Ce texte se situe dans le prolongement d’un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 303.

Pour chaque nombre étudié, vous testez sa divisibilité par les nombres premiers successifs, en utilisant les nombres magiques $49\comma$ $299\comma$ $301\comma$ $399$ et $51$ déjà rencontrés. Deux principes sont utilisés tout au long de ce contenu.

• Si un nombre premier $p$ différent de $2$ et de $5$ divise un nombre de la forme $10n\comma$ alors il divise $n.$ C’est une conséquence du lemme d’Euclide, puisque $p$ ne divise pas $10 = 2\times 5.$ Il en est de même avec $100n$ et $1\ 000n.$
• Un entier $n\geq 2$ qui n’admet aucun diviseur premier $p$ vérifiant $p^2\leq n$ est un nombre premier.

Testez le nombre $501$

• Le chiffre des unités de $501$ est $1\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $501$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $501$ vaut $6$ qui est un multiple de $3$ donc $501$ est divisible par $3.$ La soustraction $501-21 = 480$ permet de se ramener à $48.$ Or, $48-30 = 18.$ Donc $48 = 30+18.$
  En factorisant par $3\comma$ vous obtenez $48 = 3\times (10+6) = 3\times 16$ donc $480 = 3\times 160.$ Enfin, $501 = 21+480 = 3\times 7+3\times 160$ donc $501 = 3\times 167.$
• Le nombre $167$ est impair, donc il n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $167$ vaut $14$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $167$ n’est pas divisible par $3.$
• Le nombre $167$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $167$ par $7.$ En effectuant la soustraction $167-7$ vous trouvez $160.$ Or, $16$ n’est pas un multiple de $7\comma$ donc $160$ n’est pas un multiple de $7$ et $167$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $167$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $7-6+1 = 2$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $167$ n’est pas un multiple de $11.$
• Le nombre premier qui suit est $13.$ Or, $13^2 = 169$ et $169\gt167$ donc $167$ est un nombre premier.

En définitive :

Testez le nombre $599$

• Le chiffre des unités de $599$ est $9\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $599$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $599$ vaut $23$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $599$ n’est pas divisible par $3.$
• Le nombre $599$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $599$ par $7.$ Il a été vu que $399$ est un multiple de $7.$ En effectuant la soustraction $599-399$ vous trouvez $200 = 20\times 10.$ Or, $20$ n’est pas un multiple de $7\comma$ donc $200$ n’est pas un multiple de $7$ et $599$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $599$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $9-9+5 = 5$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $599$ n’est pas un multiple de $11.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $599$ par $13.$ Il a été vu que $299$ est un multiple de $13.$ En effectuant la soustraction $599-299$ vous arrivez à $300 = 30\times 10.$ Comme $30$ n’est pas un multiple de $13\comma$ vous déduisez que $300$ n’est pas un multiple de $13.$ Donc $599$ n’est pas un multiple de $13.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $599$ par $17.$ Le triple de $17$ vaut $51.$ Par somme $599+51 = 650.$ Or, $65$ n’est pas un multiple de $17.$ Donc $650$ n’est pas un multiple de $17\comma$ et $599$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $599$ par $19.$ Par différence $599-19 = 580.$ Or, $58$ n’est pas un multiple de $19.$ Donc $580$ n’est pas un multiple de $19\comma$ et $599$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $599$ par $23.$ Il a été vu que $299$ est un multiple de $23.$ Par différence $599-299 = 300.$ Or, $30$ n’est pas un multiple de $23.$ Donc $300$ n’est pas un multiple de $23\comma$ et $599$ n’en est pas un non plus.
• Le nombre premier qui suit est $29.$ Or, $29^2 = 841.$ Comme $841 \gt 599$ l’analyse est terminée.

Testez le nombre $601$

• Le chiffre des unités de $601$ est $1\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $601$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $601$ vaut $7$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $601$ n’est pas divisible par $3.$
• Le nombre $601$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $601$ par $7.$ Il a été vu que $399$ est un multiple de $7.$ En effectuant la somme $601+399$ vous trouvez $1\ 000.$ Or, le nombre premier $7$ ne divise pas $1\ 000\comma$ donc $601$ n’est pas un multiple de $7.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $601$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $1-0+6 = 7$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $601$ n’est pas un multiple de $11.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $601$ par $13.$ Il a été vu que $299$ est un multiple de $13.$ En effectuant la somme $601+299$ vous arrivez à $900 = 90\times 10.$ Comme $90$ n’est pas un multiple de $13\comma$ vous déduisez que $900$ n’est pas un multiple de $13.$ Donc $601$ n’est pas un multiple de $13.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $601$ par $17.$ Le triple de $17$ vaut $51.$ Par différence $601-51 = 550.$ Or, $55$ n’est pas un multiple de $17.$ Donc $550$ n’est pas un multiple de $17\comma$ et $601$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $601$ par $19.$ Par somme, $601+19 = 620.$ Or, $62$ n’est pas un multiple de $19.$ Donc $620$ n’est pas un multiple de $19\comma$ et $601$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $601$ par $23.$ Il a été vu que $299$ est un multiple de $23.$ Par somme $601+299 = 900.$ Or, $90$ n’est pas un multiple de $23.$ Donc $900$ n’est pas un multiple de $23\comma$ et $601$ n’en est pas un non plus.
• Le nombre premier qui suit est $29.$ Or, $29^2 = 841.$ Comme $841 \gt 601$ l’analyse est terminée.

