303. Factorisation de certains nombres entiers (1/3)

Vous vous intéressez à des nombres entiers de deux sortes :

ceux dont les derniers chiffres ne sont que des $9$ comme $99$, $199$…
ceux dont le dernier chiffre est $1$, le premier chiffre étant supérieur à $1$ et tous les autres égaux à $0$ (exemples : $101$, $201$…)

Pour de tels nombres vous allez chercher ceux qui sont premiers et si ce n’est pas le cas, vous les factoriserez comme produits de nombres premiers.

Quelques généralités

Nombres premiers

Pour rappel, un entier naturel est dit premier, si et seulement si, il admet exactement deux diviseurs. Ainsi $1$ n’est pas premier car il admet un seul diviseur. $2$ est premier car il n’est divisible que par $1$ et $2.$ Par contre, $9$ n’est pas premier puisqu’il est divisible par $1$, $3$ et $9.$

Une propriété essentielle des nombres premiers réside dans le lemme d’Euclide. Si $p$ est un nombre premier divisant un produit $ab$ de deux entiers naturels $a$ et $b$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b.$ Une preuve directe de ce résultat se trouve dans le contenu rédigé dans l'article 126. Elle utilise des outils plus avancés que ceux décrits dans cet article.

La contraposée de ce lemme sera beaucoup utilisée dans cet article : si $a$ et $b$ sont deux entiers qui ne sont ni l’un ni l’autre multiples d’un nombre premier $p$, alors le produit $ab$ n’est pas un multiple de $p.$

Tout nombre entier supérieur ou égal à $2$ qui n’est pas premier est dit composé. Tout nombre composé admet un diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée. Ce résultat est important car il permet d’en déduire, toujours par contraposée, que si un nombre supérieur ou égal à $2$ n’admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée, alors il est premier.

Tests de divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $11$

Un nombre entier est divisible par $2$, si et seulement si, son chiffre des unités est pair.

Un nombre entier est divisible par $3$, si et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par $3.$

Un nombre entier est divisible par $5$, si et seulement si, son chiffre des unités est $0$ ou $5.$

Un nombre entier est divisible par $11$, si et seulement si, la somme alternée de ses chiffres en partant des unités est divisible par $11.$

La méthode qui sera utilisée suppose que le nombre à tester ne soit pas trop grand. Elle effectue des tests de divisibilité par des nombres premiers.

Testez le nombre $99$

Vous allez systématiquement suivre la démarche suivante, en essayant de voir si $99$ peut être d’abord divisé par un nombre premier, en commençant par $2$.

Comme $99$ a son chiffre des unités qui est $9$, un chiffre impair, vous déduisez que $99$ n’est pas divisible par $2$.
Vous passez au nombre premier suivant qui est $3.$
Il apparaît que $99$ est divisible par $3$, puisque $99 = 3\times 33.$
Vous recommencez maintenant avec le nombre $33$, mais inutile de repartir du départ pour les nombres premiers. Vous êtes toujours à $3$ comme nombre premier. Vous testez si $33$ est un divisible par $3$. C’est bien le cas puisque $33 = 3\times 11.$
Continuant avec $11$, vous souhaitez savoir s’il est divisible par $3$. La somme de ses chiffres est égale à $2$ qui n’est pas un multiple de $3$, donc $11$ n’est pas divisible par $3.$ Il vous faut donc passer au nombre premier qui suit, qui est $5.$
Or, comme $5^2 = 25$ et que $25 > 11$ il apparaît que $11$ ne peut être composé. Donc il est premier.

En définitive, une factorisation en produit de nombres premiers de $99$ est :

\boxed{99 = 3\times 3 \times 11.}

Testez le nombre $101$

Comme $101$ a son chiffre des unités qui est $1$, un chiffre impair, vous déduisez que $101$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $101$ vaut $2$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $101$ n’est pas divisible par $3.$
Le nombre $101$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $101$ par $7.$ Comme $70$ est un multiple de $7$, vous calculez la différence $101-70 = 31.$ Vous poursuivez avec $31$ auquel vous retirez un multiple de $7$. Le nombre $28$ convient bien. $31-28 = 3.$ Comme $3$ n’est pas un multiple de $7$, il en résulte que $31$ ne l’est pas non plus et donc $101$ non plus. $101$ n’est pas divisible par $7.$
Le nombre premier qui suit est $11.$ Or $11^2 = 121$ et $121 > 101.$ Par suite, $101$ ne peut être composé.

