301. Quels sont les polynômes à coefficients entiers, de degré 2, qui sont annulateurs du réel 2 plus racine de 2?

Notez $u$ le nombre réel défini par :

\boxed{u=2+\sqrt{2}.}

Le problème consiste à rechercher tous les polynômes $P\in\Z[X]$ de degré $2$ tels que :

P(u)=0.

Note. Vous remarquez que :

u-2 = \sqrt{2}.

En élevant au carré, vous obtenez :

\begin{align*} (u-2)^2 &= 2\\ u^2-4u+4 &= 2\\ u^2-4u+2&=0. \end{align*}

Vous déduisez que $u$ est annulé par le polynôme $X^2-4X+2$ qui est de degré $2$ et à coefficients entiers.

La question qui se pose est la suivante : existe-t-il d’autres polynômes de degré $2\comma$ à coefficients entiers, qui annulent ce réel ? Plusieurs approches sont possibles.

Dans la suite de ce contenu, vous procéderez comme si vous ne saviez pas que $X^2-4X+2$ est un polynôme qui annule le réel $u.$ L’avantage de cette approche est de retrouver ce résultat autrement et de répondre à la question posée. La recherche des solutions entières d’un système d’équations linéaires à coefficients entiers sera effectuée avec le calcul matriciel.

Analysez le problème

Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers, de degré $2\comma$ tel que :

P(u)=0.

Obtenez un système d’équations

Il existe des nombres $a\in\ZZ\comma$ $b\in\Z$ et $c\in\Z$ tels que $P(X) = aX^2+bX+c.$ Comme $u^2 = 4+4\sqrt{2}+2\comma$ l’égalité $P(u)=0$ s’écrit :

\begin{align*} au^2+bu+c&=0\\ a(4+2+4\sqrt{2})+b(2+\sqrt{2})+c&=0\\ (6a+2b+c)+(4a+b)\sqrt{2}&=0. \end{align*}

Supposez un instant que $4a+b$ soit non nul.

Alors :

\sqrt{2}=-\frac{6a+2b+c}{4a+b}.

Cette écriture impliquerait que $\sqrt{2}\in\Q\comma$ autrement dit $\sqrt{2}$ serait rationnel. Ceci contredit le fait que $\sqrt{2}$ est irrationnel, résultat démontré dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 122.

Vous déduisez que :

4a+b=0.

Comme :

(6a+2b+c)+(4a+b)\sqrt{2}=0

vous déduisez :

6a+2b+c=0.

Utilisez des matrices pour résoudre le système obtenu

D’après ce qui précède, vous avez obtenu :

\begin{pmatrix} 6 & 2 & 1\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}.

Vous posez maintenant :

\boxed{A = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1\\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}}

et vous cherchez à simplifier $A$ en la multipliant à droite par des matrices inversibles, à coefficients entiers, dont les inverses restent à coefficients entiers. Il suffit d’utiliser des matrices de permutation et de transvection, en lien avec les opérations élémentaires sur les colonnes de la matrice $A.$ Le fait que les inverses soient à coefficients entiers garantit que le changement d’inconnues effectué plus loin transforme des triplets d’entiers en triplets d’entiers, et réciproquement.

Simplifiez la matrice $A$ avec des multiplications

D’une part, vous échangez les colonnes $1$ et $3$ de la matrice $A$ et vous obtenez :

A \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

Vous remplacez la colonne $2$ par elle-même diminuée du double de la colonne $1$ et vous obtenez :

A \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

Cela s’écrit :

A \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.

Enfin, vous remplacez la colonne $3$ par elle-même à laquelle vous enlevez quatre fois la colonne $2$ et six fois la colonne $1\comma$ ce qui donne :

A \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -6\\ 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

En effectuant le produit des deux matrices carrées, il vient :

A \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -4\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Vous notez $Q$ la matrice suivante, afin de ne pas la confondre avec le polynôme étudié :

\boxed{Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -4\\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}}

et remarquez que :

\boxed{AQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.}

Calculez l’inverse de la matrice $Q$

Vous résolvez le système suivant, d’inconnues $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3\comma$ qui traduit l’égalité matricielle $QX = Y.$

\left\{\begin{align*} x_3 &= y_1\\ x_2-4x_3&=y_2\\ x_1-2x_2+2x_3&=y_3. \end{align*}\right.

Il vient successivement :

\left\{\begin{align*} x_3 &= y_1\\ x_2&=y_2+4x_3\\ x_1-2x_2+2x_3&=y_3. \end{align*}\right.

\left\{\begin{align*} x_3 &= y_1\\ x_2&=4y_1+y_2\\ x_1-2x_2+2x_3&=y_3. \end{align*}\right.

\left\{\begin{align*} x_3 &= y_1\\ x_2&=4y_1+y_2\\ x_1&=2x_2-2x_3+y_3. \end{align*}\right.

\left\{\begin{align*} x_3 &= y_1\\ x_2&=4y_1+y_2\\ x_1&=8y_1+2y_2-2y_1+y_3. \end{align*}\right.

\left\{\begin{align*} x_1&=6y_1+2y_2+y_3\\ x_2&=4y_1+y_2\\ x_3 &= y_1. \end{align*}\right.

Le système admet une unique solution pour tout second membre, donc la matrice $Q$ est inversible et :

\boxed{Q^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 1\\ 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.}

Les matrices $Q$ et $Q^{-1}$ sont bien toutes deux à coefficients entiers.

Déduisez-en les valeurs possibles de $a\comma$ $b$ et $c$

De l’égalité :

A\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}

vous forcez l’apparition de la matrice $Q$ et de son inverse :

AQQ^{-1}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}.

Cela fournit :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}Q^{-1}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}.

Soient alors $m\comma$ $n$ et $p$ les trois entiers définis par :

\left\{\begin{align*} m &=6a+2b+c\\ n&=4a+b\\ p &=a. \end{align*} \right.

Vous avez :

\begin{pmatrix} m\\ n\\ p \end{pmatrix} = Q^{-1}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}.

Donc :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m\\ n\\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}.

Si bien que $m=n=0.$ C’est logique : vous retrouvez les équations satisfaites par $a\comma$ $b$ et $c.$

Ainsi :

\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ p \end{pmatrix} = Q^{-1}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}.

En multipliant à gauche par $Q\comma$ vous obtenez immédiatement :

\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} = Q\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ -4p\\ 2p \end{pmatrix}.

Comme $a = p$ et que $a\comma$ coefficient dominant de $P\comma$ est non nul, vous déduisez que $p\neq 0.$

En conclusion de cette analyse, il existe un entier $p$ non nul tel que :

P(X) = p(X^2-4X+2).

Synthèse

Il a été vu que $u^2-4u+2 = 0.$

Ainsi, quel que soit $p\in\ZZ\comma$ vous avez $p(u^2-4u+2) = 0.$

Donc, quel que soit $p\in\ZZ\comma$ le polynôme $p(X^2-4X+2)$ est bien à coefficients entiers, de degré $2$ et annulateur du réel $2+\sqrt{2}.$

Concluez

Pour tout polynôme $P$ de degré $2$ à coefficients entiers, il y a équivalence entre les propositions suivantes :

le polynôme $P$ s’annule en $2+\sqrt{2}\comma$ c’est-à-dire que ce réel en est une racine ;
il existe un entier $p$ non nul tel que $P(X) = p(X^2-4X+2).$