Soit $A$ la matrice réelle définie par :
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 &1 &1\\
1 & 0 &1 &1\\
1 & 1 &0 &1\\
1 & 1 &1 &0
\end{pmatrix}.Le but de cette section est d’expliciter une matrice réelle inversible notée $P$ telle que :
P^{-1}AP= \begin{pmatrix}
* & * &* &*\\
* & * &* &*\\
0 & * &* &*\\
0 & 0 &* &*
\end{pmatrix}.Une telle matrice sera dite de Hessenberg puisque tous ses coefficients situés strictement en-dessous de la première sous-diagonale sont nuls.
Traitez la première colonne, premier zéro
A partir de la matrice $A$, vous souhaitez effectuer l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3-L_2$ ce qui revient à multiplier $A$ à gauche par une matrice de transvection $T$ égale à :
T = \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & -1 &1 &0\\
0 & 0 &0 &1
\end{pmatrix}.Il vous faut multiplier à droite la matrice $TA$ par $T^{-1}$ qui est aussi une matrice transvection :
T^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & 1 &1 &0\\
0 & 0 &0 &1
\end{pmatrix}.Cela correspond à l’opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2+C_3.$
En détail, vous partez de $A$ et vous appliquez l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3-L_2$ qui donne :
A^{(1)} = \begin{pmatrix}
0 & 1 &1 &1\\
1 & 0 &1 &1\\
0 & 1 &-1 &0\\
1 & 1 &1 &0
\end{pmatrix}.Vous appliquez à la matrice $A^{(1)}$ l’opération $C_2\leftarrow C_2+C_3$ et obtenez :
A^{(2)} = \begin{pmatrix}
0 & 2 &1 &1\\
1 & 1 &1 &1\\
0 & 0 &-1 &0\\
1 & 2 &1 &0
\end{pmatrix}.Note. Vous pouvez aussi vérifier que le produit $TAT^{-1}$ est bien égal à $A^{(2)}.$
Traitez la première colonne, second zéro
Comme précédemment, vous considérez les opérations élémentaires successives $L_4\leftarrow L_4-L_2$ et $C_2\leftarrow C_2+C_4.$
A partir de la matrice $A^{(2)}$ vous appliquez $L_4\leftarrow L_4-L_2$ et obtenez :
A^{(3)} = \begin{pmatrix}
0 & 2 &1 &1\\
1 & 1 &1 &1\\
0 & 0 &-1 &0\\
0 & 1 &0 &-1
\end{pmatrix}.A partir de la matrice $A^{(3)}$ vous appliquez $C_2\leftarrow C_2+C_4.$ et obtenez :
A^{(4)} = \begin{pmatrix}
0 & 3 &1 &1\\
1 & 2 &1 &1\\
0 & 0 &-1 &0\\
0 & 0 &0 &-1
\end{pmatrix}.En posant :
R = \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & 0 &1 &0\\
0 & -1 &0 &1
\end{pmatrix}vous obtenez :
R^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & 0 &1 &0\\
0 & 1 &0 &1
\end{pmatrix}.Alors le produit $RA^{(2)}R^{-1}$ est égal à $A^{(4)}.$
Comme $A^{(4)}$ est une matrice de Hessenberg, il n’y a pas lieu de traiter spécifiquement la deuxième colonne.
Concluez
Des égalités :
\left\{\begin{align*}
RA^{(2)}R^{-1}&=A^{(4)}\\
TAT^{-1} &=A^{(2)}
\end{align*}
\right.vous déduisez :
RTAT^{-1}R^{-1}=A^{(4)}.Du coup, en posant
\begin{align*}
P &= T^{-1}R^{-1} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & 1 &1 &0\\
0 & 0 &0 &1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & 0 &1 &0\\
0 & 1 &0 &1
\end{pmatrix}
\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & 1 &1 &0\\
0 & 1 &0 &1
\end{pmatrix}
\end{align*}
.vous déduisez l’inversibilité de $P$ qui est produit de deux matrices inversibles et :
\begin{align*}
P^{-1} &= RT \\
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & 0 &1 &0\\
0 & -1 &0 &1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & -1 &1 &0\\
0 & 0 &0 &1
\end{pmatrix}
\\
&=\begin{pmatrix}
1 & 0 &0 &0\\
0 & 1 &0 &0\\
0 & -1 &1 &0\\
0 & -1 &0 &1
\end{pmatrix}.
\end{align*}De ce qui précède, vous avez obtenu :
P^{-1}AP = A^{(4)} = \begin{pmatrix}
0 & 3 &1 &1\\
1 & 2 &1 &1\\
0 & 0 &-1 &0\\
0 & 0 &0 &-1
\end{pmatrix}.La matrice $A$ est semblable à une matrice de Hessenberg et la matrice de passage $P$ ainsi que son inverse ont été déterminés.
Note. Le lecteur aura remarqué que la matrice $A^{(4)}$ n’est pas symétrique. Il est néanmoins possible d’améliorer ce qui vient d’être trouvé en utilisant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Rendez-vous pour cela au sein du contenu écrit dans l'article 290. En effet, une matrice de Hessenberg qui est multipliée par une matrice triangulaire supérieure, que ce soit à droite ou à gauche, reste de Hessenberg.
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