Contrairement à un autre article, vous allez ici utiliser un exemple à partir duquel vous allez construire les formules donnant les relations qui lient les sommes de Newton.
Un article approfondi sur ce sujet sera prochainement disponible.
Soient $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3$ trois nombres complexes vérifiant les conditions suivantes :
\left\{\begin{align*}
x_1+x_2+x_3 &= 3 \\
x_1^3+x_2^3+x_3^3 &= 15 \\
x_1^4+x_2^4+x_3^4 &= 35.
\end{align*}
\right.
Le but de ce contenu consiste à calculer la valeur de :
x_1^5+x_2^5+x_3^5
sans chercher à calculer explicitement les complexes $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3.$
Introduisez les symétries
Comme les données sont invariantes par permutation quelconque des complexes $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3$ vous allez poser :
\left\{\begin{align*}
\sigma_1 &= x_1+x_2+x_3 \\
\sigma_2 &= x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 \\
\sigma_3 &= x_1x_2x_3.
\end{align*}
\right.
Introduisez les sommes de Newton
Pour tout entier $i$ supérieur ou égal à $1\comma$ vous posez :
S_i = x_1^i+x_2^i+x_3^i.
Le problème est reformulé ainsi. Sachant que :
\left\{\begin{align*}
S_1 &= 3\\
S_3 &= 15\\
S_4 &= 35
\end{align*}
\right.
calculez le nombre $S_5.$
Calculez $\sigma_1\comma$ $\sigma_2$ et $\sigma_3$
Comme :
\begin{align*}
\sigma_1 &= x_1+x_2+x_3 \\
&= S_1\\
&=3
\end{align*}
il reste à calculer $\sigma_2$ et $\sigma_3.$
Établissez un lien entre $S_2$ et $S_1$
Comme le degré total de $S_2$ est $2\comma$ il est bienvenu de calculer $\sigma_1 S_1.$ En effet :
\begin{align*}
\sigma_1 S_1 &= (x_1+x_2+x_3)(x_1+x_2+x_3) \\
&= x_1^2+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_2+x_2^2+x_2x_3+x_1x_3+x_2x_3+x_3^2\\
&= S_2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\\
&= S_2 + 2\sigma_2.
\end{align*}
Vous obtenez la relation de Newton suivante :
\boxed{S_2 = \sigma_1S_1-2\sigma_2.}
Ainsi, comme $\sigma_1 = S_1 = 3\comma$ il vient :
\boxed{S_2 = 9-2\sigma_2.}
Établissez un lien entre $S_3$ et les sommes $S_1$ et $S_2$
Comme le degré total de $S_3$ est $3\comma$ il est bienvenu de calculer $\sigma_1 S_2.$ En effet :
\begin{align*}
\sigma_1 S_2 &= (x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2) \\
&= x_1^3+x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_2^3+x_2^2x_3+x_1x_3^2+x_2x_3^2+x_3^3\\
&=S_3+x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_1x_3^2+x_2x_3^2.
\end{align*}
Vous posez :
\begin{align*}
P_{2,1} &= x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2^2+x_2^2x_3+x_1x_3^2+x_2x_3^2 \\
&= x_2^2x_1+x_3^2x_1+x_1^2x_2+x_3^2x_2+x_2^2x_3+x_1^2x_3 \\
&= (x_2^2+x_3^2)x_1+(x_1^2+x_3^2)x_2+(x_2^2+x_1^2)x_3 \\
&= \sum_{1\leq i\leq 3}\sum_{\substack{1\leq j\leq 3 \\j\neq i}}x_j^2x_i.
\end{align*}
Vous avez obtenu :
\sigma_1 S_2 = S_3 + P_{2,1}.
De même, calculez $\sigma_2 S_1$ qui aura un degré total de $3.$
\begin{align*}
\sigma_2 S_1 &= (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1+x_2+x_3) \\
&= x_1^2x_2+x_1^2x_3+x_1x_2x_3+x_1x_2^2+x_1x_2x_3+x_2^2x_3+x_1x_2x_3+x_1x_3^2+x_2x_3^2\\
&=P_{2,1}+3\sigma_3.
\end{align*}
Du coup :
\left\{\begin{align*}
\sigma_1 S_2 &= S_3 + P_{2,1}\\
\sigma_2 S_1 &= P_{2,1} + 3\sigma_3.
\end{align*}
\right.
Par soustraction, vous éliminez $P_{2,1}$ et obtenez une nouvelle relation de Newton :
\boxed{S_3 = \sigma_1S_2-\sigma_2S_1+3\sigma_3.}
Ainsi, il vient :
15 = 3S_2-3\sigma_2+3\sigma_3.
