289. Mise sous forme de Hessenberg d’une matrice symétrique (1/2)

Soit $A$ la matrice réelle définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 &1 &1\\ 1 & 0 &1 &1\\ 1 & 1 &0 &1\\ 1 & 1 &1 &0 \end{pmatrix}.

Le but de ce contenu est d’expliciter une matrice réelle inversible notée $P$ telle que :

P^{-1}AP= \begin{pmatrix} * & * &* &*\\ * & * &* &*\\ 0 & * &* &*\\ 0 & 0 &* &* \end{pmatrix}.

Une telle matrice sera dite de Hessenberg puisque tous ses coefficients situés strictement en-dessous de la première sous-diagonale sont nuls.

Traitez la première colonne, premier zéro

À partir de la matrice $A\comma$ vous souhaitez effectuer l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3-L_2$ ce qui revient à multiplier $A$ à gauche par une matrice de transvection $T$ égale à :

T = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & -1 &1 &0\\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}.

Il vous faut multiplier à droite la matrice $TA$ par $T^{-1}\comma$ qui est aussi une matrice de transvection :

T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 1 &1 &0\\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix}.

Cela correspond à l’opération élémentaire $C_2\leftarrow C_2+C_3.$

En détail, vous partez de $A$ et vous appliquez l’opération élémentaire $L_3\leftarrow L_3-L_2$ qui donne :

A^{(1)} = \begin{pmatrix} 0 & 1 &1 &1\\ 1 & 0 &1 &1\\ 0 & 1 &-1 &0\\ 1 & 1 &1 &0 \end{pmatrix}.

Vous appliquez à la matrice $A^{(1)}$ l’opération $C_2\leftarrow C_2+C_3$ et obtenez :

A^{(2)} = \begin{pmatrix} 0 & 2 &1 &1\\ 1 & 1 &1 &1\\ 0 & 0 &-1 &0\\ 1 & 2 &1 &0 \end{pmatrix}.

Note. Vous pouvez aussi vérifier que le produit $TAT^{-1}$ est bien égal à $A^{(2)}.$

Traitez la première colonne, second zéro

Comme précédemment, vous considérez les opérations élémentaires successives $L_4\leftarrow L_4-L_2$ et $C_2\leftarrow C_2+C_4.$

À partir de la matrice $A^{(2)}\comma$ vous appliquez $L_4\leftarrow L_4-L_2$ et obtenez :

A^{(3)} = \begin{pmatrix} 0 & 2 &1 &1\\ 1 & 1 &1 &1\\ 0 & 0 &-1 &0\\ 0 & 1 &0 &-1 \end{pmatrix}.

À partir de la matrice $A^{(3)}\comma$ vous appliquez $C_2\leftarrow C_2+C_4$ et obtenez :

A^{(4)} = \begin{pmatrix} 0 & 3 &1 &1\\ 1 & 2 &1 &1\\ 0 & 0 &-1 &0\\ 0 & 0 &0 &-1 \end{pmatrix}.

En posant :

R = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0 &1 &0\\ 0 & -1 &0 &1 \end{pmatrix}

vous obtenez :

R^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0 &1 &0\\ 0 & 1 &0 &1 \end{pmatrix}.

Alors le produit $RA^{(2)}R^{-1}$ est égal à $A^{(4)}.$

Comme $A^{(4)}$ est une matrice de Hessenberg, il n’y a pas lieu de traiter spécifiquement la deuxième colonne.

Concluez

Des égalités :

\left\{\begin{align*} RA^{(2)}R^{-1}&=A^{(4)}\\ TAT^{-1} &=A^{(2)} \end{align*} \right.

vous déduisez :

RTAT^{-1}R^{-1}=A^{(4)}.

Du coup, en posant :

\begin{align*} P &= T^{-1}R^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 1 &1 &0\\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0 &1 &0\\ 0 & 1 &0 &1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 1 &1 &0\\ 0 & 1 &0 &1 \end{pmatrix} \end{align*} .

vous déduisez l’inversibilité de $P\comma$ qui est le produit de deux matrices inversibles et :

\begin{align*} P^{-1} &= RT \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0 &1 &0\\ 0 & -1 &0 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & -1 &1 &0\\ 0 & 0 &0 &1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0\\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & -1 &1 &0\\ 0 & -1 &0 &1 \end{pmatrix}. \end{align*}

De ce qui précède, vous avez obtenu :

P^{-1}AP = A^{(4)} = \begin{pmatrix} 0 & 3 &1 &1\\ 1 & 2 &1 &1\\ 0 & 0 &-1 &0\\ 0 & 0 &0 &-1 \end{pmatrix}.

La matrice $A$ est semblable à une matrice de Hessenberg et la matrice de passage $P$ ainsi que son inverse ont été déterminées.

Note. Vous aurez remarqué que la matrice $A^{(4)}$ n’est pas symétrique. Il est néanmoins possible d’améliorer ce qui vient d’être trouvé en utilisant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Rendez-vous pour cela dans un autre article. En effet, une matrice de Hessenberg qui est multipliée par une matrice triangulaire supérieure, que ce soit à droite ou à gauche, reste de Hessenberg.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 290.