305. Factorisation de certains nombres entiers (3/3)

Soit $p$ un nombre premier. Vous appellerez nombre magique de $p$ tout multiple de ce nombre premier qui vérifie l’une des deux conditions suivantes :

soit il ne comporte que des chiffres $9\comma$ excepté éventuellement son chiffre le plus à gauche ;
soit il se termine par une séquence $0\cdots 01$ et comporte, à gauche de cette séquence, un seul chiffre, non nul.

Exemples. Le nombre $299$ est un nombre magique de $13\comma$ puisque $299 = 13\times 23.$
Le nombre $10\ 001$ est un nombre magique de $73$ puisque $10\ 001 = 73\times 137.$

Attention cependant : $2\ 701 = 73\times 37.$ Or, $2\ 701$ n’est pas magique puisque, à gauche de sa séquence $01\comma$ il comporte deux chiffres au lieu d’un seul.

Note. Autrement dit, un nombre magique de $p\comma$ où $p$ est un nombre premier, désigne tout multiple de $p$ de la forme $a\times 10^b + 1$ ou $a\times 10^b – 1$ où $a\in\llbracket 1, 9\rrbracket$ et $b\in\NN.$

Pourquoi des nombres magiques ?

Ils sont utiles pour effectuer des tests de divisibilité.

Exemple. Déterminez si le nombre $2\ 327$ est un multiple de $13.$

Il a été cité le nombre magique $299$ qui est un multiple de $13.$ Ainsi, il va être possible d’éliminer les deux derniers chiffres de $2\ 327$ comme suit. Vous ajoutez à $2\ 327$ un multiple de $299\comma$ donc de $13\comma$ pour former un nombre qui se termine par deux zéros. Comme $299 = 300-1\comma$ il suffit d’ajouter $27\times 299.$

\begin{align*} 2\ 327 + 27\times 299 &= 2\ 327 + 27\times (300-1)\\ &= 2\ 327 + 8\ 100 – 27\\ &=2\ 300+8\ 100\\ &=10\ 400\\ &=104\times 100. \end{align*}

Comme $27\times 299$ est un multiple de $13\comma$ le nombre $2\ 327$ est un multiple de $13$ si et seulement si $104\times 100$ en est un. Le nombre premier $13$ ne divisant ni $2$ ni $5\comma$ il ne divise pas $100.$ Il reste donc à savoir si $104$ est un multiple de $13$ ou non.

Or, par différence, vous avez :

104 - 91 = 13.

Comme $91 = 7\times 13\comma$ le nombre $104$ est un multiple de $13.$ Plus précisément, $104 = 8\times 13.$

Par suite, $2\ 327$ est un multiple de $13.$ Vous pouvez d’ailleurs vérifier que $2\ 327 = 13\times 179.$

Tableau des premiers nombres magiques

Les multiples de $2\comma$ $3$ et $5$ étant rapidement reconnaissables, les nombres premiers $2\comma$ $3$ et $5$ ont été omis dans le tableau. Ci-dessous se trouvent les nombres magiques d’au plus $4$ chiffres pour les nombres premiers compris entre $7$ et $100.$

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & \text{2 chiffres} & \text{3 chiffres} & \text{4 chiffres}\\ \hline 7 & 21, 49, 91& 301, 399 & 1001, 5999, 8001 \\ \hline 11 & 11, 99 & &1001, 9999 \\ \hline 13 & 39,91 & 299 & 1001 \\ \hline 17 & 51 & 799, 901 & 6001 \\ \hline 19 & 19 & 399 & 7999 \\ \hline 23 & 69 & 299 & 2001 \\ \hline 29 & 29 & 899 & 2001 \\ \hline 31 & 31 & 899 & 3999 \\ \hline 37 & & 999 & \\ \hline 41 & 41 & & \\ \hline 43 & & 301 & 3999 \\ \hline 47 & & 799 & \\ \hline 53 & &901 & \\ \hline 59 & 59 & & \\ \hline 61 & 61 & & \\ \hline 67 & & 201 & \\ \hline 71 & 71 & & \\ \hline 73 & & & \\ \hline 79 & 79 & & \\ \hline 83 & & & \\ \hline 89 & 89 & 801 & \\ \hline 97 & & & \\ \hline \end{array}

Les nombres premiers inférieurs ou égaux à $31$ possèdent plusieurs nombres magiques.