Après division par $3\comma$ il vient :
\boxed{5 = S_2-\sigma_2+\sigma_3.}
Établissez un lien entre $S_4$ et les sommes $S_1\comma$ $S_2$ et $S_3$
Comme le degré total de $S_4$ est $4\comma$ il est bienvenu de calculer $\sigma_1 S_3.$ En effet :
\begin{align*}
\sigma_1 S_3 &= (x_1+x_2+x_3)(x_1^3+x_2^3+x_3^3) \\
&= x_1^4+x_1^3x_2+x_1^3x_3+x_1x_2^3+x_2^4+x_2^3x_3+x_1x_3^3+x_2x_3^3+x_3^4\\
&=S_4+x_1^3x_2+x_1^3x_3+x_1x_2^3+x_2^3x_3+x_1x_3^3+x_2x_3^3.
\end{align*}
Vous posez :
\begin{align*}
P_{3,1} &= x_1^3x_2+x_1^3x_3+x_1x_2^3+x_2^3x_3+x_1x_3^3+x_2x_3^3 \\
&= (x_2^3+x_3^3)x_1+(x_1^3+x_3^3)x_2+(x_2^3+x_1^3)x_3 \\
&= \sum_{1\leq i\leq 3}\sum_{\substack{1\leq j\leq 3 \\j\neq i}}x_j^3x_i.
\end{align*}
Vous avez obtenu :
\sigma_1 S_3 = S_4 + P_{3,1}.
De même, calculez $\sigma_2 S_2$ qui aura un degré total de $4.$
\begin{align*}
\sigma_2 S_2 &= (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2) \\
&=x_1^3x_2+x_1^3x_3+x_1^2x_2x_3+x_1x_2^3+x_1x_2^2x_3+x_2^3x_3+x_1x_2x_3^2+x_1x_3^3+x_2x_3^3\\
&=P_{3,1}+x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2.
\end{align*}
Vous posez :
\begin{align*}
P_{2,1,1} &= x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2\\
&= \sum_{1\leq i\lt j \leq 3}\sum_{\substack{1\leq k\leq 3 \\k \notin\{i,j\} }}x_k^2x_jx_i.
\end{align*}
Ainsi :
\sigma_2 S_2 = P_{3,1}+P_{2,1,1}.
Vous calculez maintenant $\sigma_3 S_1.$
\begin{align*}
\sigma_3 S_1 &= x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)\\
&= x_1^2x_2x_3+x_1x_2^2x_3+x_1x_2x_3^2 \\
&=P_{2,1,1}.
\end{align*}
Pour récapituler, vous avez :
\left\{\begin{align*}
\sigma_1 S_3 &= S_4 + P_{3,1}\\
-\sigma_2 S_2 &= -P_{3,1} – P_{2,1,1}\\
\sigma_3 S_1 &= P_{2,1,1}.
\end{align*}
\right.
Par somme, vous éliminez $P_{3,1}$ et $P_{2,1,1}.$ Vous obtenez une nouvelle relation de Newton :
\boxed{S_4 = \sigma_1S_3 -\sigma_2S_2+\sigma_3S_1.}
Dans le cas présent, il vient :
35 = 3\times 15-\sigma_2 S_2+3\sigma_3.
Ainsi :
\boxed{\sigma_2 S_2 – 3\sigma_3=10.}
Résolvez le système obtenu
Il reste à déterminer $S_2\comma$ $\sigma_2$ et $\sigma_3$ en sachant que ces nombres vérifient les conditions suivantes :
\left\{\begin{align*}
S_2 +2\sigma_2&= 9\\
S_2-\sigma_2+\sigma_3&=5\\
\sigma_2 S_2 – 3\sigma_3&=10.
\end{align*}
\right.
Vous multipliez la deuxième équation par trois, vous l’ajoutez à la troisième afin d’éliminer $\sigma_3$ et vous obtenez :
3S_2-3\sigma_2+\sigma_2 S_2 =25.
Vous remplacez $S_2$ par $9-2\sigma_2$ pour obtenir :
\begin{align*}
3(9-2\sigma_2)-3\sigma_2+\sigma_2 (9-2\sigma_2) &=25\\
27-6\sigma_2-3\sigma_2+9\sigma_2 -2\sigma_2^2 &=25\\
-2\sigma_2^2 +27 &=25\\
2 &= 2\sigma_2^2 \\
1 &= \sigma_2^2.
\end{align*}
Finalement :
\sigma_2\in\{-1,1\}.
Traitez les deux cas obtenus
Premier cas
Supposez que :
\sigma_2 = 1.
Vous déduisez :
\begin{align*}
S_2&= 9- 2\sigma_2\\
&= 9-2\\
&=7.
\end{align*}
Puis :
\begin{align*}
\sigma_2 S_2 -10 &=3\sigma_3 \\
1\times 7-10 &=3\sigma_3 \\
-3 &= 3\sigma_3 \\
-1 &= \sigma_3.
