Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2.$ Le but de cet article est de démontrer que, étant donnés $n$ nombres complexes $z_1, \dots z_n$, l’inégalité suivante, appelée inégalité triangulaire généralisée est vérifiée :
\vert z_1 + \cdots +z_n| \leq \vert z_1\vert + \dots + \vert z_n\vert.
Etablissez le cas où il y a seulement deux nombres complexes
Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes.
Vous calculez le carré du nombre réel positif $\vert z_1+z_2 \vert$ :
\begin{align*}
\vert z_1+z_2\vert^2 &= (z_1+z_2)(\overline{z_1+z_2})\\
&= (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\\
&=z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}\\
&=\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}\\
&=\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}}\\
&=\vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2}).
\end{align*}La partie réelle d’un nombre complexe est inférieure ou égale à son module, donc :
\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})\leq \vert z_1\overline{z_2}\vert.Vous déduisez de ce qui précède :
\begin{align*}
\vert z_1+z_2\vert^2 &\leq \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\vert z_1\overline{z_2}\vert\\
&\leq \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\vert z_1\vert \vert \overline{z_2}\vert\\
&\leq \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2 + 2\vert z_1\vert \vert z_2\vert.
\end{align*}Or :
(\vert z_1\vert + \vert z_2 \vert)^2 = \vert z_1\vert^2+\vert z_2\vert^2+2\vert z_1\vert \vert z_2\vert.
Ainsi :
\vert z_1+z_2\vert^2 \leq (\vert z_1\vert + \vert z_2 \vert)^2.
Comme $\vert z_1+z_2\vert$ et $\vert z_1\vert + \vert z_2 \vert$ sont deux réels positifs, ils sont rangés dans le même ordre que leur carré. D’où :
\boxed{\vert z_1+z_2\vert \leq \vert z_1\vert + \vert z_2 \vert.}Etablissez le cas général
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$, vous notez $\mathscr{P}(n)$ la propriété : » quels que soient les nombres complexes $z_1,\dots, z_n$, $\vert z_1 + \cdots +z_n| \leq \vert z_1\vert + \dots + \vert z_n\vert$ ».
Initialisation. Le cas où $n=2$ a été établi à la section précédente.
Hérédité. Soit maintenant $n$ un entier supérieur ou égal à $2.$ Vous supposez que la propriété $\mathscr{P}(n)$ est vérifiée.
Soit $(z_1,\dots , z_n, z_{n+1})\in\C^{n+1}.$
Pour posez $z = z_1+\cdots+z_n.$
Alors :
\vert z_1 + \cdots +z_n + z_{n+1}| = \vert z + z_{n+1} \vert.Or, d’après l’initialisation :
\vert z + z_{n+1} \vert \leq \vert z \vert + \vert z_{n+1} \vert .D’autre part :
\vert z \vert + \vert z_{n+1} \vert= \vert z_1+\cdots+z_n \vert + \vert z_{n+1} \vert.Vous faites appel à l’hypothèse de récurrence, il vient :
\vert z_1+\cdots+z_n \vert + \vert z_{n+1} \vert \leq \vert z_1 \vert + \cdots+\vert z_n \vert +\vert z_{n+1} \vert.De ce qui précède, vous déduisez :
\vert z_1 + \cdots +z_n + z_{n+1}| \leq \vert z_1 \vert + \cdots+\vert z_n \vert +\vert z_{n+1} \vert.La propriété $\mathscr{P}(n+1)$ est donc vérifiée.
Concluez
Il est ainsi établi par récurrence que :
\boxed{\forall n\geq 2, \forall (z_1\dots, z_n)\in\C^n, \vert z_1 + \cdots +z_n| \leq \vert z_1\vert + \dots + \vert z_n\vert.}Prolongement
Il est possible d’aller plus loin.
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Soient $n$ nombres complexes $z_1, \dots z_n$ avec $z_1\neq 0$, tels que :
\vert z_1 + \cdots +z_n| = \vert z_1\vert + \dots + \vert z_n\vert.
Alors il existe $n-1$ réels positifs $u_2, \dots u_{n}$ tels que :
\forall i\in \llbracket 2, n\rrbracket, z_i = u_i z_1.
Ce résultat sera démontré dans le contenu rédigé dans l'article 319.
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