Soit à résoudre l’équation suivante :
4x+3y+2z+7t=15
où les inconnues $x\comma$ $y\comma$ $z$ et $t$ sont des nombres entiers relatifs.
Note. Une telle équation est qualifiée de diophantienne.
Utilisez des matrices pour limiter le nombre d’inconnues
Définissez la matrice ligne suivante :
A=\begin{pmatrix} 4&3&2&7 \end{pmatrix}.
Pour tout $(x,y,z,t)\in\Z^4$ vous notez $X$ le vecteur colonne défini par :
X=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
t
\end{pmatrix}.
Enfin, vous notez $B$ la matrice suivante qui ne comporte qu’un seul coefficient :
B = \begin{pmatrix}
15
\end{pmatrix}.
L’équation à quatre inconnues de départ revient à résoudre l’équation suivante :
\boxed{AX=B}
où la seule inconnue est $X.$
L’idée est d’écrire $A = SQ$ où $S$ est une matrice ligne très simple et où $Q$ est une matrice carrée inversible, à coefficients entiers, dont l’inverse est aussi à coefficients entiers. Le changement d’inconnue $X’ = QX$ transformera alors toute solution entière en une solution entière, et réciproquement.
Exprimez la matrice $A$ avec des matrices élémentaires
Un objectif premier : faire apparaître le $\pgcd$ des coefficients
Le plus grand diviseur commun des entiers $4\comma$ $3\comma$ $2$ et $7$ est $1.$
Démonstration. En effet, soit $d$ un diviseur commun positif des entiers $4\comma$ $3\comma$ $2$ et $7.$
Comme $d\mid 7$ et que $7$ est premier vous avez $d\in\{1,7\}.$ Si $d=7\comma$ alors $7\mid 2$ donc $7\leq 2$ ce qui est absurde.
Du coup, $d=1.$
Le nombre $1$ étant le seul diviseur commun positif aux quatre entiers $4\comma$ $3\comma$ $2$ et $7$ il vient :
\pgcd(4,3,2,7)=1.\ \blacksquare
Ce $\pgcd$ va être placé en première position, puis va être utilisé pour faire apparaître des zéros.
Une transvection pour le $\pgcd$
Vous souhaitez passer de la matrice $A$ à la matrice suivante :
\begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}.
Cela revient à remplacer la colonne $C_1$ par $C_1-C_2$ au niveau de la matrice $A.$ En effet :
\begin{pmatrix} 4&3&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}.
Vous déduisez que vous pouvez passer de la matrice $\begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}$ à la matrice $\begin{pmatrix} 4&3&2&7 \end{pmatrix}$ en remplaçant la colonne $C_1$ par la colonne $C_1+C_2.$ En effet :
\begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&3&2&7 \end{pmatrix}.
Ainsi :
A = \begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
Une transvection et un premier zéro
Vous allez dans la suite passer de la matrice $\begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}$ à la matrice $\begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}\comma$ ce qui revient à remplacer la colonne $C_2$ par la colonne $C_2-3C_1.$ En effet :
\begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & -3 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}.
Vous déduisez que vous pouvez passer de la matrice $\begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}$ à la matrice $\begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}$ en remplaçant la colonne $C_2$ par la colonne $C_2+3C_1.$ Cela donne :
\begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}.
Du coup :
\begin{align*}
A
&= \begin{pmatrix} 1&3&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 3 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 3 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Une transvection et un deuxième zéro
De même, vous pouvez passer de la matrice $\begin{pmatrix} 1&0&0&7 \end{pmatrix}$ à la matrice $\begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}$ en remplaçant la colonne $C_3$ par la colonne $C_3+2C_1.$ En effet :
\begin{pmatrix} 1&0&0&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}.
Du coup :
\begin{align*}
A
&=\begin{pmatrix} 1&0&2&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 3 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 1&0&0&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 3 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 1&0&0&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 3 & 2 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Une transvection et un troisième zéro
Enfin, vous pouvez passer de la matrice $\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \end{pmatrix}$ à la matrice $\begin{pmatrix} 1&0&0&7 \end{pmatrix}$ en remplaçant la colonne $C_4$ par la colonne $C_4+7C_1.$ En effet :
\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 7\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0&7 \end{pmatrix}.
Du coup :
\begin{align*}
A
&=\begin{pmatrix} 1&0&0&7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 3 & 2 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 7\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 3 & 2 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 3 & 2 & 7\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Pour la suite, vous posez :
\boxed{\begin{align*}
S &= \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \end{pmatrix}\\
Q &= \begin{pmatrix}
4 & 3 & 2 & 7\\
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{align*}}
Alors :
\boxed{A = SQ.}
Montrez que la matrice $Q$ est inversible et que les coefficients de $Q^{-1}$ sont des entiers
La matrice $Q$ est le produit de quatre matrices de transvection qui ont pour déterminant $1.$ Ainsi, par produit des déterminants, $\det Q = 1.$ Comme $\det Q \neq 0\comma$ la matrice $Q\in \mathscr{M}_4(\Q)$ est inversible.
En notant $Q^{*}$ la comatrice de $Q\comma$ vous avez :
Q^{-1} = \frac{1}{\det Q}\ {}^{t}(Q^{*}) = {}^{t}(Q^{*}).
Or, comme $Q$ est à coefficients entiers, ses cofacteurs, qui sont des déterminants de matrices à coefficients entiers, sont des entiers. Il en est donc de même de $Q^{*}$ et de sa transposée.
Donc $Q^{-1}$ est à coefficients entiers.
