Soit $p$ un nombre premier. Vous appellerez nombre magique de $p$ tout multiple de $p$ :
- soit qui ne comporte que des $9$ excepté, éventuellement son chiffre le plus à gauche ;
- soit un nombre qui finit par une séquence $0\cdots 01$ et comportant à gauche de cette séquence un chiffre non nul.
Exemples. Le nombre $299$ est un nombre magique de $13$, puisque $299 = 13\times 23.$
Le nombre $10\ 001$ est un nombre magique de $73$ puisque $10\ 001 = 73\times 137.$
Attention cependant : $2701 = 73\times 37.$ Or, $2701$ n’est pas magique puisque, à gauche de sa séquence $01$ il comporte deux chiffres au lieu d’un seul.
Note. Un nombre magique de $p$ où $p$ est un nombre premier désigne tout multiple de $p$ de la forme $a\times 10^b \pm 1$ où $a\in\llbracket 1, 9\rrbracket$ et $b\in\NN.$
Pourquoi des nombres magiques ?
Ils sont utiles pour effectuer des tests de divisibilité.
Exemple : est-ce que $2327$ est un multiple de $13$ ?
Il a été cité le nombre magique $299$ qui est un multiple de $13.$ Ainsi, il va être possible d’éliminer les deux derniers chiffres de $2327$ comme suit. Vous ajoutez à $2327$ un multiple de $13$ pour former un nombre qui finit par deux zéros.
\begin{align*}
2327 + 999\times 27 &= 2327 + (1000-1)\times 27\\
&= 2327 + 27000 - 27\\
&=2300+27000\\
&=29300.
\end{align*}
Reste à savoir si $293$ est un multiple de $13$ ou non.
Par différence :
\begin{align*}
299-293 = 6.
\end{align*}Comme $6$ n’est pas un multiple de $13$, le nombre $293$ n’en est pas un non plus.
La décomposition en facteurs premiers de $293$ ne fait pas apparaître le nombre $13.$ Comme $29300=293 \times (5\times 2)^2$, la décomposition en facteurs premiers de $29300$ ne fait pas apparaître le nombre premier $13.$
Donc $13$ n’est pas un diviseur de $29300.$ Par suite, $2327$ n’est pas un multiple de $13.$ Ainsi, $13$ sera éliminé de la recherche des nombres premiers divisant $2327.$
Tableau des premiers nombres magiques
Les multiples de $2$, $3$ et $5$ étant rapidement reconnaissables, les nombres premiers $2$, $3$ et $5$ ont été omis dans le tableau. Ci-dessous se trouvent des nombres magiques à $4$ chiffres maximum pour les nombres premiers inférieurs ou égaux à $100$ et supérieurs ou égaux à $7.$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
p & \text{2 chiffres} & \text{3 chiffres} & \text{4 chiffres}\\ \hline
7 & 21, 49, 91& 301, 399 & 1001, 5999, 8001 \\ \hline
11 & 11, 99 & &1001, 9999 \\ \hline
13 & 39,91 & 299 & 1001
\\ \hline
17 & 51 & 799, 901 & 6001
\\ \hline
19 & 19 & 399 & 7999
\\ \hline
23 & 69 & 299 & 2001
\\ \hline
29 & 29 & 899 & 2001
\\ \hline
31 & 31 & 899 & 3999
\\ \hline
37 & & 999 &
\\ \hline
41 & 41 & &
\\ \hline
43 & & 301 & 3999
\\ \hline
47 & & 799 &
\\ \hline
53 & &901 &
\\ \hline
59 & 59 & &
\\ \hline
61 & 61 & &
\\ \hline
67 & & 201 &
\\ \hline
71 & 71 & &
\\ \hline
73 & & &
\\ \hline
79 & 79 & &
\\ \hline
83 & & &
\\ \hline
89 & 89 & 801 &
\\ \hline
97 & & &
\\ \hline
\end{array}Les nombres premiers inférieurs ou égaux à $31$ possèdent plusieurs nombres magiques.
De $37$ jusqu’à $97$ les nombres premiers n’admettent qu’un seul nombre magique ou aucun, à l’exception de $43$ qui en admet deux.
Vous constatez la présence de $3$ nombres premiers délicats, à savoir $73$, $83$ et $97$ qui ne possèdent pas de multiples magiques comportant moins de quatre chiffres.
Pour en savoir davantage, vous poussez la recherche jusqu’à trouver le nombre magique suivant, pour les nombres premiers du tableau précédent n’ayant qu’au plus un seul nombre magique.
Allez plus loin avec les grands nombres
La palme reviendra au nombre premier $83$ qui admet comme premier nombre magique un nombre à $16$ chiffres, ce qui rend en pratique le résultat difficilement applicable.
- $999\ 999$ est un nombre magique de $37.$
- $99\ 999$ est un nombre magique de $41.$
- $300\ 001$ est un nombre magique de $47.$
- $40\ 000\ 001$ est un nombre magique de $53.$
- $20\ 001$ est un nombre magique de $59.$
- $9\ 000\ 001$ est un nombre magique de $61.$
- $39\ 999$ est un nombre magique de $67.$
- $1\ 999\ 999$ est un nombre magique de $71.$
- $10\ 001$ est un nombre magique de $73.$
- $9\ 999\ 999\ 999\ 999$ est un nombre magique de $79.$
- $2\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999$ est un nombre magique de $83.$
- $599\ 999\ 999$ est un nombre magique de $97.$
Ces résultats ne sauraient être accompagnés d’une technique permettant de les construire. Vous trouverez ci-dessous le cas d’un nombre magique pour $73.$
Comment construire un nombre magique ?
Soit à trouver un nombre magique de $73$ qui finit par la séquence de chiffres $0\cdots01.$
Vous partez de $73$ et cherchez un chiffre qui lui sera multiplié obtenir un nombre finissant par le chiffre $1.$
Vous n’avez pas le choix c’est le chiffre $7$ que vous devez choisir :
73\times 7 = 511.
Partant de $511$ vous devez trouver un multiple de $73$ qui finit par la séquence $90.$ Là encore le choix est vite réduit :
\begin{align*}
73\times 3 &= 219\\
73\times 30 &= 2190.
\end{align*}Par somme, il vient :
\begin{align*}
73\times 37 &= 73\times 30 + 73\times 7\\
&=2190+511\\
&=2701.
\end{align*}Pour que le chiffre $7$ de $2701$ passe à $0$, dans l’idée d’avoir une séquence qui finit par $001$, vous n’avez guère le choix :
\begin{align*}
73\times 1 &= 73\\
73\times 100 &= 7300.
\end{align*}
Par somme, il vient :
\begin{align*}
73\times 137 &= 7300+ 2701\\
&=10001.
\end{align*}Concluez
Les nombres magiques resteront utiles et pratiques pour effectuer une décomposition mentale de nombres entiers en produit de facteurs premiers, à condition que le nombre de chiffres ne soit pas trop important.
Les nombres magiques commencent à montrer leurs limites quand il s’agit d’effectuer des tests sur des grands nombres, un domaine qui fait l’objet de nombreux travaux mathématiques encore aujourd’hui.
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