Notez $u$ le nombre réel défini par :
\boxed{u=2+\sqrt{2}.}Le titre amène à rechercher tous les polynômes $P\in\Z[X]$ de degré 2 tels que :
P(u)=0.
Note. Vous remarquez que :
u-2 = \sqrt{2}.En élevant au carré, vous obtenez :
\begin{align*}
(u-2)^2 &= 2\\
u^2-4u+4 &= 2\\
u^2-4u+2&=0.
\end{align*}
Vous déduisez que $u$ est annulé par le polynôme $X^2-4X+2$ qui est de degré $2$ et à coefficients entiers.
La question qui se pose est la suivante : existe-t-il d’autres polynômes de degré $2$, à coefficients entiers, annulant le réel $2+\sqrt{2}$ ? Plusieurs approches sont possibles.
Dans la suite de cet article, vous procèderez comme si vous ne saviez pas précisément que $X^2-4X+2$ est un polynôme qui annule le réel $u.$ L’avantage de cette approche est de retrouver ce résultat autrement et de répondre à la question posée. La recherche des solutions entières d’un système d’équations linéaires à coefficients entiers sera effectuée avec le calcul matriciel.
Analysez le problème
Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers, de degré $2$, tel que :
P(u)=0.
Obtenez un système d’équations
Il existe des nombres $a\in\ZZ$, $b\in\Z$ et $c\in\Z$ tels que :
\begin{align*}
au^2+bu+c&=0\\
a(4+2+4\sqrt{2})+b(2+\sqrt{2})+c&=0\\
(6a+2b+c)+(4a+b)\sqrt{2}&=0.
\end{align*}Supposez un instant que $4a+b$ soit non nul.
Alors :
\sqrt{2}=-\frac{6a+2b+c}{4a+b}.Cette écriture impliquerait que $\sqrt{2}\in\Q$, autrement dit $\sqrt{2}$ serait rationnel.
Ceci contredit le contenu rédigé dans l'article 122 dans lequel il est démontré que $\sqrt{2}\notin\Q.$
Vous déduisez que :
4a+b=0.
Comme :
(6a+2b+c)+(4a+b)\sqrt{2}=0vous déduisez :
6a+2b+c=0.
Utilisez des matrices pour résoudre le système obtenu
D’après ce qui précède, vous avez obtenu :
\begin{pmatrix}
6 & 2 & 1\\
4 & 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ b\\ c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\ 0
\end{pmatrix}.Vous posez maintenant :
\boxed{A = \begin{pmatrix}
6 & 2 & 1\\
4 & 1 & 0
\end{pmatrix}
}et vous cherchez à simplifier $A$ en la multipliant par des matrices inversibles, à coefficients entiers, dont les inverses restent à coefficients entiers. Il suffit d’utiliser des matrices de permutation et de transvection, en lien avec les opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice $A.$
Simplifiez la matrice $A$ avec des multiplications
D’une part, vous échangez les colonnes $1$ et $3$ de la matrice $A$ vous obtenez :
A \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 6 \\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}.Vous remplacez la colonne $2$ par elle-même ôtée du double de la colonne $1$, vous obtenez :
A \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}.Cela s’écrit :
A \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & -2 & 0\\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 4
\end{pmatrix}.Enfin, vous remplacez la colonne $3$ par elle-même à laquelle vous enlevez quatre fois la colonne $2$ et six fois la colonne $1$, pour conclure :
A \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0\\
1 & -2 & 0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -6\\
0 & 1 & -4\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.A
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & -4\\
1 & -2 & 2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.Vous notez :
\boxed{P = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & -4\\
1 & -2 & 2
\end{pmatrix}
}et remarquez que :
\boxed{AP = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.}Calculez l’inverse de la matrice $P$
Vous résolvez le système suivant :
\left\{\begin{align*}
x_3 &= y_1\\
x_2-4x_3&=y_2\\
x_1-2x_2+2x_3&=y_3.
\end{align*}\right.\left\{\begin{align*}
x_3 &= y_1\\
x_2&=y_2+4x_3\\
x_1-2x_2+2x_3&=y_3.
\end{align*}\right.\left\{\begin{align*}
x_3 &= y_1\\
x_2&=4y_1+y_2\\
x_1-2x_2+2x_3&=y_3.
\end{align*}\right.\left\{\begin{align*}
x_3 &= y_1\\
x_2&=4y_1+y_2\\
x_1&=2x_2-2x_3+y_3.
\end{align*}\right.\left\{\begin{align*}
x_3 &= y_1\\
x_2&=4y_1+y_2\\
x_1&=8y_1+2y_2-2y_1+y_3.
\end{align*}\right.\left\{\begin{align*}
x_1&=6y_1+2y_2+y_3\\
x_2&=4y_1+y_2\\
x_3 &= y_1.
\end{align*}\right.La matrice $P$ est inversible et :
\boxed{P^{-1} = \begin{pmatrix}
6 & 2 & 1\\
4 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
}Déduisez-en les valeurs possibles de $a$, $b$ et $c$
De l’égalité :
A\begin{pmatrix}
a\\ b\\ c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\ 0
\end{pmatrix}vous forcez l’apparition de la matrice $P$ et de son inverse :
APP^{-1}\begin{pmatrix}
a\\ b\\ c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\ 0
\end{pmatrix}.Cela fournit :
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}P^{-1}\begin{pmatrix}
a\\ b\\ c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\ 0
\end{pmatrix}.Soient alors $m$, $n$ et $p$ les trois entiers définis par :
\left\{\begin{align*}
m &=6a+2b+c\\
n&=4a+b\\
p &=a.
\end{align*}
\right.Vous avez :
\begin{pmatrix}
m\\ n\\ p
\end{pmatrix} = P^{-1}\begin{pmatrix}
a\\ b\\ c
\end{pmatrix}.Donc :
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m\\ n\\ p
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\ 0
\end{pmatrix}.Si bien que $m=n=0$, ce qui est logique vous retrouvez bien les équations satisfaites par $a$, $b$ et $c.$
Ainsi :
\begin{pmatrix}
0\\ 0\\ p
\end{pmatrix} = P^{-1}\begin{pmatrix}
a\\ b\\ c
\end{pmatrix}.Cela fournit immédiatement :
\begin{pmatrix}
a\\ b\\ c
\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}
0\\ 0\\ p
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p\\ -4p\\ 2p \end{pmatrix} .Comme $a = p$ et que $a$, coefficient dominant, est non nul, vous déduisez que $p\neq 0.$
En conclusion de cette analyse, il existe un entier $p$ non nul tel que :
P(X) = p(X^2-4X+2).
Synthèse
Il a été vu que $u^2-4u+2 = 0.$
Ainsi, quel que soit $p\in\ZZ$, $p(u^2-4u+2) = 0.$
Donc quel que soit $p\in\ZZ$ le polynôme $p(X^2-4X+2)$ est bien à coefficients entiers, de degré $2$ et annulateur du réel $2+\sqrt{2}.$
Concluez
Pour tout polynôme $P$ de degré $2$ à coefficients entiers, il y a équivalence entre les propositions suivantes :
- le polynôme $P$ annule le réel $2+\sqrt{2}$ ;
- il existe un entier $p$ non nul tel que $P(X) = p(X^2-4X+2).$
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