Calculez la matrice $Q^{-1}$
Quels que soient $(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\Q^4$ et $(y_1,y_2,y_3,y_4)\in\Q^4\comma$ vous avez les équivalences suivantes :
\begin{align*}
Q\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
y_4
\end{pmatrix}
&\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{lllll}
4x_1 &+3x_2 &+2x_3 &+ 7x_4 &= y_1\\
\hphantom{4}x_1&+\hphantom{3}x_2&&&=y_2\\
&&\hphantom{+2}x_3&&=y_3\\
&&&\hphantom{+7}x_4&=y_4
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{lllll}
\hphantom{4}x_1&+\hphantom{3}x_2&&&=y_2\\
4x_1 &+3x_2 &+2x_3 &+ 7x_4 &= y_1\\
&&\hphantom{+2}x_3&&=y_3\\
&&&\hphantom{+7}x_4&=y_4
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{lllll}
\hphantom{4}x_1&+\hphantom{3}x_2&&&=y_2\\
&-\hphantom{3}x_2 &+2x_3 &+ 7x_4 &= y_1-4y_2\\
&&\hphantom{+2}x_3&&=y_3\\
&&&\hphantom{+7}x_4&=y_4
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{ll}
x_1&=y_2-x_2\\
x_2&=2x_3+7x_4-y_1+4y_2\\
x_3&=y_3\\
x_4 &= y_4
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{ll}
x_1&=y_2-x_2\\
x_2&=-y_1+4y_2+2y_3+7y_4\\
x_3&=y_3\\
x_4 &= y_4
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{ll}
x_1&=y_2+y_1-4y_2-2y_3-7y_4\\
x_2&=-y_1+4y_2+2y_3+7y_4\\
x_3&=y_3\\
x_4 &= y_4
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{ll}
x_1&=y_1-3y_2-2y_3-7y_4\\
x_2&=-y_1+4y_2+2y_3+7y_4\\
x_3&=y_3\\
x_4 &= y_4
\end{array}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & -3 & -2 & -7\\
-1 & 4 & 2 & 7\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
y_3\\
y_4
\end{pmatrix}.
\end{align*}
La deuxième équivalence échange les deux premières lignes, la troisième remplace la deuxième ligne par elle-même diminuée de quatre fois la première. Du coup :
Q^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -3 & -2 & -7\\
-1 & 4 & 2 & 7\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
Les coefficients de $Q^{-1}$ sont bien des entiers.
Résolvez l’équation $4x + 3y + 2z + 7t = 15$ pour $(x,y,z,t)\in\Z^4$
Analyse
Soit $(x,y,z,t)\in\Z^4$ tel que $4x+3y+2z+7t=15.$
Vous posez :
X'=QX=\begin{pmatrix}
4x+3y+2z+7t\\
x+y\\
z\\
t
\end{pmatrix}.
Posez encore :
\left\{\begin{align*}
x' &= 4x+3y+2z+7t\\
y'&=x+y\\
z'&=z\\
t'&=t.
\end{align*}\right.
Remarquez que $(x’,y’,z’,t’)\in\Z^4.$
Vous déduisez successivement :
\begin{array}{l}
AX=B\\
SQX=B\\
SX'=B\\
\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'\\
t'
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
15
\end{pmatrix}\\
x'=15\\
X'=\begin{pmatrix}
15\\
y'\\
z'\\
t'
\end{pmatrix}\\
QX=\begin{pmatrix}
15\\
y'\\
z'\\
t'
\end{pmatrix}\\
X = Q^{-1} \begin{pmatrix}
15\\
y'\\
z'\\
t'
\end{pmatrix}\\
X = \begin{pmatrix}
1 & -3 & -2 & -7\\
-1 & 4 & 2 & 7\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
15\\
y'\\
z'\\
t'
\end{pmatrix}\\
X = \begin{pmatrix}
15-3y'-2z'-7t'\\
-15+4y'+2z'+7t'\\
z'\\
t'
\end{pmatrix}.
\end{array}
En définitive, en posant $m = y’\comma$ $n = z’$ et $p = t’\comma$ il existe trois entiers relatifs $m\comma$ $n$ et $p$ tels que :
\left\{\begin{align*}
x&=15-3m-2n-7p\\
y&=-15+4m+2n+7p\\
z&=n\\
t&=p.
\end{align*}
\right.
Synthèse
Soit $(m,n,p)\in\Z^3.$
Vous posez :
\left\{\begin{align*}
x&=15-3m-2n-7p\\
y&=-15+4m+2n+7p\\
z&=n\\
t&=p.
\end{align*}
\right.
Les nombres $x\comma$ $y\comma$ $z$ et $t$ sont des entiers relatifs. Par ailleurs :
\begin{align*}
4x+3y+2z+7t &= 4(15-3m-2n-7p)\\
&\qquad+3(-15+4m+2n+7p)\\
&\qquad +2n+7p\\
&=60-12m-8n-28p\\
&\qquad -45+12m+6n+21p\\
&\qquad+2n+7p\\
&=15.
\end{align*}
Concluez
L’ensemble des solutions entières de l’équation est décrit par l’équivalence suivante :
\boxed{\forall (x,y,z,t)\in\Z^4,\ 4x+3y+2z+7t=15 \Longleftrightarrow
\left[
\exists(m,n,p)\in\Z^3, \left\{\begin{align*}
x&=15-3m-2n-7p\\
y&=-15+4m+2n+7p\\
z&=n\\
t&=p
\end{align*}
\right.
\right].
}
