299. Existence et unicité de la racine carrée entière et du reste d’un entier naturel (3/3)

Grâce à deux autres articles, consacrés à la racine carrée entière d’un entier naturel et à son calcul par soustractions successives, il est possible d’aborder la méthode de Toepler qui date de 1865.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 297.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 298.

Pour rappel, la racine carrée entière d’un entier naturel $a$ est l’unique entier naturel $s$ tel que $a = s^2+r$ avec $r\in\llbracket 0, 2s\rrbracket.$ L’entier $r$ est appelé le reste.

Vous vous attachez dans ce contenu à trouver le reste et la racine carrée entière du nombre suivant :

a=352621.

Afin de limiter le nombre de soustractions il est commode d’écrire $a$ par paquets de deux chiffres :

a=35\ 26\ 21.

Vous allez déterminer le reste et la racine carrée entière de $35$ puis de $35\ 26$ et enfin de $35\ 26\ 21.$

Première étape : racine carrée entière et reste de $35$

Vous effectuez la série de soustractions suivantes, en retranchant les nombres impairs successifs :

\begin{align*} 35 – 1 &= 34\\ 34- 3&= 31\\ 31-5&= 26\\ 26-7&=19\\ 19-9&=10\\ 10-11 &= -1. \end{align*}

Vous prenez l’avant-dernière ligne et repérez le nombre impair $9$ qui est retranché. Vous effectuez :

\frac{9+1}{2} = 5.

Remarquez aussi que ce nombre correspond au nombre de soustractions effectuées avant d’obtenir un résultat strictement négatif.

Donc la racine carrée entière de $35$ est $5.$ Le reste apparaît comme étant le dernier résultat positif des soustractions. Vous le lisez à l’avant-dernière ligne, il vaut $10.$

Ainsi :

\begin{align*} 35 &= 5^2+10\\ 10&\in\llbracket 0, 10\rrbracket. \end{align*}

Deuxième étape : racine carrée entière et reste de $35\ 26$

Vous utilisez le fait que :

\begin{align*} 35\ 26 &= 35\times 100+26 \\ &=(5^2+10)\times 100+26\\ &=5^2\times 100 + 10\times 100+26\\ &=5^2\times 10^2+ 1026\\ &=50^2+1026. \end{align*}

Comme $1026\notin \llbracket 0, 100\rrbracket\comma$ vous déduisez que $50$ n’est pas la racine carrée entière de $3526.$

Il a été vu dans l’un des articles cités en introduction que, si vous considérez la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par :

\begin{array}{l} u_0 = 3526\\ \forall n\in\N, u_{n+1} = u_n-(2n+1) \end{array}

alors il existe un entier $q$ non nul qui est le plus petit rang tel que $u_q\lt0.$

La racine carrée entière de $3526$ est alors égale à $q-1.$

Or, comme $1+3+\cdots+(2n-1) = n^2\comma$ la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ vérifie la propriété suivante :

\forall n\in\N, 3526=n^2+u_n.

En prenant $n=50\comma$ vous déduisez :

3526=50^2+u_{50}.

Or :

3526 = 50^2+1026.

Vous déduisez donc :

u_{50} = 1026.

Vous avez donc économisé cinquante soustractions sur la suite $(u_n)_{n\geq 0}.$

Vous poursuivez maintenant les soustractions.

Comme $u_{51} = u_{50} – 101$ il vient ce qui suit.

\begin{align*} 1026 – 101 &=925\\ 925 – 103 &=822\\ 822-105 &=717\\ 717-107 &=610\\ 610-109 &=501\\ 501-111 &=390\\ 390-113&=277\\ 277-115&=162\\ 162-117&=45\\ 45-119&=-74. \end{align*}

Le nombre impair retranché à l’avant-dernière ligne est $117.$ Vous effectuez :

\frac{117+1}{2}=\frac{118}{2}=59.

Cela revient à dire que $u_{59} = 45.$

Donc :

3526 = 59^2+45.

Comme $45\in \llbracket 0, 118\rrbracket$ vous déduisez que $59$ est la racine carrée entière de $3526$ et que $45$ est le reste.

Dernière étape : racine carrée entière et reste de $35\ 26\ 21$

Vous reprenez le raisonnement de la deuxième étape.

\begin{align*} 35\ 26\ 21 &= 3526\times 100 + 21\\ &=(59^2+45)\times 100+21\\ &=59^2\times 10^2+4521\\ &=590^2+4521. \end{align*}

Afin de ne pas alourdir les notations, vous redéfinissez la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ en posant :

\begin{array}{l} u_0 = 352621\\ \forall n\in\N, u_{n+1} = u_n-(2n+1). \end{array}

Comme précédemment, vous avez $352621 = n^2+u_n$ pour tout entier naturel $n.$ L’égalité précédente prouve donc que $u_{590} = 4521.$

Vous avez donc $u_{591} = u_{590}- 1181.$

Vous aurez remarqué que le nombre impair $1181$ s’obtient en doublant le nombre $59\comma$ soit $118\comma$ et en « collant » le chiffre $1$ à droite. Cela revient à effectuer l’opération $59\times 2\times 10+1$ ce qui est exactement $2\times 590+1.$

Vous calculez les termes suivants de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ à partir du rang $591\comma$ ce qui donne :

\begin{align*} 4521 – 1181 &= 3340\\ 3340 – 1183 &=2157\\ 2157-1185 &= 972\\ 972-1187&=-215. \end{align*}

Pour trouver le rang de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ associé au terme $972\comma$ il suffit de prendre le nombre impair retranché à l’avant-dernière ligne, puis d’effectuer ce calcul :

\frac{1185+1}{2} = \frac{1186}{2}=593.

Ainsi, $u_{593} = 972.$

Vous déduisez donc :

352621=593^2+972.

Comme $972\in\llbracket 0, 1186\rrbracket$ vous concluez.

La racine carrée entière de $352621$ est égale à $593$ et son reste est $972.$

Un exemple amélioré

Soit à calculer la racine carrée entière de $p = 7569.$

Vous exprimez ce nombre par tranches de deux chiffres : $p=75\ 69.$

Connaissant la liste des carrés des entiers de $1$ à $10\comma$ vous notez que $7^2 = 49\comma$ $8^2 = 64$ et $9^2 = 81.$

Donc $75 = 8^2+r$ où $r = 75-64 = 11.$ Comme $r\in\llbracket 0, 16\rrbracket$ vous avez trouvé la racine carrée entière ainsi que le reste du nombre $75\comma$ ce qui s’écrit :

75 = 8^2+11.

En multipliant par $100$ vous déduisez :

7500 = 80^2+1100.

En ajoutant $69$ il vient :

7569 = 80^2+1169.

Vous effectuez maintenant des soustractions en partant du double de $80$ auquel vous ajoutez $1$ ce qui donne $161.$ La colonne de droite indique l’égalité obtenue après chaque soustraction.

\begin{array}{l|l} 1169 – 161 = 1008 & 7569 = 81^2+1008\\ 1008 – 163 =845& 7569 = 82^2+845\\ 845-165 =680& 7569 = 83^2+680\\ 680-167=513& 7569 = 84^2+513\\ 513-169=344& 7569 = 85^2+344\\ 344-171=173& 7569 = 86^2+173\\ 173-173=0 & 7569 = 87^2. \end{array}

Le nombre $7569$ est un carré parfait puisque le reste est nul. C’est le carré de $87.$