\boxed{\text{Le nombre }101\text{ est premier}.}

Testez le nombre $199$

Comme $199$ a son chiffre des unités qui est $9$, un chiffre impair, vous déduisez que $199$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $199$ vaut $19$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $199$ n’est pas divisible par $3.$
Le nombre $199$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $199$ par $7.$ Comme $210$ est un multiple de $7$, vous calculez la différence $210-199 = 11.$ Comme $11$ n’est pas un multiple de $7$, il en résulte que $199$ n’est pas divisible par $7.$
Le nombre premier qui suit est $11.$ Effectuez la somme alternée des chiffres de $199$ en commençant par son chiffre des unités. Cela fournit $9-9+1 = 1.$ Comme $1$ n’est pas un multiple de $11$ vous déduisez que $199$ n’est pas un multiple de $11.$
Le nombre premier qui suit est $13.$ Comme $39$ est un multiple de $13$ vous effectuez la soustraction $199-39 = 160.$ Maintenant, $16$ n’est pas un multiple de $13.$ Or $10$ n’est pas un multiple de $13$ non plus, donc, par contraposée du lemme d’Euclide, vous déduisez que $160$ n’est pas un multiple de $13.$ Donc $199$ n’est pas un multiple de $13.$
Le nombre premier qui suit est $17.$ Or, $17^2 = 289$ et $289>199$ donc $199$ n’est pas composé.

\boxed{\text{Le nombre }199\text{ est premier}.}

Testez le nombre $201$

Comme $201$ a son chiffre des unités qui est $1$, un chiffre impair, vous déduisez que $201$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $201$ vaut $3$ donc $201$ est divisible par $3.$ Vous cherchez à déterminer le quotient de la division de $201$ par $3.$ En ajoutant $9$, multiple de $3$ à $201$, vous obtenez $201+9 = 210$ soit $210-9=201.$ En divisant par $3$ cette égalité, il vient $70-3 = 67.$ Donc $201 = 3\times 67.$
La somme des chiffres de $67$ est égale à $13$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $67$ n’est pas un multiple de $3.$
Le nombre $67$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $67$ par $7.$ Comme $70$ est un multiple de $7$, vous effectuez la soustraction $70-67=3$ qui n’est pas un multiple de $7.$ Donc $67$ n’est pas un multiple de $7.$
Le nombre premier qui suit est $11$ et $11^2=121.$ Or $121 > 67$ donc $67$ est un nombre premier.

En définitive, une factorisation en produit de nombres premiers de $201$ est :

\boxed{201 = 3\times 67.}

Testez le nombre $299$

Comme $299$ a son chiffre des unités qui est $9$, un chiffre impair, vous déduisez que $299$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $299$ vaut $20$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $299$ n’est pas divisible par $3.$
Le nombre $299$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $299$ par $7.$ Comme $49$ est un multiple de $7$, vous calculez la différence $299-49 = 250.$ Comme $25$ n’est pas un multiple de $7$, et comme $10$ n’est pas un multiple de $7$, la contraposée du lemme d’Euclide permet d’en déduire que $299$ n’est pas divisible par $7.$
Le nombre premier qui suit est $11.$ Vous calculez la somme alternée des chiffres de $299$ en partant du chiffre des unités. $9-9+2 = 2.$ Or $2$ n’est pas un multiple de $11$ donc $299$ n’est pas un multiple de $11.$
Le nombre premier qui suit est $13.$ Comme $39$ est un multiple de $13$ vous effectuez la soustraction $299-39 = 260.$ Or $26$ est un multiple de $13.$ De $26 = 13\times 2$ vous déduisez $260 = 13\times 20.$ Or $39 = 13\times 3.$ Par somme vous déduisez $299 = 13\times 23.$
Comme $13^2 = 169$ et comme $169 > 23$, vous déduisez que $23$ est un nombre premier.

En définitive, une factorisation en produit de nombres premiers de $299$ est :

\boxed{299 = 13\times 23.}

Testez le nombre $301$

Comme $301$ a son chiffre des unités qui est $1$, un chiffre impair, vous déduisez que $301$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $301$ vaut $4$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $301$ n’est pas divisible par $3.$
Le nombre $301$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $301$ par $7.$ Comme $21$ est un multiple de $7$, vous calculez la différence $301-21= 280.$ Comme $28 = 7\times 4$ il vient $280 = 7\times 40.$ Or $21 = 7\times 3$ et par somme $301 = 7\times 43.$
Comme $43$ n’est pas un multiple de $7$ et comme $7^2 = 49$ vous avez $49 > 43$ donc $43$ est un nombre premier.