De $37$ jusqu’à $97\comma$ les nombres premiers n’admettent qu’un seul nombre magique ou aucun, à l’exception de $43$ et de $89$ qui en admettent deux.

Vous constatez la présence de trois nombres premiers délicats, à savoir $73\comma$ $83$ et $97\comma$ qui ne possèdent aucun nombre magique d’au plus quatre chiffres.

Pour en savoir davantage, vous poussez la recherche jusqu’à trouver le nombre magique suivant, pour les nombres premiers du tableau précédent n’ayant au plus qu’un seul nombre magique.

Allez plus loin avec les grands nombres

La palme revient au nombre premier $83$ qui admet comme premier nombre magique un nombre à $16$ chiffres, ce qui rend en pratique le résultat difficilement applicable.

Le nombre $999\ 999$ est un nombre magique de $37.$
Le nombre $99\ 999$ est un nombre magique de $41.$
Le nombre $300\ 001$ est un nombre magique de $47.$
Le nombre $40\ 000\ 001$ est un nombre magique de $53.$
Le nombre $20\ 001$ est un nombre magique de $59.$
Le nombre $9\ 000\ 001$ est un nombre magique de $61.$
Le nombre $39\ 999$ est un nombre magique de $67.$
Le nombre $1\ 999\ 999$ est un nombre magique de $71.$
Le nombre $10\ 001$ est un nombre magique de $73.$
Le nombre $9\ 999\ 999\ 999\ 999$ est un nombre magique de $79.$
Le nombre $2\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999$ est un nombre magique de $83.$
Le nombre $599\ 999\ 999$ est un nombre magique de $97.$

Ces résultats ont été obtenus par une recherche systématique. La construction d’un nombre magique peut néanmoins être menée à la main, comme le montre la section suivante dans le cas du nombre premier $73.$

Comment construire un nombre magique ?

Soit à trouver un nombre magique de $73$ qui se termine par la séquence de chiffres $0\cdots01.$

Vous partez de $73$ et cherchez un chiffre par lequel le multiplier pour obtenir un nombre se terminant par le chiffre $1.$

Vous n’avez pas le choix : c’est le chiffre $7$ que vous devez choisir.

73\times 7 = 511.

Partant de $511\comma$ vous devez lui ajouter un multiple de $73$ qui se termine par la séquence $90\comma$ afin d’obtenir un nombre se terminant par $01.$ Là encore le choix est vite réduit.

\begin{align*} 73\times 3 &= 219\\ 73\times 30 &= 2\ 190. \end{align*}

Par somme, il vient :

\begin{align*} 73\times 37 &= 73\times 30 + 73\times 7\\ &=2\ 190+511\\ &=2\ 701. \end{align*}

Pour que le chiffre $7$ de $2\ 701$ passe à $0\comma$ dans l’idée d’avoir une séquence qui se termine par $001\comma$ vous n’avez guère le choix.

\begin{align*} 73\times 1 &= 73\\ 73\times 100 &= 7\ 300. \end{align*}

Par somme, il vient :

\begin{align*} 73\times 137 &= 7\ 300+ 2\ 701\\ &=10\ 001. \end{align*}

Le nombre $10\ 001$ est bien un nombre magique de $73.$

Concluez

Les nombres magiques restent utiles et pratiques pour effectuer une décomposition mentale de nombres entiers en produit de facteurs premiers, à condition que le nombre de chiffres ne soit pas trop important.

Les nombres magiques commencent à montrer leurs limites quand il s’agit d’effectuer des tests sur de grands nombres, un domaine qui fait l’objet de nombreux travaux mathématiques encore aujourd’hui.

Des exemples d’utilisation des nombres magiques, pour les nombres premiers $13\comma$ $17$ et $37\comma$ sont traités dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 306.