrbracket$ fixé.
Vous effectuez l’opération élémentaire $e_i \leftarrow \lambda e_i$ au niveau de la base $e.$
Concrètement, vous passez de la base $e = (e_1, \dots, e_{i-1}, e_i, e_{i+1}, \dots e_n)$ à la famille $e’ = (e_1, \dots, e_{i-1}, \lambda e_i, e_{i+1}, \dots e_n).$
Vous allez démontrer que $e’$ est une base de $E$ et trouver sa base duale.
Soit $x\in E.$ Un tel vecteur se décompose ainsi :
\begin{align*}
x &= \sum_{k=1}^{n} e_k^{*}(x) e_k\\
&= e_i^{*}(x) e_i + \sum_{k\neq i} e_k^{*}(x) e_k\\
&= \frac{1}{\lambda}e_i^{*}(x) (\lambda e_i) + \sum_{k\neq i} e_k^{*}(x) e_k.
\end{align*}
D’une part, le vecteur $x$ appartient à l’espace vectoriel engendré par la famille $e’.$ Or $e’$ possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ donc $e’$ est une base de $E.$
D’autre part, cette écriture montre que la famille $e’^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{i-1}^{*}, \frac{1}{\lambda} e_i^{*},e_{i+1}^{*}, \dots e_n^{*})$ est la base duale de $e’.$
En définitive, si $e = (e_1, \dots, e_{i-1}, e_i, e_{i+1}, \dots e_n)$ est une base de $E$ dont la base duale est notée $e^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{i-1}^{*}, e_i^{*}, e_{i+1}^{*}, \dots e_n^{*})$, alors, pour tout $\lambda\in\K^{*}$, la famille $e’ = (e_1, \dots, e_{i-1}, \lambda e_i, e_{i+1}, \dots e_n)$ est une autre base de $E$ et la base duale de $e’$ est $e’^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{i-1}^{*}, \frac{1}{\lambda} e_i^{*}, e_{i+1}^{*}, \dots e_n^{*}).$
Une transvection effectuée sur la base $e$ induit une autre transvection sur la base duale $e^{*}$
Soit $(e_1,\dots, e_n)$ une base de $E.$
Soient $i$ et $j$ deux éléments différents de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket.$ Soit $\lambda$ un scalaire fixé.
Vous effectuez l’opération élémentaire $e_i \leftarrow \lambda e_i+\lambda e_j$ au niveau de la base $e.$
Concrètement, vous passez de la base $e = (e_1, \dots, e_{i-1}, e_i, e_{i+1}, \dots e_n)$ à la famille $e’ = (e_1, \dots, e_{i-1}, e_i+\lambda e_j, e_{i+1}, \dots e_n).$
Soit $x\in E.$ Un tel vecteur se décompose ainsi :
\begin{align*}
x &= \sum_{k=1}^{n} e_k^{*}(x) e_k\\
&= e_i^{*}(x) e_i + \sum_{k\neq i} e_k^{*}(x) e_k\\
&= e_i^{*}(x) (e_i+\lambda e_j) - e_i^{*}(x)\lambda e_j + \sum_{k\neq i} e_k^{*}(x) e_k\\
&= e_i^{*}(x) (e_i+\lambda e_j) - e_i^{*}(x)\lambda e_j + e_j^{*}(x) e_j +\sum_{k\notin \{i, j\}} e_k^{*}(x) e_k\\
&= e_i^{*}(x) (e_i+\lambda e_j)+ ( e_j^{*}(x)- \lambda e_i^{*}(x) ) e_j +\sum_{k\notin \{i, j\}} e_k^{*}(x) e_k.
\end{align*}
D’une part, le vecteur $x$ appartient à l’espace vectoriel engendré par la famille $e’.$ Or $e’$ possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ donc $e’$ est une base de $E.$
D’autre part, cette écriture montre que la famille $e’^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{j-1}^{*}, e_j^{*}-\lambda e_i^{*}, e_{j+1}^{*}, \dots e_n^{*})$ est la base duale de $e’.$
En définitive, si $e = (e_1, \dots, e_{i-1}, e_i, e_{i+1}, \dots e_n)$ est une base de $E$ dont la base duale est notée $e^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_{i-1}^{*}, e_i^{*}, e_{i+1}^{*}, \dots e_n^{*})$, alors, appliquer l’opération de transvection $e_i \leftarrow e_i + \lambda e_j$ sur la base $e$ fournit une autre base de $E$ notée $e’.$ La base duale $e’^{*}$ de $e’$ s’obtient à partir de la base $e^{*}$, à partir de laquelle on applique l’opération de transvection $e_j^{*} \leftarrow e_j^{*} – \lambda e_i^{*}.$
Prolongements
Cas de transpositions
Soit $e=(e_1,\dots, e_n)$ une base de $E$ dont la base duale est notée $e^{*} = (e_1^{*}, \dots, e_n^{*}).$
Soient $i$ et $j$ deux éléments différents de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket.$Si vous appliquez l’opération de transposition $e_i \leftrightarrow e_j$ sur la base $e$ et notez $e’$ la nouvelle famille obtenue, justifiez que $e’$ est encore une base de $E$ et déterminez la base duale de $e’$ en fonction de $e^{*}.$
Les permutations
Expliquez pourquoi, sur le plan théorique, il n’est pas utile de traiter le cas d’une permutation des vecteurs d’une base de $e$ et de ses effets éventuels sur la base duale obtenue.
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