\end{align*}
En définitive :
\left\{\begin{align*}
\sigma_1 &=3 \\
\sigma_2 &=1 \\
\sigma_3 &=-1.
\end{align*}
\right.
Les nombres $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3$ sont ainsi les trois racines du polynôme $X^3-\sigma_1 X^2+\sigma_2 X – \sigma_3.$
Plus précisément :
X^3-3X^2+ X + 1 = (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3).
Pour calculer $S_5 = x_1^5+x_2^5+x_3^5$ il serait possible de l’exprimer, par les relations de Newton, en fonction de $S_4\comma$ $S_3$ et $S_2.$ Vous allez plutôt utiliser une division euclidienne, qui permet d’abaisser le degré $5.$
Vous effectuez la division euclidienne de $X^5$ par $X^3-3X^2+ X + 1$ qui sera le diviseur.
Vous abaissez le degré de $X^5$ en multipliant le diviseur par $X^2.$
X^5 – (X^3-3X^2+ X + 1)X^2 = 3X^4-X^3-X^2.
Partant du polynôme $3X^4-X^3-X^2$ vous abaissez son degré en multipliant le diviseur par $3X.$
3X^4-X^3-X^2 – (X^3-3X^2+ X + 1)(3X) = 8X^3-4X^2-3X.
Enfin, vous abaissez le degré de $8X^3-4X^2-3X$ en multipliant le diviseur par $8.$
8X^3-4X^2-3X – (X^3-3X^2+ X + 1)\times 8 = 20X^2-11X-8.
En sommant les trois égalités précédentes et après élimination des termes identiques dans les deux membres, il vient :
X^5 – (X^3-3X^2+ X + 1)(X^2+3X+8) = 20X^2-11X-8.
En substituant à $X$ les nombres $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3\comma$ qui annulent le diviseur, vous avez :
\forall i\in\llbracket 1, 3\rrbracket, x_i^5 = 20x_i^2-11x_i-8.
En sommant ces égalités, vous avez :
\begin{align*}
S_5 &= 20S_2-11S_1-24\\
&=20\times 7-11\times 3-24\\
&=140-33-24\\
&=140-57\\
&=83.
\end{align*}
Ainsi :
\boxed{x_1^5+x_2^5+x_3^5 = S_5 = 83.}
Second cas
Supposez que :
\sigma_2 = -1.
Vous déduisez :
\begin{align*}
S_2&= 9- 2\sigma_2\\
&= 9+2\\
&=11.
\end{align*}
Puis :
\begin{align*}
\sigma_2 S_2 -10 &=3\sigma_3 \\
-1\times 11-10 &=3\sigma_3 \\
-21 &= 3\sigma_3 \\
-7 &= \sigma_3.
\end{align*}
En définitive :
\left\{\begin{align*}
\sigma_1 &=3 \\
\sigma_2 &=-1 \\
\sigma_3 &=-7.
\end{align*}
\right.
Les nombres $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3$ sont ainsi les trois racines du polynôme $X^3-\sigma_1 X^2+\sigma_2 X – \sigma_3.$
Plus précisément :
X^3-3X^2- X + 7 = (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3).
Vous procédez comme dans le premier cas, en effectuant la division euclidienne de $X^5$ par le diviseur $X^3-3X^2- X + 7.$
Vous obtenez successivement :
\begin{align*}
X^5 – (X^3-3X^2- X + 7)X^2 &=3X^4 +X^3-7X^2\\
3X^4 +X^3-7X^2 – (X^3-3X^2- X + 7)(3X) &=10X^3-4X^2-21X\\
10X^3-4X^2-21X – (X^3-3X^2- X + 7)\times 10 &=26X^2-11X-70.
\end{align*}
Par somme :
X^5-(X^3-3X^2- X + 7)(X^2+3X+10)=26X^2-11X-70.
Ainsi, en substituant successivement à $X$ les nombres $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3$ puis en sommant, vous obtenez :
\begin{align*}
S_5 &= 26S_2-11S_1-210\\
&=26\times11-11\times 3-210\\
&=23\times 11 – 210\\
&=253-210\\
&=43.
\end{align*}
Ainsi :
\boxed{x_1^5+x_2^5+x_3^5 = S_5 = 43.}
Concluez
Il a été établi que $\boxed{S_5 \in \{43,83\}.}$
Note. Les deux valeurs sont effectivement atteintes. En effet, les racines du polynôme $X^3-3X^2+X+1$ vérifient bien $S_1 = 3\comma$ $S_3 = 15$ et $S_4=35\comma$ avec $S_5 = 83.$ De même, les racines du polynôme $X^3-3X^2-X+7$ vérifient $S_1 = 3\comma$ $S_3 = 15$ et $S_4=35\comma$ avec $S_5 = 43.$ Les données de l’énoncé ne suffisent donc pas à déterminer $S_5$ de façon unique.
