Votre navigateur n'accepte pas le Javascript.La navigation sur ce site risque de ne pas fonctionner correctement.

École AVOSZ 

École AVOSZ

287. Les effets des opérations élémentaires sur une base duale (2/2)

on par

Notez :

\left\{
\begin{align*}
e_1 &= (1,0,0,0)\\
e_2 &= (0,1,0,0)\\
e_3 &= (0,0,1,0)\\
e_4 &= (0,0,0,1).
\end{align*}
\right.

La famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est la base canonique de $\R^4.$

Pour tout $(x,y,z,t)\in\R^4$ vous avez :

(x,y,z,t) = xe_1+ye_2+ze_3+te_4.

D’autre part la base duale $(e_1^{*}, e_2^{*}, e_3^{*}, e_4^{*})$ vérifie la propriété suivante :

\forall (x,y,z,t)\in\R^4, (x,y,z,t) = e_1^{*}(x,y,z,t)e_1+e_2^{*}(x,y,z,t)e_2+e_3^{*}(x,y,z,t)e_3+e_4^{*}(x,y,z,t)e_4.

Par unicité de la décomposition d’un vecteur sur une base, vous déduisez immédiatement que, quel que soit $(x,y,z,t)\in\R^4$ :

\left\{
\begin{align*}
e_1^{*}(x,y,z,t) &= x\\
e_2^{*}(x,y,z,t) &= y\\
e_3^{*}(x,y,z,t) &= z\\
e_4^{*}(x,y,z,t) &= t.
\end{align*}
\right.

Vous posez :

\left\{
\begin{align*}
v_1 &= (1,1,0,2)\\
v_2 &= (1,2,1,2)\\
v_3 &= (0,1,2,1)\\
v_4 &= (3,3,1,8).
\end{align*}
\right.

Votre objectif est double :

  • démontrer que la famille $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ est une base de $\R^4$ ;
  • déterminer explicitement la base duale notée $(v_1^{*}, v_2^{*}, v_3^{*}, v_4^{*})$ de $(v_1,v_2,v_3,v_4).$

Effets des dilatations et des transvections

D’après le contenu rédigé dans l'article 287, la propriété suivante a été établie.

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$

Etant donnée une base $f=(f_1, \dots, f_n)$ d’un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, de base duale notée $f^{*} = (f_1^{*}, \dots, f_n^{*})$ :

  • quel que soit le scalaire $\lambda$, quels que soient les entiers $i$ et $j$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $i\neq j$, l’opération $f_i \leftarrow f_i + \lambda f_j$ transforme la base $f$ en une base $f’$ de $E.$ La base duale de $f’$ se déduit de la base duale $f^{*}$ par l’opération $f_j^{*} \leftarrow f_j^{*} – \lambda f_i^{*}$ ;
  • quel que soit le scalaire $\lambda$ non nul, l’opération $f_i \leftarrow \lambda f_i $transforme la base $f$ en une base $f’$ de $E.$ La base duale de $f’$ se déduit de la base duale $f^{*}$ par l’opération $f_i^{*} \leftarrow \frac{1}{\lambda} f_i^{*}.$

Mise en pratique

Il s’agit de trouver une suite d’opérations élémentaires qui transforme la famille $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ vers la famille $(e_1,e_2,e_3,e_4).$

Vous effectuez les opérations suivantes : $L_2 \leftarrow L_2-L_1$ et $L_4\leftarrow L_4-3L_1$ :

\left\{
\begin{align*}
v_1 &= (1,1,0,2)\\
v_2-v_1 &= (0,1,1,0)\\
v_3 &= (0,1,2,1)\\
v_4-3v_1 &= (0,0,1,2).
\end{align*}
\right.

Vous effectuez $L_3\leftarrow L_3-L_2$ :

\left\{
\begin{align*}
v_1 &= (1,1,0,2)\\
v_2-v_1         &= (0,1,1,0)\\
v_3-v_2+v_1 &= (0,0,1,1)\\
v_4-3v_1 &= (0,0,1,2).
\end{align*}
\right.

Vous effectuez $L_4 \leftarrow L_4-L_3$ :

\left\{
\begin{align*}
v_1 &= (1,1,0,2)\\
v_2-v_1         &= (0,1,1,0)\\
v_3-v_2+v_1 &= (0,0,1,1)\\
v_4-v_3+v_2-4v_1       &= (0,0,0,1).
\end{align*}
\right.