Testez le nombre $699$

• Le chiffre des unités de $699$ est $9\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $699$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $699$ vaut $24$ qui est un multiple de $3$ donc $699$ est divisible par $3\comma$ avec $699=3\times 233.$
• Le nombre $233$ est impair, donc il n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $233$ vaut $8$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $233$ n’est pas divisible par $3.$
• Le nombre $233$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $233$ par $7.$ Par somme $233+7 = 240.$ Or $24$ n’est pas un multiple de $7$ donc $240$ n’est pas un multiple de $7\comma$ et $233$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $233$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $3-3+2 = 2$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $233$ n’est pas un multiple de $11.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $233$ par $13.$ Par différence, $233-13 = 220.$ Or $22$ n’est pas un multiple de $13$ donc $220$ n’est pas un multiple de $13\comma$ et $233$ n’en est pas un non plus.
• Le nombre premier qui suit est $17\comma$ or $17^2 = 289.$ Comme $289 \gt 233$ vous déduisez que $233$ est premier.

En définitive :

Testez le nombre $701$

• Le chiffre des unités de $701$ est $1\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $701$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $701$ vaut $8$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $701$ n’est pas divisible par $3.$
• Le nombre $701$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $701$ par $7.$ Par somme, $701+399 = 1\ 100.$ Or $11$ n’est pas un multiple de $7$ donc $1\ 100$ n’est pas un multiple de $7\comma$ et $701$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $701$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $1-0+7 = 8$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $701$ n’est pas un multiple de $11.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $701$ par $13.$ Par somme, $701+299 = 1\ 000.$ Or le nombre premier $13$ ne divise pas $1\ 000\comma$ donc $701$ n’est pas un multiple de $13.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $701$ par $17.$ Par différence, $701-51 = 650.$ Or $65$ n’est pas un multiple de $17$ donc $650$ n’est pas un multiple de $17\comma$ et $701$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $701$ par $19.$ Par somme, $701+19 = 720.$ Or $72$ n’est pas un multiple de $19$ donc $720$ n’est pas un multiple de $19\comma$ et $701$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $701$ par $23.$ Par somme, $701+299 = 1\ 000.$ Or le nombre premier $23$ ne divise pas $1\ 000\comma$ donc $701$ n’est pas un multiple de $23.$
• Le nombre premier qui suit est $29.$ Or $29^2 = 841.$ Comme $841 \gt 701$ l’analyse est terminée.

Testez le nombre $799$

• Le chiffre des unités de $799$ est $9\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $799$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $799$ vaut $25$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $799$ n’est pas divisible par $3.$
• Le nombre $799$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $799$ par $7.$ Par différence, $799-49 = 750.$ Or $75$ n’est pas un multiple de $7$ donc $750$ n’est pas un multiple de $7\comma$ et $799$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $799$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $9-9+7 = 7$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $799$ n’est pas un multiple de $11.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $799$ par $13.$ Par différence, $799-299 = 500.$ Or le nombre premier $13$ ne divise ni $5$ ni $100\comma$ donc $500$ n’est pas un multiple de $13\comma$ et $799$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $799$ par $17.$ Par somme, $799+51 = 850.$ Or $85 = 17\times 5$ donc $850 = 17\times 50.$ Donc $799 = 850-51 = 17\times 50 – 17\times 3 = 17\times 47.$
• Le nombre $47$ n’admet aucun diviseur premier strictement inférieur à $17\comma$ sinon $799$ en admettrait un. Comme $17^2 = 289$ et comme $289 \gt 47$ vous déduisez que $47$ est un nombre premier.

En définitive :

Testez le nombre $801$

• Le chiffre des unités de $801$ est $1\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $801$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $801$ vaut $9$ qui est un multiple de $3.$ Par somme $801+99 = 900$ donc $801 = 900-99.$ Après factorisation par $3$ il vient $801 = 3\times 300 – 3\times 33$ d’où $801 = 3\times 267.$
• La somme des chiffres de $267$ vaut $15$ qui est un multiple de $3.$ Par somme $267+3 = 270$ donc $267 = 270-3.$ Après factorisation par $3$ il vient $267 = 3\times 90 – 3\times 1$ d’où $267 = 3\times 89.$
• Le nombre $89$ est impair, donc il n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $89$ vaut $17$ qui n’est pas un multiple de $3.$ Donc $89$ n’est pas un multiple de $3.$
• Le nombre $89$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $89$ par $7.$ Par différence, $89-49 = 40.$ Or $4$ n’est pas un multiple de $7$ donc $40$ n’est pas un multiple de $7\comma$ et $89$ n’en est pas un non plus.
• Le nombre premier qui suit est $11.$ Or $11^2 = 121$ et $121\gt89$ donc $89$ est premier.

