Pour tout entier naturel $n$ vous définissez :
I_n = \int_{0}^{1} (x(x-1))^n\dx.
Utilisez une intégration par parties
Soit $n$ un entier naturel. Vous cherchez à calculer l’intégrale $I_{n+1}$ directement à l’aide d’une intégration par parties.
Vous posez :
\left\{
\begin{align*}
u'(x) &= 1 \\
v(x) &= (x(x-1))^{n+1}.
\end{align*}
\right.
Cela amène à :
\left\{
\begin{align*}
u(x) &= x \\
v'(x) &= (n+1)(2x-1)(x(x-1))^n.
\end{align*}
\right.
Ainsi :
\begin{align*}
I_{n+1} &= \int_{0}^{1} u'(x)v(x) \dx \\
&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{1} -\int_{0}^{1} u(x)v'(x)\dx \\
&=\left[x(x^2-x)^{n+1}\right]_{0}^{1} – (n+1)\int_{0}^{1} (2x^2-x)(x^2-x)^n\dx\\
&= – (n+1)\int_{0}^{1} (2x^2-x)(x^2-x)^n\dx.
\end{align*}
À ce stade, vous allez écrire :
\begin{align*}
2x^2-x &= 2x^2-2x+x \\
&=2(x^2-x)+x
\end{align*}
Du coup :
\begin{align*}
I_{n+1} &= – (2n+2)\int_{0}^{1} (x^2-x)^{n+1}\dx – (n+1)\int_{0}^{1} x(x^2-x)^{n}\dx \\
&=(-2n-2)I_{n+1}-(n+1)\int_{0}^{1} x(x^2-x)^{n}\dx.
\end{align*}
Comme $I_{n+1}$ réapparaît dans le membre de droite, il vient :
(2n+3)I_{n+1} = -(n+1)\int_{0}^{1} x(x^2-x)^{n}\dx.
Faites apparaître une dérivée
Pour calculer l’intégrale $\int_{0}^{1} x(x^2-x)^{n}\dx\comma$ vous procédez ainsi :
\begin{align*}
\int_{0}^{1} x(x^2-x)^{n}\dx &=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} 2x(x^2-x)^{n}\dx \\
&=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (2x-1)(x^2-x)^{n}\dx +\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^2-x)^{n}\dx \\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{(x^2-x)^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 + \frac{1}{2} I_n\\
&=\frac{1}{2}I_n.
\end{align*}
Vous déduisez de ce calcul que :
2(2n+3)I_{n+1} = -(n+1)I_n.
En définitive :
\boxed{\forall n\in\N, 2(2n+3)I_{n+1} = -(n+1)I_n.}
Préparez l’hypothèse de récurrence
Soit $n\in\NN\comma$ écrivez la relation obtenue ci-dessus sur $n$ lignes :
\begin{align*}
2(2n+1)I_{n}& = -(n)I_{n-1}\\
2(2n-1)I_{n-1} &= -(n-1)I_{n-2}\\
\dots &= \dots\\
2(5)I_{2} &= -(2)I_1\\
2(3)I_{1} &= -(1)I_0.
\end{align*}
En multipliant toutes ces lignes entre elles, vous obtenez :
2^n(1\times 3\times \cdots\times (2n-1)(2n+1)) I_1I_2\cdots I_{n-1}I_n = (-1)^n n! I_0I_1\cdots I_{n-1}.
Sans justifier pour l’instant que la division par le produit $I_1I_2\cdots I_{n-1}$ est possible, vous conjecturez que :
2^n(1\times 3\times \cdots\times (2n-1)(2n+1)) I_n = (-1)^n n! I_0.
Or, le calcul de $I_0$ fournit :
\begin{align*}
I_0 &= \int_0^1 (x^2-x)^0\dx \\
&= \int_0^1 1 \dx \\
&=1.
\end{align*}
Donc :
2^n(1\times 3\times \cdots\times (2n-1)(2n+1)) I_n = (-1)^n n!.
Il reste à écrire avec des factorielles le produit des impairs. Pour cela, vous multipliez par le produit :
\begin{align*}
2\times 4 \times \cdots \times (2n) &= (2\times 1)\times (2\times 2)\times \cdots \times(2\times n)\\
&=2^n n!.
\end{align*}
Ainsi :
2^n(1\times 3\times \cdots\times (2n-1)(2n+1)) \times 2\times 4 \times \cdots \times (2n) I_n = (-1)^n 2^n (n!)^2.
Vous simplifiez par $2^n$ :
(2n+1)! I_n = (-1)^n (n!)^2.
Et voilà le candidat trouvé :
I_n = \frac{(-1)^n (n!)^2}{(2n+1)!}.
Effectuez la récurrence
Pour tout entier naturel $n\comma$ vous posez $\mathscr{P}(n)$ : « $I_n = \frac{(-1)^n (n!)^2}{(2n+1)!}$ ».
Initialisation. D’une part :
\frac{(-1)^0 (0!)^2}{(2\times 0+1)!} = \frac{1}{1!} = 1.
D’autre part, il a été vu que $I_0 = 1.$
Donc $\mathscr{P}(0)$ est vérifiée.
Hérédité. Soit $n$ un entier naturel tel que $I_n = \frac{(-1)^n (n!)^2}{(2n+1)!}.$
Il a été établi que :
2(2n+3)I_{n+1} = -(n+1)I_n.
Utilisant l’hypothèse de récurrence, vous obtenez :
\begin{align*}
2(2n+3)I_{n+1} &= -\frac{(-1)^n (n!)^2 (n+1)}{(2n+1)!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1} (n!)^2 (n+1)}{(2n+1)!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1} (n!)^2 (n+1)^2}{(n+1)(2n+1)!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1} ((n+1)!)^2 }{(n+1)(2n+1)!}.
\end{align*}
En divisant par $2\comma$ il vient :
\begin{align*}
(2n+3)I_{n+1}
&=\frac{(-1)^{n+1} ((n+1)!)^2 }{2(n+1)(2n+1)!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1} ((n+1)!)^2 }{(2n+2)(2n+1)!}
\end{align*}
En divisant par $2n+3\comma$ qui est non nul, vous obtenez :
\begin{align*}
I_{n+1}
&=\frac{(-1)^{n+1} ((n+1)!)^2 }{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1} ((n+1)!)^2 }{(2n+3)!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1} ((n+1)!)^2 }{(2(n+1)+1)!}.
\end{align*}
Donc $\mathscr{P}(n+1)$ est vérifiée.
Conclusion. Pour tout $n\in\N\comma$ la propriété $\mathscr{P}(n)$ est vérifiée.
Concluez
Il a été démontré par récurrence que :
\boxed{\forall n\in\N, \int_{0}^1 (x^2-x)^n \dx = \frac{(-1)^n (n!)^2}{(2n+1)!}.}