Puis, vous continuez avec $L_1\leftarrow L_1-L_2$ :

\left\{
\begin{align*}
2v_1-v_2               &= (1,0,-1,2)\\
v_2-v_1         &= (0,1,1,0)\\
v_3-v_2+v_1 &= (0,0,1,1)\\
v_4-v_3+v_2-4v_1       &= (0,0,0,1).
\end{align*}
\right.

Vous effectuez $L_1\leftarrow L_1+L_3$ :

\left\{
\begin{align*}
3v_1-2v_2+v_3               &= (1,0,0,3)\\
v_2-v_1         &= (0,1,1,0)\\
v_3-v_2+v_1 &= (0,0,1,1)\\
v_4-v_3+v_2-4v_1       &= (0,0,0,1).
\end{align*}
\right.

Vous effectuez $L_2\leftarrow L_2-L_3$ :

\left\{
\begin{align*}
3v_1-2v_2+v_3               &= (1,0,0,3)\\
-2v_1+2v_2-v_3         &= (0,1,0,-1)\\
v_3-v_2+v_1 &= (0,0,1,1)\\
v_4-v_3+v_2-4v_1       &= (0,0,0,1).
\end{align*}
\right.

Vous effectuez $L_1\leftarrow L_1-3L_4$ :

\left\{
\begin{align*}
15v_1-5v_2+4v_3  -3v_4              &= e_1\\
-2v_1+2v_2-v_3         &= (0,1,0,-1)\\
v_3-v_2+v_1 &= (0,0,1,1)\\
v_4-v_3+v_2-4v_1       &= (0,0,0,1).
\end{align*}
\right.

Vous effectuez $L_2\leftarrow L_2+L_4$ :

\left\{
\begin{align*}
15v_1-5v_2+4v_3  -3v_4              &= e_1\\
-6v_1+3v_2-2v_3+v_4         &= e_2\\
v_3-v_2+v_1 &= (0,0,1,1)\\
v_4-v_3+v_2-4v_1       &= (0,0,0,1).
\end{align*}
\right.

Vous terminez avec $L_3\leftarrow L_3-L_4$ :

\left\{
\begin{align*}
15v_1-5v_2+4v_3  -3v_4              &= e_1\\
-6v_1+3v_2-2v_3+v_4         &= e_2\\
5v_1-2v_2+2v_3 -v_4 &= e_3\\
v_4-v_3+v_2-4v_1       &= e_4.
\end{align*}
\right.

Il est ainsi prouvé que :

\forall i\in\llbracket 1, 4\rrbracket, e_i\in \mathrm{Vect}(v_1,v_2,v_3,v_4).

La famille $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ est génératrice de $\R^4$ c’est donc une base de $\R^4.$

Note. A partir des égalités ci-dessus, il est possible de déterminer l’expression de la base duale $(v_1^{*}, v_2^{*}, v_3^{*}, v_4^{*})$ sans continuer les opérations élémentaires vu qu’elle vérifie la relation :

\forall u\in\R^4, u = \sum_{i=1}^{4}v_i^{*}(u) v_i.

Comme cet article a pour objectif de détailler les effets des opérations élémentaires, elles seront poursuivies dans la suite.

Résumé des opérations élémentaires

Pour passer de la base $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ à la base $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ vous avez appliqué les opérations élémentaires suivantes, dans cet ordre :

\begin{array}{| l  l |}
\hline
L_2 &\leftarrow L_2-L_1 \\ \hline
L_4 &\leftarrow L_4-3L_1  \\ \hline
L_3&\leftarrow L_3-L_2 \\ \hline
L_4 &\leftarrow L_4-L_3 \\ \hline
 L_1&\leftarrow L_1-L_2 \\ \hline
L_1&\leftarrow L_1+L_3 \\ \hline
L_2&\leftarrow L_2-L_3 \\ \hline
L_1&\leftarrow L_1-3L_4 \\ \hline
L_2&\leftarrow L_2+L_4 \\ \hline
L_3&\leftarrow L_3-L_4 \\ \hline
\end{array}