En définitive :

Testez le nombre $899$

• Le chiffre des unités de $899$ est $9\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $899$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $899$ vaut $26$ qui n’est pas un multiple de $3.$ Donc $899$ n’est pas un multiple de $3.$
• Le nombre $899$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $899$ par $7.$ Par différence, $899-399 = 500.$ Or le nombre premier $7$ ne divise ni $5$ ni $100\comma$ donc $899$ n’est pas un multiple de $7.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $899$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $9-9+8 = 8$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $899$ n’est pas un multiple de $11.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $899$ par $13.$ Par différence, $899-299 = 600.$ Or $6$ n’est pas un multiple de $13$ donc $600$ n’est pas un multiple de $13\comma$ et $899$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $899$ par $17.$ Par somme, $899+51 = 950.$ Or $95 = 5\times 19$ n’est pas un multiple de $17$ donc $950$ n’est pas un multiple de $17\comma$ et $899$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $899$ par $19.$ Par différence, $899-19 = 880.$ Or $88$ n’est pas un multiple de $19$ donc $880$ n’est pas un multiple de $19\comma$ et $899$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $899$ par $23.$ Il a été vu que $299$ est un multiple de $23.$ Par différence, $899-299 = 600.$ Or $6$ n’est pas un multiple de $23$ donc $600$ n’est pas un multiple de $23\comma$ et $899$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $899$ par $29.$ Par différence, $899-29 = 870.$ Or $87 = 3\times 29$ donc $870 = 29\times 30$ et $899 = 29\times 30+29 = 29\times 31.$
• Le nombre $31$ n’est divisible ni par $2\comma$ ni par $3\comma$ ni par $5$ et $7^2 = 49 \gt 31.$ Vous retrouvez ainsi que $31$ est un nombre premier.

Du coup :

Testez le nombre $901$

• Le chiffre des unités de $901$ est $1\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $901$ n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $901$ vaut $10$ qui n’est pas un multiple de $3.$ Donc $901$ n’est pas un multiple de $3.$
• Le nombre $901$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $901$ par $7.$ Il a été vu que $301$ est un multiple de $7.$ Par différence, $901-301 = 600.$ Or $6$ n’est pas un multiple de $7$ donc $901$ n’est pas un multiple de $7.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $901$ par $11.$ En effectuant la somme alternée de ses chiffres en partant des unités, il vient $1-0+9 = 10$ qui n’est pas un multiple de $11.$ Donc $901$ n’est pas un multiple de $11.$
• Passez maintenant à la divisibilité de $901$ par $13.$ Par somme, $901+299 = 1\ 200.$ Or $12$ n’est pas un multiple de $13$ donc $1\ 200$ n’est pas un multiple de $13\comma$ et $901$ n’en est pas un non plus.
• Passez maintenant à la divisibilité de $901$ par $17.$ Par somme, $901+799 = 1\ 700.$ Or $799 = 17\times 47$ et $1\ 700 = 17\times 100$ donc par différence $901 = 1\ 700-799 = 17\times 100 – 17\times 47$ d’où $901 = 17\times 53.$
• Le nombre $53$ n’admet aucun diviseur premier strictement inférieur à $17\comma$ sinon $901$ en admettrait un. Par somme $53+17 = 70.$ Or ni $7$ ni $10$ ne sont des multiples de $17$ donc $53$ n’est pas divisible par $17.$
• Le nombre premier qui suit est $19.$ Or $19^2 = 361$ et $361 \gt 53$ donc $53$ est premier.

En définitive :

Testez le nombre $999$

• Le chiffre des unités de $999$ est $9\comma$ un chiffre impair : vous déduisez que $999$ n’est pas divisible par $2.$
• D’autre part, $999 = 3\times 333.$
• De même $333 = 3\times 111.$
• La somme des chiffres de $111$ est $3$ donc $111$ est divisible par $3.$ Par somme $111+9 = 120$ donc par différence $111 = 120-9 = 3\times 40-3\times 3 = 3\times 37.$
• Le nombre $37$ est impair, donc il n’est pas divisible par $2.$
• La somme des chiffres de $37$ est $10$ qui n’est pas un multiple de $3$ donc $37$ n’est pas divisible par $3.$
• Le nombre $37$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ donc il n’est pas divisible par $5.$
• Comme $7^2 = 49$ et comme $49\gt37$ vous retrouvez que $37$ est un nombre premier.

Finalement :