Définissez une addition interne et une multiplication externe
L’ensemble $\R_{+}^{*}$ des nombres réels strictement positifs va être muni d’une opération interne notée $\oplus$ définie de la façon suivante :
\begin{array}{lll}
\oplus: & \R_{+}^{*} \times \R_{+}^{*} & \to \R_{+}^{*}\\
&(x,y) &\mapsto xy.
\end{array}Tout élément de $\R_{+}^{*}$ va pouvoir être multiplié par un élément du corps $\R$, via la multiplication externe notée $\odot$ définie par :
\begin{array}{lll}
\odot: & \R \times \R_{+}^{*} & \to \R_{+}^{*}\\
&(\lambda ,x) &\mapsto x^{\lambda}.
\end{array}Note. Les éléments du corps $\R$ sont appelés scalaires et ceux de l’ensemble $\R_{+}^{*}$ sont appelés vecteurs.
Vérifiez les quatre axiomes de l’addition interne
Associativité de l’addition
Soit $(x,y,z)\in(\R_{+}^{*})^3.$ D’une part :
\begin{align*}
(x\oplus y) \oplus z &= (xy) \oplus z \\
&= (xy)z\\
&=xyz.
\end{align*}
D’autre part :
\begin{align*}
x\oplus (y \oplus z) &= x \oplus (yz) \\
&= x(yz)\\
&=xyz.
\end{align*}
Vous déduisez :
\boxed{\forall (x,y,z)\in(\R_{+}^{*})^3, (x\oplus y) \oplus z = x\oplus (y \oplus z).}Commutativité de l’addition
Soit $(x,y)\in(\R_{+}^{*})^2.$ Comme la multiplication usuelle de deux réels est commutative, vous déduisez successivement :
\begin{align*}
x\oplus y&= xy\\
&= yx\\
&=y\oplus x.
\end{align*}\boxed{\forall (x,y)\in(\R_{+}^{*}), x\oplus y = y\oplus x.}Existence d’un élément neutre pour l’addition
Soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Comme $1$ est neutre pour la multiplication usuelle des réels, vous avez :
\begin{align*}
1\oplus x &= 1x\\
&=x.
\end{align*}\boxed{\forall x\in \R_{+}^{*}, 1 \oplus x = x.}Existence d’un opposé pour l’addition
Soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Comme $x$ est non nul, il admet un inverse noté $\frac{1}{x}.$ Comme $x$ est strictement positif, $\frac{1}{x}$ l’est aussi. Dès lors :
\begin{align*}
x\oplus \left(\frac{1}{x}\right) &= x\times \frac{1}{x} \\
&= 1.
\end{align*}
\boxed{\forall x\in \R_{+}^{*}, \exists y\in\R_{+}^{*}, x \oplus y = 1.}Vérifiez les quatre axiomes de la multiplication externe
Distributivité par rapport à l’addition des scalaires
Soit $(\lambda, \mu)\in\R^2$ et soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Vous avez :
\begin{align*}
(\lambda + \mu)\odot x &= x^{\lambda+\mu}\\
&= x^{\lambda} x^{\mu}\\
&= (\lambda \odot x) (\mu \odot x)\\
&= (\lambda \odot x) \oplus (\mu \odot x).
\end{align*}
\boxed{\forall (\lambda, \mu)\in\R^2, \forall x\in\R_{+}^{*}, (\lambda+\mu)\odot x =( \lambda\odot x) \oplus (\mu \odot x).}Distributivité par rapport à l’addition des vecteurs
Soit $\lambda\in\R$ et soit $(x,y)\in(\R_{+}^{*})^2.$ Vous avez :
\begin{align*}
\lambda \odot (x\oplus y) &= \lambda\odot (xy) \\
&= (xy)^{\lambda}\\
&= x^{\lambda} y^{\lambda}\\
&= (\lambda \odot x)(\lambda \odot y)\\
&= (\lambda \odot x)\oplus(\lambda \odot y).
\end{align*}\boxed{\forall \lambda\in\R, \forall (x,y)\in(\R_{+}^{*})^2, \lambda \odot (x\oplus y) = (\lambda \odot x)\oplus(\lambda \odot y).}Compatibilité de la multiplication des réels avec la multiplication externe
Soit $(\lambda, \mu)\in\R^2$ et soit $x\in\R_{+}^{*}.$ Vous avez :
\begin{align*}
(\lambda \mu) \odot x &=x^{\lambda \mu}\\
&= (x^{\mu})^{\lambda}\\
&= (\mu \odot x)^\lambda\\
&= \lambda\odot(\mu \odot x).
\end{align*}\boxed{\forall (\lambda, \mu)\in\R^2, \forall x\in\R_{+}^{*}, (\lambda \mu) \odot x = \lambda\odot(\mu \odot x).}Compatibilité du neutre de la multiplication des réels
Soit $x\in\R_{+}^{*}.$
\begin{align*}
1 \odot x &= x^1\\
&= x.
\end{align*}
\boxed{\forall x\in\R_{+}^{*}, 1 \odot x = x.}Concluez
Comme les huit axiomes sont vérifiés, les deux opérations $\oplus$ et $\odot$ confèrent à l’ensemble $\R_{+}^{*}$ une structure de $\R$-espace vectoriel.
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