En utilisant les opérations élémentaires réciproques, vous déduisez que vous passez de la base $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ à la base $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ de la façon suivante :

\begin{array}{| l  l |}
\hline
L_3&\leftarrow L_3+L_4 \\ \hline
L_2&\leftarrow L_2-L_4 \\ \hline
L_1&\leftarrow L_1+3L_4 \\ \hline
L_2&\leftarrow L_2+L_3 \\ \hline
L_1&\leftarrow L_1-L_3 \\ \hline
L_1&\leftarrow L_1+L_2 \\ \hline
L_4 &\leftarrow L_4+L_3 \\ \hline
L_3&\leftarrow L_3+L_2 \\ \hline
L_4 &\leftarrow L_4+3L_1  \\ \hline
L_2 &\leftarrow L_2+L_1 \\ \hline
\end{array}

En utilisant les effets des opérations élémentaires sur les bases duales, vous déduisez que vous passez de la base $(e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*},e_4^{*})$ à la base $(v_1^{*},v_2^{*},v_3^{*},v_4^{*})$ de la façon suivante :

\begin{array}{| l  l |}
\hline
L_4&\leftarrow L_4-L_3 \\ \hline
L_4&\leftarrow L_4+L_2 \\ \hline
L_4&\leftarrow L_4-3L_1 \\ \hline
L_3&\leftarrow L_3-L_2 \\ \hline
L_3&\leftarrow L_3+L_1 \\ \hline
L_2&\leftarrow L_2-L_1 \\ \hline
L_3 &\leftarrow L_3-L_4 \\ \hline
L_2&\leftarrow L_2-L_3 \\ \hline
L_1 &\leftarrow L_1-3L_4  \\ \hline
L_1 &\leftarrow L_1-L_2 \\ \hline
\end{array}

Pour terminer, vous partez de la base $(e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*},e_4^{*})$ et appliquez les opérations ci-dessus.

\begin{array}{| l  l | l |}
\hline
& & (e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*},e_4^{*})
\\ \hline
L_4&\leftarrow L_4-L_3 & (e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*},e_4^{*}-e_3^{*})
\\ \hline
L_4&\leftarrow L_4+L_2 &  (e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*},e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*})
\\ \hline
L_4&\leftarrow L_4-3L_1 &  (e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*},e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*})
 \\ \hline
L_3&\leftarrow L_3-L_2 & (e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*}-e_2^{*},e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*})
 \\ \hline
L_3&\leftarrow L_3+L_1 &  (e_1^{*},e_2^{*},e_3^{*}-e_2^{*}+e_1^{*},e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*})
\\ \hline
L_2&\leftarrow L_2-L_1 &  (e_1^{*},e_2^{*}-e_1^{*},e_3^{*}-e_2^{*}+e_1^{*},e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*})
\\ \hline
L_3 &\leftarrow L_3-L_4&   (e_1^{*},e_2^{*}-e_1^{*},4e_1^{*}-2e_2^{*}+2e_3^{*}-e_4^{*} ,e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*})
 \\ \hline
L_2&\leftarrow L_2-L_3 & (e_1^{*},-5e_1^{*}+3e_2^{*}-2e_3^{*}+e_4^{*},4e_1^{*}-2e_2^{*}+2e_3^{*}-e_4^{*} ,e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*})
\\ \hline
L_1 &\leftarrow L_1-3L_4 & (10e_1^{*}-3e_2^{*}+3e_3^{*}-3e_4^{*},
-5e_1^{*}+3e_2^{*}-2e_3^{*}+e_4^{*},
4e_1^{*}-2e_2^{*}+2e_3^{*}-e_4^{*} ,
e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*})
 \\ \hline
L_1 &\leftarrow L_1-L_2&  (15e_1^{*}-6e_2^{*}+5e_3^{*}-4e_4^{*},
-5e_1^{*}+3e_2^{*}-2e_3^{*}+e_4^{*},
4e_1^{*}-2e_2^{*}+2e_3^{*}-e_4^{*} ,
e_4^{*}-e_3^{*} + e_2^{*}-3e_1^{*}).
 \\ \hline
\end{array}

Concluez

Vous déduisez des calculs qui précèdent que, pour tout $(x,y,z,t)\in\R^4$ :

\left\{
\begin{align*}
v_1^{*}(x,y,z,t) &= 15x-6y+5z-4t\\
v_2^{*}(x,y,z,t) &= -5x+3y-2z+t\\
v_3^{*}(x,y,z,t) &= -4x-2y+2z-t\\
v_4^{*}(x,y,z,t) &= -3x+y-z+t.
\end{align*}
\right.

Partagez !

Diffusez cet article auprès de vos connaissances susceptibles d'être concernées en utilisant les boutons de partage ci-dessous.

Aidez-moi sur Facebook !

Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.

Lisez d'autres articles !

Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !