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302. Munissez l’ensemble des réels strictement positifs d’une structure d’espace vectoriel réel

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Ce contenu présente un exemple d’espace vectoriel inattendu : l’ensemble des nombres réels strictement positifs, muni d’une « addition » qui est en fait la multiplication usuelle, et d’une « multiplication par un scalaire » qui est en fait l’élévation à une puissance.

Définissez une addition interne et une multiplication externe

L’ensemble $\R_{+}^{*}$ des nombres réels strictement positifs va être muni d’une opération interne notée $\oplus$ définie de la façon suivante :

\begin{array}{lll} \oplus : & \R_{+}^{*} \times \R_{+}^{*} & \to \R_{+}^{*}\\ &(x,y) &\mapsto xy. \end{array}

Cette opération est bien interne, puisque le produit de deux réels strictement positifs est strictement positif.

Tout élément de $\R_{+}^{*}$ va pouvoir être multiplié par un élément du corps $\R\comma$ via la multiplication externe notée $\odot$ définie par :

\begin{array}{lll} \odot : & \R \times \R_{+}^{*} & \to \R_{+}^{*}\\ &(\lambda ,x) &\mapsto x^{\lambda}. \end{array}

Pour tout réel $\lambda$ et pour tout réel $x$ strictement positif, le nombre $x^{\lambda} = \e^{\lambda\ln x}$ est bien défini et strictement positif : la multiplication externe est donc bien à valeurs dans $\R_{+}^{*}.$

Note. Les éléments du corps $\R$ sont appelés scalaires et ceux de l’ensemble $\R_{+}^{*}$ sont appelés vecteurs.

Vérifiez les quatre axiomes de l’addition interne

Associativité de l’addition

Soit $(x,y,z)\in(\R_{+}^{*})^3.$ D’une part :

\begin{align*} (x\oplus y) \oplus z &= (xy) \oplus z \\ &= (xy)z\\ &=xyz. \end{align*}

D’autre part :

\begin{align*} x\oplus (y \oplus z) &= x \oplus (yz) \\ &= x(yz)\\ &=xyz. \end{align*}

Vous déduisez :

\boxed{\forall (x,y,z)\in(\R_{+}^{*})^3, (x\oplus y) \oplus z = x\oplus (y \oplus z).}

Commutativité de l’addition

Soit $(x,y)\in(\R_{+}^{*})^2.$ Comme la multiplication usuelle de deux réels est commutative, vous déduisez successivement :

\begin{align*} x\oplus y&= xy\\ &= yx\\ &=y\oplus x. \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall (x,y)\in(\R_{+}^{*})^2, x\oplus y = y\oplus x.}

Existence d’un élément neutre pour l’addition

Soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Comme $1$ est neutre pour la multiplication usuelle des réels, vous avez :

\begin{align*} 1\oplus x &= 1x\\ &=x. \end{align*}

Compte tenu de la commutativité de $\oplus\comma$ le réel $1$ est l’élément neutre de l’addition interne :

\boxed{\forall x\in \R_{+}^{*}, 1 \oplus x = x\oplus 1 = x.}

Note. Le « vecteur nul » de cet espace vectoriel est donc le réel $1.$

Existence d’un opposé pour l’addition

Soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Comme $x$ est non nul, il admet un inverse noté $\frac{1}{x}.$ Comme $x$ est strictement positif, $\frac{1}{x}$ l’est aussi. Dès lors :

\begin{align*} x\oplus \frac{1}{x} &= x\times \frac{1}{x} \\ &= 1. \end{align*}

Tout vecteur $x$ admet donc pour opposé le réel $\frac{1}{x}\comma$ ce qui s’écrit :

\boxed{\forall x\in \R_{+}^{*}, \exists y\in\R_{+}^{*}, x \oplus y = y\oplus x = 1.}

Vérifiez les quatre axiomes de la multiplication externe

Distributivité par rapport à l’addition des scalaires

Soit $(\lambda, \mu)\in\R^2$ et soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Vous avez :

\begin{align*} (\lambda + \mu)\odot x &= x^{\lambda+\mu}\\ &= x^{\lambda} x^{\mu}\\ &= (\lambda \odot x) (\mu \odot x)\\ &= (\lambda \odot x) \oplus (\mu \odot x). \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall (\lambda, \mu)\in\R^2, \forall x\in\R_{+}^{*}, (\lambda+\mu)\odot x =( \lambda\odot x) \oplus (\mu \odot x).}

Distributivité par rapport à l’addition des vecteurs

Soit $\lambda\in\R$ et soit $(x,y)\in(\R_{+}^{*})^2.$ Vous avez :

\begin{align*} \lambda \odot (x\oplus y) &= \lambda\odot (xy) \\ &= (xy)^{\lambda}\\ &= x^{\lambda} y^{\lambda}\\ &= (\lambda \odot x)(\lambda \odot y)\\ &= (\lambda \odot x)\oplus(\lambda \odot y). \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall \lambda\in\R, \forall (x,y)\in(\R_{+}^{*})^2, \lambda \odot (x\oplus y) = (\lambda \odot x)\oplus(\lambda \odot y).}

Compatibilité de la multiplication des réels avec la multiplication externe

Soit $(\lambda, \mu)\in\R^2$ et soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Vous avez :

\begin{align*} (\lambda \mu) \odot x &=x^{\lambda \mu}\\ &= (x^{\mu})^{\lambda}\\ &= (\mu \odot x)^\lambda\\ &= \lambda\odot(\mu \odot x). \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall (\lambda, \mu)\in\R^2, \forall x\in\R_{+}^{*}, (\lambda \mu) \odot x = \lambda\odot(\mu \odot x).}

Compatibilité du neutre de la multiplication des réels

Soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Vous avez :

\begin{align*} 1 \odot x &= x^1\\ &= x. \end{align*}

Ainsi :

\boxed{\forall x\in\R_{+}^{*}, 1 \odot x = x.}

Concluez

Comme les huit axiomes sont vérifiés, les deux opérations $\oplus$ et $\odot$ confèrent à l’ensemble $\R_{+}^{*}$ une structure de $\R$-espace vectoriel.

Note. Ce résultat s’explique par la fonction logarithme népérien. Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs et pour tout réel $\lambda\comma$ vous avez $\ln(x\oplus y) = \ln x + \ln y$ et $\ln(\lambda\odot x) = \lambda \ln x.$ La fonction $\ln\comma$ qui réalise une bijection de $\R_{+}^{*}$ sur $\R\comma$ transporte ainsi les opérations $\oplus$ et $\odot$ sur l’addition et la multiplication usuelles de $\R.$ L’espace vectoriel obtenu est donc de dimension $1.$ Tout réel strictement positif différent de $1\comma$ par exemple $\e\comma$ en constitue une base.