École AVOSZ

Connectez-vous

317. Les sommes de Newton (2/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soient $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3$ les trois racines réelles du polynôme $X^3-2X-1.$

Sans chercher à calculer ces nombres directement, vous allez déterminer la valeur exacte de :

x_1^6+x_2^6+x_3^6.

Abaissez le degré

Vous effectuez la division euclidienne du polynôme $X^6$ par $X^3-2X-1.$

\begin{align*} X^6 – (X^3-2X-1)X^3 &=2X^4+X^3 \\ 2X^4+X^3 – (X^3-2X-1)(2X) &= X^3+4X^2+2X\\ X^3+4X^2+2X – (X^3-2X-1)\times 1 &= 4X^2+4X+1. \end{align*}

Le quotient est donc $X^3+2X+1$ et le reste $4X^2+4X+1\comma$ ce qui s’écrit :

X^6 – (X^3-2X-1)(X^3+2X+1) = 4X^2+4X+1.

En substituant à l’indéterminée $X$ les réels $x_1\comma$ $x_2$ et $x_3\comma$ qui annulent tous le polynôme $X^3-2X-1\comma$ vous obtenez finalement :

\forall i \in\llbracket 1, 3\rrbracket, x_i^6 = 4x_i^2+4x_i+1.

Par somme, il vient :

\boxed{x_1^6+x_2^6+x_3^6 = 4(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4(x_1+x_2+x_3)+3.}

Note. Prenez garde, en effectuant la somme, au dernier terme qui est $1$ plus $1$ plus $1\comma$ soit $3.$

Calculez les fonctions symétriques des racines

Puisque $X^3-2X-1 = (X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\comma$ en développant, il vient :

\begin{align*} X^3-2X-1 &= (X^2-(x_1+x_2)X+x_1x_2)(X-x_3) \\ &=X^3-(x_1+x_2)X^2+x_1x_2X-x_3X^2+(x_1x_3+x_2x_3)X-x_1x_2x_3\\ &=X^3+(-x_1-x_2-x_3)X^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)X-x_1x_2x_3. \end{align*}

Par identification des coefficients, il vient :

\left\{\begin{align*} -x_1-x_2-x_3 &= 0\\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &= -2\\ -x_1x_2x_3 &= -1. \end{align*} \right.

Déterminez la première somme de Newton

D’après ce qui précède :

\boxed{x_1+x_2+x_3 = 0.}

Déterminez la deuxième somme de Newton

Vous élevez au carré la première somme de Newton :

\begin{align*} (x_1+x_2+x_3)^2 &= 0\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) &= 0\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 &= -2\times (-2). \end{align*}

Vous déduisez :

\boxed{x_1^2+x_2^2+x_3^2 = 4.}

Concluez

En utilisant les résultats précédents :

\begin{align*} x_1^6+x_2^6+x_3^6 &= 4(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4(x_1+x_2+x_3)+3 \\ &= 4\times 4+4\times 0+3. \end{align*}

La valeur cherchée est trouvée :

\boxed{x_1^6+x_2^6+x_3^6 = 19.}

Vérification. Le polynôme se factorise en $X^3-2X-1 = (X+1)(X^2-X-1)$ et ses racines sont $-1\comma$ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$ Un calcul direct de la somme de leurs puissances sixièmes redonne bien $19.$