Grâce aux contenus rédigés dans l'article 298 et dans l'article 297, il est possible d’aborder la méthode de Toepler qui date de 1865.
Vous vous attachez dans cet article à trouver le reste et la racine carrée entière du nombre suivant :
a=352621.
Afin de limiter le nombre de soustractions il est commode d’écrire $a$ par paquet de deux chiffres :
a=35\ 26\ 21.
Vous allez déterminer le reste et la racine carrée entière de $35$ puis de $35\ 26$ et enfin de $35\ 26\ 21.$
Première étape : racine carrée entière et reste de $35$
Vous effectuez la série de soustractions suivantes :
\begin{align*}
35 - 1 &= 34\\
34- 3&= 31\\
31-5&= 26\\
26-7&=19\\
19-9&=10\\
10-11 &= -1.
\end{align*}Vous prenez l’avant-dernière ligne et repérez le nombre impair $9$ qui est retranché. Vous effectuez :
\frac{9+1}{2} = 5.Remarquez aussi que ce nombre correspond au nombre de soustractions effectuées avant d’obtenir un résultat strictement négatif.
Donc la racine carrée entière de $35$ est $5.$ Le reste apparaît comme étant le dernier résultat positif des soustractions. Vous le lisez à l’avant-dernière ligne, il vaut $10.$
Ainsi :
\begin{align*}
35 &= 5^2+10\\
10&\in\llbracket 0, 10\rrbracket.
\end{align*}Deuxième étape : racine carrée entière et reste de $35\ 26$
Vous utilisez le fait que :
\begin{align*}
35\ 26 &= 35\times 100+26 \\
&=(5^2+10)\times 100+26\\
&=5^2\times 100 + 10\times 100+26\\
&=5^2\times 10^2+ 1026\\
&=50^2+1026.
\end{align*}Comme $1026\notin \llbracket 0, 100\rrbracket$, vous déduisez que $50$ n’est pas la racine carrée entière de $3526.$
Il a été vu dans le contenu rédigé dans l'article 298 que, si vous considérez la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par :
\begin{array}{l}
u_0 = 3526\\
\forall n\in\N, u_{n+1} = u_n-(2n+1)
\end{array}alors il existe un entier $q$ non nul qui est le rang minimum à partir duquel vous avez $u_q<0.$
La racine carrée entière de $3526$ est alors égale à $q-1.$
Or, la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ vérifie la propriété suivante :
\forall n\in\N, 3526=n^2+u_n.
En effectuant $n=50$, vous déduisez :
3526=50^2+u_{50}.Or :
3526 = 50^2+1026.
Vous déduisez donc :
u_{50} = 1026.Vous avez donc économisé un grand nombre de soustractions sur la suite $(u_n)_{n\geq 0}.$
Vous poursuivez maintenant les soustractions.
Comme $u_{51} = u_{50} – 101$ il vient ce qui suit.
\begin{align*}
1026 - 101 &=925\\
925 - 103 &=822\\
822-105 &=717\\
717-107 &=610\\
610-109 &=501\\
501-111 &=390\\
390-113&=277\\
277-115&=162\\
162-117&=45\\
45-119&=-74.
\end{align*}L’avant-dernier nombre impair est $117.$
\frac{117+1}{2}=\frac{118}{2}=59.Cela revient à dire que $u_{59} = 45.$
Donc :
3526 = 59^2+45.
Comme $45\in \llbracket 0, 118\rrbracket$ vous déduisez que $59$ est la racine carrée entière de $3526$ et que $45$ est le reste.
Dernière étape : racine carrée entière et reste de $35\ 26\ 21$
Vous reprenez le raisonnement de la deuxième étape.
\begin{align*}
35\ 26\ 21 &= 3526\times 100 + 21\\
&=(59^2+45)\times 100+21\\
&=59^2\times 10^2+4521\\
&=590^2+4521.
\end{align*}
Afin de ne pas alourdir les notations, vous redéfinissez la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ en posant :
\begin{array}{l}
u_0 = 352621\\
\forall n\in\N, u_{n+1} = u_n-(2n+1).
\end{array}L’égalité précédente prouve que $u_{590} = 4521.$
Vous avez donc $u_{591} = u_{590}- 1181.$
Vous aurez remarqué que le nombre impair $1181$ s’obtient en doublant le nombre $59$ soit $118$, et en « collant » le chiffre $1$ à droite. Cela revient à effectuer l’opération $59\times 2\times 10+1$ ce qui est exactement $2\times 590+1.$
Vous calculez les termes suivants de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ à partir du rang $591$ :
\begin{align*}
4521 - 1181 &= 3340\\
3340 - 1183 &=2157\\
2157-1185 &= 972\\
972-1187&=-215.
\end{align*}Pour trouver le rang de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ associé au terme $972$, il suffit de prendre le nombre impair retranché à l’avant-dernière ligne, puis d’effectuer ce calcul :
\frac{1185+1}{2} = \frac{1186}{2}=593.Ainsi, $u_{593} = 785.$
Vous déduisez donc :
352621=593^2+972.
Comme $972\in\llbracket 0, 1186\rrbracket$ vous concluez.
La racine carrée entière de $352621$ est égale à $593$ et son reste est $972.$
Un exemple amélioré
Soit à calculer la racine carrée entière de $p = 7569.$
Vous exprimez ce nombre par tranche de deux chiffres : $p=75\ 69.$
Connaissant la liste de vos carrés de $1$ à $10$ vous notez que $7^2 = 49$, $8^2 = 64$ et $9^2 = 81.$
Donc $75 = 8^2+r$ où $r = 75-64 = 11.$ Comme $r\in\llbracket 0, 16\rrbracket$ vous avez trouvé la racine carrée entière ainsi que le reste de $75$ :
75 = 8^2+11.
En multipliant par $100$ vous déduisez :
7500 = 80^2+1100.
En ajoutant $69$ il vient :
7569 = 80^2+1169.
Vous effectuez maintenant des soustractions en partant du double de $80$ auquel vous ajoutez $1$ ce qui donne $161.$
\begin{array}{l|l}
1169 - 161 = 1008 & 7569 = 81^2+1008\\
1008 - 163 =845& 7569 = 82^2+845\\
845-165 =680& 7569 = 83^2+680\\
680-167=513& 7569 = 84^2+513\\
513-169=344& 7569 = 85^2+344\\
344-171=173& 7569 = 86^2+173\\
173-173=0 & 7569 = 87^2.
\end{array}
Le nombre $7569$ est un carré parfait puisque le reste est nul. C’est le carré de $87.$
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