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318. Inégalité triangulaire généralisée avec des nombres complexes (1/2)

Yannis TRIANTAPHYLIDES

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$ Le but de ce contenu est de démontrer que, étant donnés $n$ nombres complexes $z_1,\dots, z_n\comma$ l’inégalité suivante, appelée inégalité triangulaire généralisée, est vérifiée :

\vert z_1 + \cdots +z_n\vert \leq \vert z_1\vert + \cdots + \vert z_n\vert.

Établissez le cas où il y a seulement deux nombres complexes

Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes.

Vous calculez le carré du nombre réel positif $\vert z_1+z_2 \vert$ comme suit :

\begin{align*} \vert z_1+z_2\vert^2 &= (z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})\\ &= (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\\ &=z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}\\ &=\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}\\ &=\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}}\\ &=\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2}). \end{align*}

La partie réelle d’un nombre complexe est inférieure ou égale à son module, donc :

\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})\leq \vert z_1\overline{z_2}\vert.

Vous déduisez de ce qui précède :

\begin{align*} \vert z_1+z_2\vert^2 &\leq \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\vert z_1\overline{z_2}\vert\\ &\leq \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\vert z_1\vert \vert \overline{z_2}\vert\\ &\leq \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\vert z_1\vert \vert z_2\vert. \end{align*}

Or :

(\vert z_1\vert + \vert z_2 \vert)^2 = \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2+2\vert z_1\vert \vert z_2\vert.

Ainsi :

\vert z_1+z_2\vert^2 \leq (\vert z_1\vert + \vert z_2 \vert)^2.

Comme $\vert z_1+z_2\vert$ et $\vert z_1\vert + \vert z_2 \vert$ sont deux réels positifs, ils sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. D’où :

\boxed{\vert z_1+z_2\vert \leq \vert z_1\vert + \vert z_2 \vert.}

Établissez le cas général

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2\comma$ vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : « quels que soient les nombres complexes $z_1,\dots, z_n\comma$ l’inégalité $\vert z_1 + \cdots +z_n\vert \leq \vert z_1\vert + \cdots + \vert z_n\vert$ est vérifiée ».

Initialisation. Le cas où $n=2$ a été établi à la section précédente.

Hérédité. Soit maintenant $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$ Vous supposez que la propriété $\mathscr{P}(n)$ est vérifiée.

Soit $(z_1,\dots , z_n, z_{n+1})\in\C^{n+1}.$

Vous posez $z = z_1+\cdots+z_n.$

Alors :

\vert z_1 + \cdots +z_n + z_{n+1}\vert = \vert z + z_{n+1} \vert.

Or, d’après l’initialisation :

\vert z + z_{n+1} \vert \leq \vert z \vert + \vert z_{n+1} \vert.

D’autre part :

\vert z \vert + \vert z_{n+1} \vert= \vert z_1+\cdots+z_n \vert + \vert z_{n+1} \vert.

Vous faites appel à l’hypothèse de récurrence, il vient :

\vert z_1+\cdots+z_n \vert + \vert z_{n+1} \vert \leq \vert z_1 \vert + \cdots+\vert z_n \vert +\vert z_{n+1} \vert.

De ce qui précède, vous déduisez :

\vert z_1 + \cdots +z_n + z_{n+1}\vert \leq \vert z_1 \vert + \cdots+\vert z_n \vert +\vert z_{n+1} \vert.

La propriété $\mathscr{P}(n+1)$ est donc vérifiée.

Concluez

Il est ainsi établi par récurrence que :

\boxed{\forall n\geq 2, \forall (z_1,\dots, z_n)\in\C^n, \vert z_1 + \cdots +z_n\vert \leq \vert z_1\vert + \cdots + \vert z_n\vert.}

Prolongement

Il est possible d’aller plus loin.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$ Soient $n$ nombres complexes $z_1,\dots, z_n$ avec $z_1\neq 0\comma$ tels que :

\vert z_1 + \cdots +z_n\vert = \vert z_1\vert + \cdots + \vert z_n\vert.

Alors il existe $n-1$ réels positifs $u_2,\dots, u_{n}$ tels que :

\forall i\in \llbracket 2, n\rrbracket, z_i = u_i z_1.

Ce résultat sera démontré dans un autre article.

Pour en savoir davantage, allez lire le contenu rédigé dans l'article 319.