Soient $n$ et $p$ deux entiers supérieurs ou égaux à $2$ et $A$ une matrice à coefficients dans un corps $\K$ qui comporte $n$ lignes et $p$ colonnes.
Soient $i$ et $j$ deux éléments différents de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket.$
Comme cela a été vu dans un autre article dont vous reprenez les mêmes notations, quand vous appliquez à la matrice $A$ l’opération élémentaire $L_i \leftrightarrow L_j\comma$ cela revient à la multiplier à gauche par la matrice suivante :
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 272.
T = F_{ij} + F_{ji} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i, j\}} F_{mm}.
Une idée de décomposition en utilisant des transvections
Considérez les variables $x$ et $y$ auxquelles vous appliquez les instructions suivantes :
\begin{align*}
x&\leftarrow x+y\\
y&\leftarrow y-x\\
x&\leftarrow x+y.
\end{align*}
Ces trois opérations placent la valeur de $y$ dans $x$ et l’opposé de la valeur de $x$ dans $y\comma$ comme le montre le tableau des valeurs successives prises par $x$ et $y$ :
\begin{array}{|c|c|}
\hline\
\text{Variable }x & \text{Variable }y \\ \hline
x & y \\
x+y & y\\
x+y & -x\\
y & -x\\\hline
\end{array}
Pour permuter $x$ avec $y\comma$ il faut rajouter une dilatation en changeant la variable $y$ en son opposé.
L’opération d’échange :
x\leftrightarrow y
est donc équivalente à la série des quatre opérations suivantes :
\left\{
\begin{align*}
x&\leftarrow x+y\\
y&\leftarrow y-x\\
x&\leftarrow x+y\\
y&\leftarrow -y.
\end{align*}
\right.
Vérifiez l’ensemble sur le plan matriciel
Les quatre opérations décrites ci-dessus s’écrivent de façon analogue de la façon suivante :
\left\{
\begin{align*}
L_i&\leftarrow L_i+L_j\\
L_j&\leftarrow L_j-L_i\\
L_i&\leftarrow L_i+L_j\\
L_j&\leftarrow -L_j.
\end{align*}
\right.
Vous posez :
\begin{align*}
V_i &= F_{i j} + \sum_{k\in\llbracket 1, n\rrbracket } F_{kk} \\
V_j &= – F_{ji} + \sum_{\ell \in\llbracket 1, n\rrbracket } F_{\ell\ell}\\
D_j &= -F_{jj} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{j\}} F_{mm} = -2F_{jj} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket } F_{mm}.
\end{align*}
En notant $I$ la matrice identité d’ordre $n\comma$ il vient :
\begin{align*}
V_i &= F_{ij} + I\\
V_j &= -F_{ji} + I\\
D_j &= -2F_{jj} + I.
\end{align*}
Quand vous appliquez à la matrice $A$ les opérations élémentaires suivantes :
\left\{
\begin{align*}
L_i&\leftarrow L_i+L_j\\
L_j&\leftarrow L_j-L_i\\
L_i&\leftarrow L_i+L_j\\
L_j&\leftarrow -L_j.
\end{align*}
\right.
vous multipliez la matrice $A$ à gauche par le produit :
D_jV_iV_jV_i.
Premier produit, calcul de $V_jV_i$
\begin{align*}
V_jV_i &= (-F_{ji} + I)(F_{ij} + I)\\
&=-F_{ji}F_{ij} – F_{ji} + F_{ij} + I\\
&=F_{ij}-F_{ji}-F_{jj}+I.
\end{align*}
Deuxième produit, calcul de $V_i(V_jV_i)$
\begin{align*}
V_i(V_jV_i) &=(F_{ij} + I)(F_{ij}-F_{ji}-F_{jj}+I)\\
&= F_{ij}F_{ij}-F_{ij}F_{ji}-F_{ij}F_{jj}+F_{ij}\\
&\qquad +F_{ij}-F_{ji}-F_{jj}+I\\
&= 0-F_{ii}-F_{ij}+F_{ij}\\
&\qquad +F_{ij}-F_{ji}-F_{jj}+I\\
&= F_{ij}-F_{ji}-F_{ii}-F_{jj}+I\\
&= F_{ij} – F_{ji} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i, j\}} F_{mm}.
\end{align*}
Troisième et dernier produit, calcul de $D_j(V_iV_jV_i)$
\begin{align*}
D_j(V_iV_jV_i) &= ( -2F_{jj} + I)\left( F_{ij} – F_{ji} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i, j\}} F_{mm}\right)\\
&= -2F_{jj}F_{ij} +2F_{jj}F_{ji}-2\sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i, j\}} F_{jj}F_{mm}\\
&\qquad +F_{ij} – F_{ji} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i, j\}} F_{mm}
\\
&= 0+2F_{ji} – 0 \\
&\qquad +F_{ij} – F_{ji} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i, j\}} F_{mm}\\
&= F_{ij} + F_{ji} + \sum_{m\in\llbracket 1, n\rrbracket \setminus \{i, j\}} F_{mm}\\
&= T.
\end{align*}
Prolongement
Pour savoir ce qui a motivé l’introduction des opérations ci-dessous :
\begin{align*}
x&\leftarrow x+y\\
y&\leftarrow y-x\\
x&\leftarrow x+y
\end{align*}
vous pouvez lire un autre article.
Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 376.