En définitive, une factorisation en produit de nombres premiers de $301$ est :

\boxed{301 = 7\times 43.}

Testez le nombre $399$

Comme $399$ a son chiffre des unités qui est $9$, un chiffre impair, vous déduisez que $399$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $399$ vaut $21$ qui est un multiple de $3$. En décomposant vous avez $399 = 300+99$ d’où après division par $3$, $100+33 = 133$ donc $399=3\times 133.$
La somme des chiffres du nombre $133$ est égale à $7$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $133$ n’est pas divisible par $3.$
Le nombre $133$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $133$ par $7.$ Partant de $21 = 7\times 3$, après multiplication par $3$, il vient $63 = 7\times 9.$ Par soustraction, $133-63 = 70$ qui est un multiple de $7$ donc $133$ est un multiple de $7.$ La décomposition $133 = 63+70$ fournit, après division par $7$, $9+10 = 19.$ Donc $133 = 7\times 19.$
Comme $7^2 = 49$ et comme $49 > 19$ il s’ensuit que $19$ est un nombre premier.

En définitive, une factorisation en produit de nombres premiers de $399$ est :

\boxed{399 = 3\times 7\times 19.}

Testez le nombre $401$

Comme $401$ a son chiffre des unités qui est $1$, un chiffre impair, vous déduisez que $401$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $401$ vaut $5$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $401$ n’est pas divisible par $3.$
Le nombre $401$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $401$ par $7.$ Partant de $399$ qui est un multiple de $7$, vous effectuez la soustraction $401-399 = 2.$ $2$ n’étant pas un multiple de $7$ vous déduisez que $401$ n’est pas un multiple de $7.$
Le nombre premier qui suit est $11.$ Vous calculez la somme alternée des chiffres de $401$ en partant du chiffre des unités. $1-0+4 = 5.$ Or $5$ n’est pas un multiple de $11$ donc $401$ n’est pas un multiple de $11.$
Le nombre premier qui suit est $13.$ Comme $39$ est un multiple de $13$ vous effectuez l’addition $401+39 = 440.$ Or, ni $44$ ni $10$ ne sont des multiples de $13.$ Par contraposée du lemme d’Euclide, le produit $440$ n’est pas un multiple de $13$ donc $401$ n’est pas un multiple de $13.$
Le nombre premier qui suit est $17.$ Comme $51 = 17\times 3$ vous effectuez la soustraction $401-51 = 350.$ Or, $35$ n’est pas un multiple de $17.$ $10$ n’en est pas un non plus. Par contraposée du lemme d’Euclide, le produit $350$ n’est pas un multiple de $17$ donc $401$ n’est pas un multiple de $17.$
Le nombre premier qui suit est $19.$ Vous effectuez l’addition $401+19 =420.$ Or, $42$ n’est pas un multiple de $19.$ $10$ n’en est pas un non plus. Par contraposée du lemme d’Euclide, le produit $420$ n’est pas un multiple de $19$ donc $401$ n’est pas un multiple de $19.$
Le nombre premier qui suit est $23.$ Or $23^2 = 529.$ Comme $529>401$ vous aboutissez à la conclusion suivante.

\boxed{\text{Le nombre }401\text{ est premier}.}

Testez le nombre $499$

Comme $499$ a son chiffre des unités qui est $9$, un chiffre impair, vous déduisez que $499$ n’est pas divisible par $2.$
La somme des chiffres de $499$ vaut $22$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $499$ n’est pas divisible par $3.$
Le nombre $499$ ne finit ni par $0$, ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
Passez maintenant à la divisibilité de $499$ par $7.$ Partant de $399$ qui est un multiple de $7$, vous effectuez la soustraction $499-399 = 100.$ $10$ n’étant pas un multiple de $7$, par produit de $10$ avec lui-même, la contraposée du lemme d’Euclide permet de déduire que $100$ n’est pas un multiple de $7.$ Le nombre $499$ n’est pas un multiple de $7.$
Le nombre premier qui suit est $13.$ Un nombre utile est ici $299 = 13\times 23.$ vous effectuez la soustraction $499-299 = 200.$ Comme $20$ et $10$ ne sont pas des multiples de $13$, le produit $200$ n’en est pas un non plus, donc $499$ n’est pas un multiple de $13.$
Le nombre premier qui suit est $17.$ Un multiple commode de $17$ est $51.$ Par somme $499+51 = 550.$ Or, $5$ et $11$ ne sont pas des multiples de $17$ donc $55$ n’en est pas un. $10$ n’est pas un multiple de $17$ donc $550$ non plus. Du coup, $499$ n’est pas un multiple de $17.$
Le nombre premier qui suit est $19.$ Or, $399$ est un multiple de $19.$ Vous formez la différence $499-399 = 100.$
Comme $10$ et $10$ ne sont pas des multiples de $19$, le produit $100$ n’est pas un multiple de $19.$ Donc $499$ n’est pas un multiple de $19.$
Le nombre premier qui suit est $23.$ Comme $23^2 = 529$ et comme $529>499$ vous en déduisez ce qui suit.

\boxed{\text{Le nombre }499\text{ est premier}.}

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