Soient $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les trois racines réelles du polynôme $X^3-2X-1.$
Sans chercher à calculer ces nombres directement, vous allez déterminer la valeur exacte de :
x_1^6+x_2^6+x_3^6.
Abaissez le degré
Vous effectuez la division euclidienne du polynôme $X^6$ par $X^3-2X-1.$
\begin{align*}
X^6 - (X^3-2X-1)X^3 &=2X^4+X^3 \\
2X^4+X^3 - (X^3-2X-1)(2X) &= X^3+4X^2+2X\\
X^3+4X^2+2X - (X^3-2X-1)(1) &= 4X^2+4X+1.
\end{align*}Ainsi :
X^6 - (X^3-2X+1)(X^3+2X+1) = 4X^2+4X+1.
En substituant à l’indéterminée $X$ les réels $x_1$, $x_2$ et $x_3$, vous obtenez finalement :
\forall i \in\llbracket 1, 3\rrbracket, x_i^6 = 4x_i^2+4x_i+1.
Par somme, il vient :
\boxed{x_1^6+x_2^6+x_3^6 = 4(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4(x_1+x_2+x_3)+3.}Note. Prenez garde, en effectuant la somme, au dernier terme qui est $1$ plus $1$ plus $1$, soit $3.$
Calculez les fonctions symétriques des racines
Puisque $X^3-2X-1 = (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$, en développant, il vient :
\begin{align*}
X^3-2X-1 &= (X^2-(x_1+x_2)X+x_1x_2)(X-x_3) \\
&=X^3-(x_1+x_2)X^2+x_1x_2X-x_3X^2+(x_1x3+x_2x_3)X-x_1x_2x_3\\
&=X^3+(-x_1-x_2-x_3)X^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)X-x_1x_2x_3.
\end{align*}Par identification des coefficients, il vient :
\left\{\begin{align*}
-x_1-x_2-x_3 &= 0\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &= -2\\
-x_1x_2x_3 &= -1.
\end{align*}
\right.Déterminez la première somme de Newton
D’après ce qui précède :
\boxed{x_1+x_2+x_3 = 0.}Déterminez la deuxième somme de Newton
Vous élevez au carré la première somme de Newton :
\begin{align*}
(x_1+x_2+x_3)^2 &= 0\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) &= 0\\
x_1^2+x_2^2+x_3^2 &= -2\times (-2).
\end{align*}Vous déduisez :
\boxed{x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 4.}Concluez
En utilisant les résultats précédents :
\begin{align*}
x_1^6+x_2^6+x_3^6 &= 4(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4(x_1+x_2+x_3)+3 \\
&= 4\times 4+4\times 0+3.
\end{align*}La valeur cherchée est trouvée :
\boxed{x_1^6+x_2^6+x_3^6 = 19.}Partagez maintenant !
Aidez vos amis à découvrir cet article et à mieux comprendre le sujet.
Aidez-moi sur Facebook !
Vous appréciez cet article et souhaitez témoigner du temps que j'y ai passé pour le mettre en œuvre. C'est rapide à faire pour vous et c'est important pour moi, déposez un j'aime sur ma page Facebook. Je vous en remercie par avance.
Lisez d'autres articles !
Parcourez tous les articles qui ont été rédigés. Vous en trouverez sûrement un qui vous plaira !